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Desigualdades con módulo. Una nueva mirada a la solución. Ecuaciones y desigualdades con módulo.

Módulo de números este número en sí se llama si no es negativo, o el mismo número con el signo opuesto si es negativo.

Por ejemplo, el módulo del número 6 es 6 y el módulo del número -6 también es 6.

Es decir, se entiende por módulo de un número el valor absoluto, el valor absoluto de este número sin tener en cuenta su signo.

Se designa de la siguiente manera: |6|, | incógnita|, |A| etc.

(Para más detalles, consulte la sección “Módulo numérico”).

Ecuaciones con módulo.

Ejemplo 1 . Resuelve la ecuación|10 incógnita - 5| = 15.

Solución.

Según la regla, la ecuación equivale a la combinación de dos ecuaciones:

10incógnita - 5 = 15
10incógnita - 5 = -15

Decidimos:

10incógnita = 15 + 5 = 20
10incógnita = -15 + 5 = -10

incógnita = 20: 10
incógnita = -10: 10

incógnita = 2
incógnita = -1

Respuesta: incógnita 1 = 2, incógnita 2 = -1.

Ejemplo 2 . Resuelve la ecuación|2 incógnita + 1| = incógnita + 2.

Solución.

Dado que el módulo es un número no negativo, entonces incógnita+ 2 ≥ 0. En consecuencia:

incógnita ≥ -2.

Hagamos dos ecuaciones:

2incógnita + 1 = incógnita + 2
2incógnita + 1 = -(incógnita + 2)

Decidimos:

2incógnita + 1 = incógnita + 2
2incógnita + 1 = -incógnita - 2

2incógnita - incógnita = 2 - 1
2incógnita + incógnita = -2 - 1

incógnita = 1
incógnita = -1

Ambos números son mayores que -2. Entonces ambas son raíces de la ecuación.

Respuesta: incógnita 1 = -1, incógnita 2 = 1.

Ejemplo 3 . Resuelve la ecuación

|incógnita + 3| - 1
————— = 4
incógnita - 1

Solución.

La ecuación tiene sentido si el denominador no es cero, es decir, si incógnita≠ 1. Tengamos en cuenta esta condición. Nuestra primera acción es simple: no sólo nos deshacemos de la fracción, sino que la transformamos para obtener el módulo en su forma pura:

|incógnita+ 3| - 1 = 4 · ( incógnita - 1),

|incógnita + 3| - 1 = 4incógnita - 4,

|incógnita + 3| = 4incógnita - 4 + 1,

|incógnita + 3| = 4incógnita - 3.

Ahora sólo tenemos una expresión bajo el módulo en el lado izquierdo de la ecuación. Sigamos adelante.
El módulo de un número es un número no negativo, es decir, debe ser mayor que cero o igual a cero. En consecuencia, resolvemos la desigualdad:

4incógnita - 3 ≥ 0

4incógnita ≥ 3

incógnita ≥ 3/4

Por tanto, tenemos una segunda condición: la raíz de la ecuación debe ser al menos 3/4.

De acuerdo con la regla, formamos un conjunto de dos ecuaciones y las resolvemos:

incógnita + 3 = 4incógnita - 3
incógnita + 3 = -(4incógnita - 3)

incógnita + 3 = 4incógnita - 3
incógnita + 3 = -4incógnita + 3

incógnita - 4incógnita = -3 - 3
incógnita + 4incógnita = 3 - 3

incógnita = 2
incógnita = 0

Recibimos dos respuestas. Comprobemos si son raíces de la ecuación original.

Teníamos dos condiciones: la raíz de la ecuación no puede ser igual a 1 y debe ser al menos 3/4. Eso es incógnita ≠ 1, incógnita≥ 3/4. Sólo una de las dos respuestas obtenidas corresponde a ambas condiciones: el número 2. Esto significa que sólo ésta es la raíz de la ecuación original.

Respuesta: incógnita = