Produit mixte de vecteurs. Produit croisé de vecteurs. Produit mixte de vecteurs Trouver le volume d'un parallélépipède à l'aide de vecteurs

20.06.2020

Dans cette leçon, nous examinerons deux autres opérations avec des vecteurs : produit vectoriel de vecteurs Et produit mixte de vecteurs (lien immédiat pour ceux qui en ont besoin). Ce n'est pas grave, il arrive parfois que pour un bonheur complet, en plus de produit scalaire de vecteurs, il en faut de plus en plus. C’est une dépendance aux vecteurs. Il peut sembler que nous entrons dans la jungle de la géométrie analytique. C'est faux. Dans cette section des mathématiques supérieures, il y a généralement peu de bois, sauf peut-être assez pour Pinocchio. En fait, le matériel est très courant et simple - à peine plus compliqué que le même produit scalaire, même tâches typiques il y en aura moins. L'essentiel en géométrie analytique, comme beaucoup en seront convaincus ou l'ont déjà été, est de NE PAS FAIRE D'ERREURS DANS LES CALCULS. Répétez comme un sort et vous serez heureux =)

Si les vecteurs scintillent quelque part au loin, comme des éclairs à l’horizon, peu importe, commencez par la leçon Vecteurs pour les nuls restaurer ou réacquérir les connaissances de base sur les vecteurs. Les lecteurs plus préparés peuvent se familiariser avec les informations de manière sélective ; j'ai essayé de rassembler la collection la plus complète d'exemples que l'on trouve souvent dans Travaux pratiques

Qu'est-ce qui vous rendra heureux tout de suite ? Quand j'étais petite, je savais jongler avec deux et même trois balles. Cela a bien fonctionné. Désormais, vous n'aurez plus du tout à jongler, puisque nous considérerons uniquement des vecteurs spatiaux, UN vecteurs plats avec deux coordonnées seront laissés de côté. Pourquoi? C'est ainsi que sont nées ces actions : le vecteur et le produit mixte de vecteurs sont définis et fonctionnent dans un espace tridimensionnel. C'est déjà plus simple !

Cette opération, tout comme le produit scalaire, implique deux vecteurs. Que ce soient des lettres impérissables.

L'action elle-même désigné par de la manière suivante : . Il existe d'autres options, mais j'ai l'habitude de désigner le produit vectoriel des vecteurs de cette façon, entre crochets avec une croix.

Et tout de suite question: si dans produit scalaire de vecteurs deux vecteurs sont impliqués, et ici deux vecteurs sont également multipliés, alors Quelle est la différence? La différence évidente réside tout d’abord dans le RÉSULTAT :

Le résultat du produit scalaire des vecteurs est NOMBRE :

Le résultat du produit croisé des vecteurs est VECTEUR: , c'est-à-dire que nous multiplions les vecteurs et obtenons à nouveau un vecteur. Club fermé. En fait, c’est de là que vient le nom de l’opération. Dans divers littérature pédagogique les désignations peuvent également varier, j'utiliserai la lettre .

Définition du produit vectoriel

Il y aura d'abord une définition avec une image, puis des commentaires.

Définition: Produit vectoriel non colinéaire vecteurs, pris dans cet ordre, appelé VECTEUR, longueur ce qui est numériquement égal à l'aire du parallélogramme, construit sur ces vecteurs ; vecteur orthogonal aux vecteurs, et est orienté de manière à ce que la base ait une bonne orientation :

Décomposons la définition morceau par morceau, il y a beaucoup de choses intéressantes ici !

Ainsi, les points significatifs suivants peuvent être soulignés :

1) Les vecteurs originaux, indiqués par des flèches rouges, par définition pas colinéaire. Il conviendra de considérer le cas des vecteurs colinéaires un peu plus loin.

2) Les vecteurs sont pris dans un ordre strictement défini: – "a" est multiplié par "être", et non « être » avec « a ». Le résultat de la multiplication vectorielle est VECTOR, qui est indiqué en bleu. Si les vecteurs sont multipliés dans l'ordre inverse, on obtient un vecteur de longueur égale et de direction opposée (couleur framboise). Autrement dit, l'égalité est vraie .

3) Faisons maintenant connaissance avec la signification géométrique du produit vectoriel. C'est un point très important! La LONGUEUR du vecteur bleu (et donc du vecteur cramoisi) est numériquement égale à la ZONE du parallélogramme construit sur les vecteurs. Sur la figure, ce parallélogramme est ombré en noir.

Note : le dessin est schématique et, bien entendu, la longueur nominale du produit vectoriel n'est pas égale à l'aire du parallélogramme.

Souvenons-nous d'un des formules géométriques: L'aire d'un parallélogramme est égale au produit des côtés adjacents et du sinus de l'angle qui les sépare. Par conséquent, sur la base de ce qui précède, la formule de calcul de la LONGUEUR d'un produit vectoriel est valable :

J'insiste sur le fait que la formule concerne la LONGUEUR du vecteur, et non le vecteur lui-même. Quelle est la signification pratique ? Et le sens est que dans les problèmes de géométrie analytique, l'aire d'un parallélogramme se retrouve souvent à travers la notion de produit vectoriel :

Passons à la deuxième formule importante. La diagonale d'un parallélogramme (ligne pointillée rouge) le divise en deux triangle égal. Par conséquent, l'aire d'un triangle construit sur des vecteurs (ombrage rouge) peut être trouvée à l'aide de la formule :

4) Pas moins fait important est que le vecteur est orthogonal aux vecteurs, c'est-à-dire . Bien entendu, le vecteur de direction opposée (flèche framboise) est également orthogonal aux vecteurs d'origine.

5) Le vecteur est dirigé de telle sorte que base Il a droite orientation. Dans la leçon sur transition vers une nouvelle base J'ai parlé avec suffisamment de détails de orientation du plan, et maintenant nous allons découvrir ce qu'est l'orientation spatiale. Je vais t'expliquer sur tes doigts main droite . Combiner mentalement index avec vecteur et majeur avec vecteur. Annulaire et petit doigt appuyez-le dans votre paume. Par conséquent pouce – le produit vectoriel recherchera. Il s'agit d'une base orientée vers la droite (c'est celle-ci sur la figure). Changez maintenant les vecteurs ( index et majeur) à certains endroits, le pouce se retournera et le produit vectoriel baissera déjà les yeux. C’est aussi une base orientée vers la droite. Vous vous posez peut-être une question : sur quelle base l'orientation a-t-elle quitté ? « Attribuer » aux mêmes doigts main gauche vecteurs, et obtenez la base gauche et l'orientation gauche de l'espace (dans ce cas, le pouce sera situé en direction du vecteur inférieur). Au sens figuré, ces bases « tordent » ou orientent l’espace dans des directions différentes. Et ce concept ne doit pas être considéré comme quelque chose de farfelu ou d'abstrait - par exemple, l'orientation de l'espace est modifiée par le miroir le plus ordinaire, et si vous "retirez l'objet réfléchi du miroir", alors dans le cas général, il il ne sera pas possible de le combiner avec « l’original ». Au fait, placez trois doigts devant le miroir et analysez le reflet ;-)

... comme c'est bien que tu saches maintenant orienté à droite et à gauche bases, car les déclarations de certains conférenciers sur un changement d'orientation font peur =)

Produit vectoriel de vecteurs colinéaires

La définition a été discutée en détail, reste à voir ce qui se passe lorsque les vecteurs sont colinéaires. Si les vecteurs sont colinéaires, alors ils peuvent être placés sur une ligne droite et notre parallélogramme « s’ajoute » également en une ligne droite. Le domaine de tel, comme disent les mathématiciens, dégénérer le parallélogramme est égal à zéro. La même chose découle de la formule - le sinus de zéro ou 180 degrés est égal à zéro, ce qui signifie que l'aire est nulle

Ainsi, si , alors Et . Veuillez noter que le produit vectoriel lui-même est égal au vecteur zéro, mais dans la pratique, cela est souvent négligé et il est écrit qu'il est également égal à zéro.

Un cas particulier est le produit vectoriel d'un vecteur avec lui-même :

À l'aide du produit vectoriel, vous pouvez vérifier la colinéarité des vecteurs tridimensionnels, et nous analyserons également ce problème, entre autres.

Pour résoudre des exemples pratiques dont vous pourriez avoir besoin table trigonométrique pour en trouver les valeurs des sinus.

Eh bien, allumons le feu :

Exemple 1

a) Trouver la longueur du produit vectoriel des vecteurs si

b) Trouver l'aire d'un parallélogramme construit sur des vecteurs si

Solution: Non, ce n'est pas une faute de frappe, j'ai délibérément fait les mêmes données initiales dans les clauses. Parce que la conception des solutions sera différente !

a) Selon la condition, il faut trouver longueur vecteur (produit vectoriel). D'après la formule correspondante :

Répondre:

Puisque la question portait sur la longueur, nous indiquons la dimension dans la réponse – unités.

b) Selon la condition, vous devez trouver carré parallélogramme construit sur des vecteurs. L'aire de ce parallélogramme est numériquement égale à la longueur du produit vectoriel :

Répondre:

Veuillez noter que la réponse ne parle pas du tout du produit vectoriel dont nous avons été interrogés ; zone de la figure, par conséquent, la dimension est en unités carrées.

Nous regardons toujours CE que nous devons trouver en fonction de la condition et, sur cette base, nous formulons clair répondre. Cela peut sembler littéral, mais il y a parmi eux de nombreux enseignants littéraux, et le devoir a de bonnes chances d'être renvoyé pour révision. Bien qu'il ne s'agisse pas d'une argutie particulièrement farfelue, si la réponse est incorrecte, on a alors l'impression que la personne ne comprend pas Des choses simples et/ou n’a pas compris l’essence de la tâche. Ce point doit toujours être gardé sous contrôle lors de la résolution de problèmes en mathématiques supérieures, ainsi que dans d’autres matières.

Où est passée la grande lettre « en » ? En principe, il aurait pu être ajouté à la solution, mais afin de raccourcir l'entrée, je ne l'ai pas fait. J'espère que tout le monde comprend cela et que c'est une désignation pour la même chose.

Exemple populaire pour une solution indépendante :

Exemple 2

Trouver l'aire d'un triangle construit sur des vecteurs si

La formule pour trouver l'aire d'un triangle via le produit vectoriel est donnée dans les commentaires de la définition. La solution et la réponse se trouvent à la fin de la leçon.

En pratique, la tâche est vraiment très courante ; les triangles peuvent généralement vous tourmenter.

Pour résoudre d'autres problèmes, nous aurons besoin de :

Propriétés du produit vectoriel des vecteurs

Nous avons déjà examiné certaines propriétés du produit vectoriel, mais je les inclurai dans cette liste.

Pour des vecteurs arbitraires et un nombre arbitraire, les propriétés suivantes sont vraies :

1) Dans d'autres sources d'information, cet élément n'est généralement pas mis en évidence dans les propriétés, mais il est très important en termes pratiques. Qu'il en soit ainsi.

2) – la propriété est également évoquée ci-dessus, parfois elle est appelée anticommutativité. En d’autres termes, l’ordre des vecteurs compte.

3) – associatif ou associatif lois sur les produits vectoriels. Les constantes peuvent être facilement déplacées en dehors du produit vectoriel. Vraiment, que devraient-ils faire là-bas ?

4) – distribution ou distributif lois sur les produits vectoriels. Il n'y a aucun problème non plus pour ouvrir les supports.

Pour le démontrer, regardons un court exemple :

Exemple 3

Trouver si

Solution: La condition nécessite à nouveau de trouver la longueur du produit vectoriel. Peignons notre miniature :

(1) Selon les lois associatives, nous prenons les constantes en dehors du champ du produit vectoriel.

(2) Nous déplaçons la constante à l'extérieur du module, et le module « mange » le signe moins. La longueur ne peut pas être négative.

(3) Le reste est clair.

Répondre:

Il est temps d'ajouter du bois au feu :

Exemple 4

Calculer l'aire d'un triangle construit sur des vecteurs si

Solution: Trouvez l'aire du triangle à l'aide de la formule . Le hic, c'est que les vecteurs « tse » et « de » sont eux-mêmes présentés comme des sommes de vecteurs. L'algorithme ici est standard et rappelle quelque peu les exemples n°3 et 4 de la leçon Produit scalaire des vecteurs. Pour plus de clarté, nous diviserons la solution en trois étapes :

1) Dans un premier temps, on exprime le produit vectoriel à travers le produit vectoriel, en fait, exprimons un vecteur en termes de vecteur. Pas encore de mot sur les longueurs !

(1) Remplacez les expressions des vecteurs.

(2) A l'aide des lois distributives, on ouvre les parenthèses selon la règle de multiplication des polynômes.

(3) En utilisant des lois associatives, nous déplaçons toutes les constantes au-delà des produits vectoriels. Avec un peu d'expérience, les étapes 2 et 3 peuvent être réalisées simultanément.

(4) Les premier et dernier termes sont égaux à zéro (vecteur zéro) en raison de propriété agréable. Dans le deuxième terme on utilise la propriété d'anticommutativité d'un produit vectoriel :

(5) Nous présentons des termes similaires.

En conséquence, le vecteur s'est avéré être exprimé à travers un vecteur, ce qui devait être réalisé :

2) Dans la deuxième étape, nous trouvons la longueur du produit vectoriel dont nous avons besoin. Cette action est similaire à l'exemple 3 :

3) Trouvez l'aire du triangle recherché :

Les étapes 2 et 3 de la solution auraient pu être écrites sur une seule ligne.

Répondre:

Le problème considéré est assez courant dans essais, voici un exemple de solution indépendante :

Exemple 5

Trouver si

Une courte solution et une réponse à la fin de la leçon. Voyons à quel point vous avez été attentif en étudiant les exemples précédents ;-)

Produit croisé de vecteurs en coordonnées

, spécifié dans base orthonormée , exprimé par la formule:

La formule est très simple : dans la première ligne du déterminant, nous écrivons vecteurs de coordonnées, dans les deuxième et troisième lignes on « met » les coordonnées des vecteurs , et on met dans un ordre strict– d'abord les coordonnées du vecteur « ve », puis les coordonnées du vecteur « double-ve ». Si les vecteurs doivent être multipliés dans un ordre différent, alors les lignes doivent être interverties :

Exemple 10

Vérifiez si les vecteurs spatiaux suivants sont colinéaires :
UN)
b)

Solution: La vérification est basée sur l'une des déclarations Cette leçon: si les vecteurs sont colinéaires, alors leur produit vectoriel est égal à zéro (vecteur zéro) : .

a) Trouvez le produit vectoriel :

Les vecteurs ne sont donc pas colinéaires.

b) Trouvez le produit vectoriel :

Répondre: a) non colinéaire, b)

Voici peut-être toutes les informations de base sur le produit vectoriel des vecteurs.

Cette section ne sera pas très grande, car il y a peu de problèmes lorsque le produit mixte de vecteurs est utilisé. En fait, tout dépendra de la définition, signification géométrique et quelques formules de travail.

Pièce mixte les vecteurs sont le produit trois vecteurs :

Ils se sont donc alignés comme un train et ont hâte d’être identifiés.

Tout d’abord, encore une définition et une image :

Définition: Travail mixte non coplanaire vecteurs, pris dans cet ordre, appelé volume parallélépipédique, construit sur ces vecteurs, équipé d'un signe « + » si la base est droite, et d'un signe « – » si la base est gauche.

Faisons le dessin. Les lignes invisibles pour nous sont tracées en pointillés :

Passons à la définition :

2) Les vecteurs sont pris dans un certain ordre, c'est-à-dire que le réarrangement des vecteurs dans le produit, comme vous pouvez le deviner, ne se produit pas sans conséquences.

3) Avant de commenter la signification géométrique, je noterai une évidence : le produit mixte des vecteurs est un NOMBRE: . Dans la littérature pédagogique, la conception peut être légèrement différente ; j'ai l'habitude de désigner un produit mixte par , et le résultat des calculs par la lettre « pe ».

Prieuré A le produit mélangé est le volume du parallélépipède, construit sur des vecteurs (la figure est dessinée avec des vecteurs rouges et des lignes noires). C'est-à-dire que le nombre est égal au volume d'un parallélépipède donné.

Note : Le dessin est schématique.

4) Ne nous inquiétons plus de la notion d’orientation de la base et de l’espace. La signification de la dernière partie est qu'un signe moins peut être ajouté au volume. En mots simples, le produit mixte peut être négatif : .

Directement de la définition découle la formule de calcul du volume d'un parallélépipède construit sur des vecteurs.

Pour les vecteurs , et , précisés par leurs coordonnées , , le produit mixte est calculé à l'aide de la formule : .

Un produit mixte est utilisé : 1) calculer les volumes d'un tétraèdre et d'un parallélépipède, construits sur les vecteurs , et , comme sur les arêtes, à l'aide de la formule : ; 2) comme condition de coplanarité des vecteurs , et : et sont coplanaires.

Thème 5. Lignes droites et avions.

Vecteur de ligne normale , est appelé tout vecteur non nul perpendiculaire à une ligne donnée. Le vecteur directeur est droit , est appelé tout vecteur non nul parallèle à une ligne donnée.

Droit en surface

1) - équation générale ligne, où est le vecteur normal de la ligne ;

2) - équation d'une droite passant perpendiculairement par un point ce vecteur ;

3) équation canonique );

5) - équations d'une droite Avec pente , où est le point par lequel passe la ligne ; () – l'angle que fait la droite avec l'axe ; - longueur du segment (avec le signe) coupé par la droite sur l'axe (signe « » si le segment est coupé sur la partie positive de l'axe et « » si sur la partie négative).

6) - équation d'une droite en segments, où et sont les longueurs des segments (avec le signe) coupés par la ligne sur les axes de coordonnées et (signe « » si le segment est coupé sur la partie positive de l'axe et « » si sur la partie négative).

Distance d'un point à une ligne , donné par une équation générale sur le plan, se trouve par la formule :

Coin , ( )entre des lignes droites et, étant donné équations générales ou des équations avec un coefficient de pente, se trouve à l'aide de l'une des formules suivantes :

Si ou .

Si ou

Coordonnées du point d'intersection des lignes et sont trouvés comme une solution au système équations linéaires: ou .

Vecteur normal du plan , est appelé tout vecteur non nul perpendiculaire à un plan donné.

Avion dans le système de coordonnées peut être spécifié par une équation de l'un des types suivants :

1) - équation générale plan, où est le vecteur normal du plan ;

2) - équation d'un plan passant par un point perpendiculaire à un vecteur donné ;

3) - équation d'un plan passant par trois points, et ;

4) - équation plane en segments, où , et sont les longueurs des segments (avec un signe) coupés par le plan sur les axes de coordonnées, et (signe « » si le segment est coupé sur la partie positive de l'axe et « » si sur la partie négative) .

Distance du point au plan , donné par l'équation générale, se trouve par la formule :

Coin ,( )entre les avions et , donné par des équations générales, se trouve par la formule :

Droit dans l'espace dans le système de coordonnées peut être spécifié par une équation de l'un des types suivants :

1) - équation générale droite comme la ligne d'intersection de deux plans, où et sont les vecteurs normaux des plans et ;

2) - équation d'une droite passant par un point parallèle à un vecteur donné ( équation canonique );

3) - équation d'une droite passant par deux points donnés, ;

4) - équation d'une droite passant par un point parallèle à un vecteur donné, ( équation paramétrique );

Coin , ( ) entre des lignes droites Et dans l'espace , donné par les équations canoniques se trouve par la formule :

Coordonnées du point d'intersection de la ligne , donné par l'équation paramétrique et les avions , donnés par l'équation générale, sont trouvés comme solution d'un système d'équations linéaires : .

Coin , ( ) entre la ligne droite , donné par l'équation canonique et avion , donné par l'équation générale se trouve par la formule : .

Thème 6. Courbes du second ordre.

Courbe algébrique du second ordre dans le système de coordonnées s'appelle une courbe, équation générale qui a la forme :

où les nombres - ne sont pas égaux à zéro en même temps. Il existe la classification suivante des courbes du second ordre : 1) si , alors l'équation générale définit la courbe type elliptique (cercle (at), ellipse (at), ensemble vide, point) ; 2) si , alors - courbe type hyperbolique (hyperbole, une paire de lignes qui se croisent) ; 3) si , alors - courbe type parabolique(parabole, ensemble vide, droite, paire de droites parallèles). Le cercle, l'ellipse, l'hyperbole et la parabole sont appelés courbes non dégénérées du second ordre.

L'équation générale , où , définissant une courbe non dégénérée (cercle, ellipse, hyperbole, parabole), toujours (par la méthode de sélection carrés pleins) peut être réduit à une équation de l’un des types suivants :

1a) -équation d'un cercle avec un centre en un point et un rayon (Fig. 5).

1b)- équation d'une ellipse avec un centre en un point et des axes de symétrie parallèles aux axes de coordonnées. Les nombres et - s'appellent demi-axes de l'ellipse le rectangle principal de l'ellipse ; sommets de l'ellipse .

Pour construire une ellipse dans le système de coordonnées : 1) marquez le centre de l’ellipse ; 2) passer par le centre ligne pointillée axe de symétrie de l'ellipse ; 3) on construit en pointillé le rectangle principal de l'ellipse avec le centre et les côtés parallèles aux axes de symétrie ; 4) Nous dessinons une ellipse avec une ligne continue, en l'inscrivant dans le rectangle principal de sorte que l'ellipse ne touche ses côtés qu'aux sommets de l'ellipse (Fig. 6).

De la même manière, un cercle est construit dont le rectangle principal a des côtés (Fig. 5).

Fig.5 Fig.6

2) - les équations des hyperboles (appelées conjuguer) avec un centre en un point et des axes de symétrie parallèles aux axes de coordonnées. Les nombres et - s'appellent demi-axes des hyperboles ; rectangle dont les côtés sont parallèles aux axes de symétrie et dont le centre est le point - le rectangle principal des hyperboles ; points d'intersection du rectangle principal avec les axes de symétrie - sommets des hyperboles ; lignes droites passant par les sommets opposés du rectangle principal - asymptotes des hyperboles .

Pour construire une hyperbole dans un système de coordonnées : 1) marquez le centre de l’hyperbole ; 2) tracez l'axe de symétrie de l'hyperbole passant par le centre avec une ligne pointillée ; 3) on construit en pointillé le rectangle principal de l'hyperbole avec le centre et les côtés parallèles aux axes de symétrie ; 4) tracer des lignes droites passant par les sommets opposés du rectangle principal avec une ligne pointillée, qui sont des asymptotes de l'hyperbole, dont les branches de l'hyperbole se rapprochent indéfiniment, à une distance infinie de l'origine des coordonnées, sans les couper ; 5) Nous représentons en trait plein les branches de l'hyperbole (Fig. 7) ou de l'hyperbole (Fig. 8).

Figure 7 Figure 8

3a)- équation d'une parabole avec un sommet en un point et un axe de symétrie parallèle à l'axe des coordonnées (Fig. 9).

3b)- équation d'une parabole avec un sommet en un point et un axe de symétrie parallèle à l'axe des coordonnées (Fig. 10).

Pour construire une parabole dans le système de coordonnées : 1) marquez le sommet de la parabole ; 2) tracez l'axe de symétrie de la parabole passant par le sommet avec une ligne pointillée ; 3) Nous représentons une parabole avec un trait plein, dirigeant sa branche, en tenant compte du signe du paramètre de la parabole : quand - dans côté positif un axe de coordonnées parallèle à l'axe de symétrie de la parabole (Fig. 9a et 10a) ; à - à côté négatif axe de coordonnées (Fig. 9b et 10b).

Riz. 9a Fig. 9b

Riz. 10a Fig. 10b

Thème 7. Des multitudes. Ensembles numériques. Fonction.

Sous beaucoup comprendre un certain ensemble d'objets de toute nature, distinguables les uns des autres et concevables comme un tout unique. Les objets qui composent un ensemble sont appelés éléments . Un ensemble peut être infini (se compose d'un nombre infini d'éléments), fini (se compose d'un nombre fini d'éléments), vide (ne contient pas un seul élément). Les ensembles sont désignés par : , et leurs éléments : . Un ensemble vide est noté .

L'ensemble s'appelle sous-ensemble set si tous les éléments de l'ensemble appartiennent à l'ensemble et écrivez . Les ensembles sont appelés égal , s'ils sont constitués des mêmes éléments et écrivent . Deux ensembles et seront égaux si et seulement si et .

L'ensemble s'appelle universel (dans le cadre de cette théorie mathématique) , si ses éléments sont tous des objets considérés dans cette théorie.

L'ensemble peut être spécifié : 1) listant tous ses éléments, par exemple : (uniquement pour les ensembles finis) ; 2) en précisant la règle permettant de déterminer si un élément d'un ensemble universel appartient à un ensemble donné : .

Association

En traversant ensembles et est appelé un ensemble

Par différence ensembles et est appelé un ensemble

Supplément les ensembles (avant l’ensemble universel) sont appelés un ensemble.

Les deux ensembles s'appellent équivalent et écrivez ~ si une correspondance biunivoque peut être établie entre les éléments de ces ensembles. L'ensemble s'appelle dénombrable , s'il est équivalent à l'ensemble des nombres naturels : ~. L'ensemble vide, par définition, est dénombrable.

Le concept de cardinalité d'un ensemble apparaît lors de la comparaison d'ensembles par le nombre d'éléments qu'ils contiennent. La cardinalité d'un ensemble est notée . La cardinalité d'un ensemble fini est le nombre de ses éléments.

Les ensembles équivalents ont une cardinalité égale. L'ensemble s'appelle innombrable , si sa puissance est supérieure à la puissance de l'ensemble.

Valide (réel) nombre appelé infini décimal, pris avec un signe « + » ou « ». Les nombres réels sont identifiés par des points sur la droite numérique. Module (valeur absolue) d'un nombre réel est un nombre non négatif :

L'ensemble s'appelle numérique , si ses éléments sont des nombres réels. à intervalles les ensembles de nombres sont appelés : , , , , , , , , .

L'ensemble de tous les points de la droite numérique qui satisfont à la condition , où est un nombre arbitrairement petit, est appelé -alentours (ou simplement un quartier) du point et est noté . L'ensemble de tous les points avec la condition , où - arbitrairement grand nombre, appelé - alentours (ou simplement un quartier) de l'infini et est noté .

Une quantité qui conserve la même valeur numérique est appelée constante. Une quantité qui prend différentes valeurs numériques s'appelle variable. Fonction s'appelle une règle selon laquelle chaque nombre est associé à un nombre très spécifique, et ils écrivent. L'ensemble s'appelle domaine de définition les fonctions, - beaucoup ( ou région ) valeurs les fonctions, - argument , - valeur de la fonction . La manière la plus courante de spécifier une fonction est la méthode analytique, dans laquelle la fonction est spécifiée par une formule. Domaine naturel de définition la fonction est l'ensemble des valeurs de l'argument pour lesquelles cette formule a du sens. Graphique de fonction , dans un système de coordonnées rectangulaires, est l'ensemble de tous les points du plan de coordonnées , .

La fonction s'appelle même sur un ensemble symétrique par rapport au point si la condition suivante est satisfaite pour tous : et impair , si la condition est remplie. Sinon - fonction vue générale ou ni pair ni impair .

La fonction s'appelle périodique sur le plateau s'il y a un numéro ( période de la fonction ), de telle sorte que la condition suivante soit satisfaite pour tous : . Le plus petit nombre appelée la période principale.

La fonction s'appelle augmentant de façon monotone (décroissant ) sur le plateau si valeur plus élevée L’argument correspond à une valeur plus grande (plus petite) de la fonction.

La fonction s'appelle limité sur le plateau, s'il existe un nombre tel que la condition suivante soit satisfaite pour tous : . Sinon la fonction est illimité .

Inverse Pour fonctionner , , est une fonction définie sur l'ensemble et pour chaque

Correspond à tel que . Pour trouver l'inverse d'une fonction , il faut résoudre l'équation relativement. Si la fonction , est strictement monotone sur , alors elle a toujours un inverse, et si la fonction augmente (diminue), alors fonction inverse augmente (diminue) également.

Une fonction représentée sous la forme , où , sont des fonctions telles que le domaine de définition de la fonction contient l'ensemble des valeurs de la fonction est appelée fonction complexe argumentation indépendante. La variable est appelée argument intermédiaire. Fonction complexe est aussi appelée composition de fonctions et , et s'écrit : .

Elémentaire de base les fonctions sont considérées : pouvoir fonction, indicatif fonction ( , ), logarithmique fonction ( , ), trigonométrique les fonctions , , , , trigonométrique inverse les fonctions , , , . Élémentaire appelé une fonction obtenue à partir de la base fonctions élémentaires un nombre fini de leurs opérations et compositions arithmétiques.

Si un graphe d'une fonction est donné, alors la construction d'un graphe de la fonction se réduit à une série de transformations (décalage, compression ou étirement, affichage) du graphe :

1) 2) la transformation affiche le graphique symétriquement, par rapport à l'axe ; 3) la transformation déplace le graphique le long de l'axe d'unités ( - vers la droite, - vers la gauche) ; 4) la transformation déplace le graphique le long de l'axe d'unités ( - vers le haut, - vers le bas) ; 5) transformer le graphique le long de l'axe s'étire d'un facteur, si ou se comprime par un facteur, si ; 6) La transformation du graphique le long de l'axe se compresse d'un facteur si ou s'étire d'un facteur si .

La séquence de transformations lors de la construction d'un graphique d'une fonction peut être représentée symboliquement comme suit :

Note. Lors de la transformation, gardez à l’esprit que l’ampleur du décalage le long de l’axe est déterminée par la constante ajoutée directement à l’argument, et non à l’argument.

Le graphique d'une fonction est une parabole avec un sommet au point dont les branches sont dirigées vers le haut si ou vers le bas si . Le graphique d'une fonction fractionnaire linéaire est une hyperbole centrée au point dont les asymptotes passent par le centre, parallèlement aux axes de coordonnées.

, satisfaisant la condition. appelé. Considérons le produit des vecteurs, Et
, composé comme suit :

. Ici, les deux premiers vecteurs sont multipliés vectoriellement et leur résultat est multiplié de manière scalaire par le troisième vecteur. Un tel produit est appelé produit vectoriel-scalaire ou mixte de trois vecteurs. Le produit mixte représente un nombre.
.

Découvrons le sens géométrique de l'expression . Le produit mixte de trois vecteurs est égal au volume du parallélépipède construit sur ces vecteurs, pris avec un signe plus si ces vecteurs forment un triplet droit, et avec un signe moins s'ils forment un triplet gauche.

Preuve.. Construisons un parallélépipède dont les arêtes sont des vecteurs , , et vecteur
.

Nous avons:
,
, Où - aire d'un parallélogramme construit sur des vecteurs Considérons le produit des vecteurs, ,
pour le bon triplet de vecteurs et
pour la gauche, où
- hauteur du parallélépipède. On a:
, c'est à dire.
, Où - volume d'un parallélépipède formé de vecteurs , Considérons le produit des vecteurs, .

Propriétés d'un produit mélangé

1. Le produit mélangé ne change pas lorsque cyclique réarrangement de ses facteurs, c'est-à-dire .

En effet, dans ce cas ni le volume du parallélépipède ni l'orientation de ses bords ne changent.

2. Le produit mixte ne change pas lorsque les signes de multiplication vectorielle et scalaire sont inversés, c'est-à-dire
.

Vraiment,
Considérons le produit des vecteurs,
. On prend le même signe à droite de ces égalités, puisque les triplets de vecteurs , , Considérons le produit des vecteurs, , , - une orientation.

Ainsi,
. Cela vous permet d'écrire un produit mixte de vecteurs
comme
sans signes de vecteur, multiplication scalaire.

3. Le produit mixte change de signe lorsque deux vecteurs facteurs changent de place, c'est-à-dire
,
,
.

En effet, un tel réarrangement équivaut à réarranger les facteurs dans un produit vectoriel, en changeant le signe du produit.

4. Produit mixte de vecteurs non nuls , Considérons le produit des vecteurs, est égal à zéro si et seulement s'ils sont coplanaires.

2.12. Calcul du produit mixte sous forme de coordonnées dans une base orthonormée

Soit les vecteurs
,
,
. Trouvons leur produit mixte en utilisant des expressions en coordonnées pour le vecteur et produits scalaires:

. (10)

La formule résultante peut s’écrire plus brièvement :

puisque le côté droit de l’égalité (10) représente l’expansion du déterminant du troisième ordre dans les éléments de la troisième rangée.

Ainsi, le produit mixte des vecteurs est égal au déterminant du troisième ordre, composé des coordonnées des vecteurs multipliés.

2.13.Quelques applications de produit mixte

Détermination de l'orientation relative des vecteurs dans l'espace

Détermination de l'orientation relative des vecteurs , Considérons le produit des vecteurs, sur la base des considérations suivantes. Si
, Que , , - trois à droite ; Si
, Que , , - il en reste trois.

Condition de coplanarité des vecteurs

Vecteurs , Considérons le produit des vecteurs, sont coplanaires si et seulement si leur produit mixte est égal à zéro (
,
,
):

vecteurs , , coplanaire.

Détermination des volumes d'un parallélépipède et d'une pyramide triangulaire

Il est facile de montrer que le volume d’un parallélépipède construit sur des vecteurs , Considérons le produit des vecteurs, calculé comme
, et le volume pyramide triangulaire, construit sur les mêmes vecteurs, est égal à
.

Exemple 1. Prouver que les vecteurs
,
,
coplanaire.

Solution. Trouvons le produit mixte de ces vecteurs à l'aide de la formule :

Cela signifie que les vecteurs
coplanaire.

Exemple 2.Étant donné les sommets du tétraèdre : (0, -2, 5), (6, 6, 0), (3, -3, 6),
(2, -1, 3). Trouver la longueur de sa hauteur abaissée par rapport au sommet .

Solution. Trouvons d'abord le volume du tétraèdre
. En utilisant la formule on obtient :

Puisque le déterminant est égal à un nombre négatif, alors dans dans ce cas Vous devez mettre un signe moins devant la formule. Ainsi,
.

La quantité requise h on détermine à partir de la formule
, Où S – la surface de base. Déterminons la zone S:

Où

Parce que le

Substitution dans la formule
valeurs
Considérons le produit des vecteurs,
, on a h= 3.

Exemple 3. Les vecteurs se forment-ils
base dans l'espace ? Développer le vecteur
basé sur des vecteurs.

Solution. Si les vecteurs forment une base dans l'espace, alors ils ne se trouvent pas dans le même plan, c'est-à-dire sont non coplanaires. Trouvons le produit mixte des vecteurs
:
,

Par conséquent, les vecteurs ne sont pas coplanaires et forment une base dans l’espace. Si les vecteurs forment une base dans l’espace, alors tout vecteur peut être représenté comme une combinaison linéaire de vecteurs de base, à savoir
,Où
coordonnées vectorielles en base vectorielle
. Trouvons ces coordonnées en composant et en résolvant un système d'équations

En le résolvant par la méthode de Gauss, on a

D'ici
. .

Alors
.

Ainsi, Exemple 4.
,
,
,
Les sommets de la pyramide sont situés aux points :

. Calculer:
;

a) zone du visage
;

b) volume de la pyramide
c) projection vectorielle
;

à la direction du vecteur
;

d) angle
,
,
coplanaire.

Solution

d) vérifier que les vecteurs

a) De la définition d'un produit vectoriel, on sait que :
Considérons le produit des vecteurs,
Trouver des vecteurs

,
.

, en utilisant la formule

, Où
.

Pour les vecteurs spécifiés par leurs projections, le produit vectoriel est trouvé par la formule

Pour notre cas

,
.

Nous trouvons la longueur du vecteur résultant en utilisant la formule
et puis

(unités carrées). , , b) Le produit mixte de trois vecteurs est égal en valeur absolue au volume d'un parallélépipède construit sur des vecteurs

comme sur les côtes.

Le produit mélangé est calculé à l'aide de la formule :
,
,
Trouvons des vecteurs :

, coïncidant avec les bords de la pyramide convergeant vers le sommet

Le produit mixte de ces vecteurs
,
,
, Que
Puisque le volume de la pyramide est égal à une partie du volume du parallélépipède construit sur les vecteurs

(unités cubes).
c) Utiliser la formule , , définissant le produit scalaire des vecteurs

Où
, peut s'écrire ainsi :
;

, peut s'écrire ainsi :
.

ou
c) projection vectorielle
Pour trouver la projection d'un vecteur
,
trouver les coordonnées des vecteurs

, puis en appliquant la formule

on a
d) Pour trouver l'angle
,
définir des vecteurs ayant début général :

à ce point

Ensuite, en utilisant la formule du produit scalaire

,
,

e) Pour que trois vecteurs

étaient coplanaires, il faut et suffisant que leur produit mixte soit égal à zéro.
.

Dans notre cas nous avons

Les vecteurs sont donc coplanaires. donné par les coordonnées, , le produit mélangé est calculé à l'aide de la formule : .

Thème 5. Lignes dans un avion.

Droit en surface dans le système de coordonnées peut être spécifié par une équation de l'un des types suivants :

1) - équation générale ligne, où est le vecteur normal de la ligne ;

2) - équation d'une droite passant par un point perpendiculaire à un vecteur donné ;

3) - équation d'une droite passant par un point parallèle à un vecteur donné ( équation canonique );

4) - équation d'une droite passant par deux points donnés, ;

5) - équations d'une droite avec pente , où est le point par lequel passe la ligne ; () – l'angle que fait la droite avec l'axe ; - longueur du segment (avec le signe) coupé par la droite sur l'axe (signe « » si le segment est coupé sur la partie positive de l'axe et « » si sur la partie négative).

Distance d'un point à une ligne , donné par une équation générale sur le plan, se trouve par la formule :

Coin , ( )entre des lignes droites et , donné par des équations générales ou des équations à coefficient angulaire, se trouve à l'aide de l'une des formules suivantes :

Si ou .

Si ou

Coordonnées du point d'intersection des lignes et sont trouvés comme solution à un système d'équations linéaires : ou .

Thème 10. Des multitudes. Ensembles numériques. Les fonctions.

L'ensemble s'appelle sous-ensemble set si tous les éléments de l'ensemble appartiennent à l'ensemble et écrivez .

Les ensembles sont appelés égal , s'ils sont constitués des mêmes éléments et écrivent . Deux ensembles et seront égaux si et seulement si et .

L'ensemble s'appelle universel (dans le cadre de cette théorie mathématique) , si ses éléments sont tous des objets considérés dans cette théorie.

Association

En traversant ensembles et est appelé un ensemble

Par différence ensembles et est appelé un ensemble

Supplément les ensembles (avant l’ensemble universel) sont appelés un ensemble.

Valide (réel) nombre Une fraction décimale infinie prise avec un signe « + » ou « » est appelée. Les nombres réels sont identifiés par des points sur la droite numérique.

Module (valeur absolue) d'un nombre réel est un nombre non négatif :

L'ensemble s'appelle numérique , si ses éléments sont des nombres réels. Numérique à intervalles sont appelés ensembles

Nombres: , , , , , , , , .

L'ensemble de tous les points de la droite numérique qui satisfont à la condition , où est un nombre arbitrairement petit, est appelé -alentours (ou simplement un quartier) du point et est noté . L'ensemble de tous les points avec la condition , où est un nombre arbitrairement grand, est appelé - alentours (ou simplement un quartier) de l'infini et est noté .

La fonction s'appelle même sur un ensemble symétrique par rapport au point si la condition suivante est satisfaite pour tous : et impair , si la condition est remplie. Sinon, une fonction de forme générale ou ni pair ni impair .

La fonction s'appelle augmentant de façon monotone (décroissant ) sur l'ensemble si une valeur plus grande de l'argument correspond à une valeur plus grande (plus petite) de la fonction.

La fonction s'appelle limité sur le plateau, s'il existe un nombre tel que la condition suivante soit satisfaite pour tous : . Sinon la fonction est illimité .

Inverse Pour fonctionner , , est une fonction qui est définie sur un ensemble et attribue à chacun tel que . Pour trouver l'inverse d'une fonction , il faut résoudre l'équation relativement. Si la fonction , est strictement monotone sur , alors il a toujours un inverse, et si la fonction augmente (diminue), alors la fonction inverse augmente (diminue) également.

Une fonction représentée sous la forme , où , sont des fonctions telles que le domaine de définition de la fonction contient l'ensemble des valeurs de la fonction est appelée fonction complexe argumentation indépendante. La variable est appelée argument intermédiaire. Une fonction complexe est aussi appelée composition de fonctions et , et s'écrit : .

Elémentaire de base les fonctions sont considérées : pouvoir fonction, indicatif fonction ( , ), logarithmique fonction ( , ), trigonométrique les fonctions , , , , trigonométrique inverse les fonctions , , , . Élémentaire est une fonction obtenue à partir de fonctions élémentaires de base par un nombre fini de leurs opérations et compositions arithmétiques.

Le graphique d'une fonction est une parabole avec un sommet au point dont les branches sont dirigées vers le haut si ou vers le bas si .

Dans certains cas, lors de la construction d'un graphe d'une fonction, il est conseillé de diviser son domaine de définition en plusieurs intervalles non chevauchants et de construire séquentiellement un graphe sur chacun d'eux.

Tout ensemble ordonné de nombres réels est appelé arithmétique ponctuelle et dimensionnelle (coordonner) espace et est désigné par ou , tandis que les nombres sont appelés ee coordonnées .

Soient et quelques ensembles de points et . Si chaque point se voit attribuer, selon une règle, un nombre réel bien défini , alors ils disent qu'une fonction numérique de variables est donnée sur l'ensemble et ils écrivent ou brièvement et , qui s'appelle domaine de définition , - ensemble de significations , - arguments (variables indépendantes).

Une fonction à deux variables est souvent désignée par , une fonction à trois variables par . Le domaine de définition d'une fonction est un certain ensemble de points dans le plan ; le domaine d'une fonction est un certain ensemble de points dans l'espace.

Thème 7. Séquences et séries de nombres. Limite de cohérence. Limite de fonction et continuité.

Si tout le monde entier naturel selon une règle, un nombre réel bien défini est attribué, puis ils disent que le donné séquence de nombres . Désigne brièvement . Le numéro est appelé membre commun de la séquence . La séquence est également appelée fonction d’argument naturel. Une séquence contient toujours une infinité d’éléments, dont certains peuvent être égaux.

Le numéro est appelé limite de la séquence , et écrivez si pour tout nombre il existe un nombre tel que pour toute inégalité .

Une suite ayant une limite finie est appelée convergent , sinon - divergent .

: 1) décroissant , Si ; 2) en augmentant , Si ; 3) non décroissant , Si ; 4) non croissant , Si . Toutes les séquences ci-dessus sont appelées monotone .

La séquence s'appelle limité , s'il existe un nombre tel que la condition suivante est satisfaite pour tous : . Sinon la séquence est illimité .

Chaque séquence délimitée monotone a une limite ( Théorème de Weierstrass).

La séquence s'appelle infinitésimal , Si . La séquence s'appelle infiniment grand (convergeant vers l'infini) si .

Nombre est appelée la limite de la suite, où

La constante s'appelle le nombre de Neper. Le logarithme d'un nombre par rapport à sa base s'appelle un algorithme naturel nombres et est désigné par .

Une expression de la forme , où est une suite de nombres, est appelée série de nombres et sera désigné. La somme des premiers termes de la série s’appelle -ème montant partiel rangée.

La série s'appelle convergent , s'il existe une limite finie et divergent , si la limite n'existe pas. Le numéro est appelé la somme d'une série convergente , en même temps ils écrivent.

Si la série converge, alors (un signe nécessaire de convergence d'une série ) . L’affirmation inverse n’est pas vraie.

Si , alors la série diverge ( une indication suffisante de la divergence d'une série ).

Série harmonique généralisée est une série qui converge et diverge vers .

Série géométrique est une série qui converge en , tandis que sa somme est égale et diverge en . trouver un chiffre ou un symbole.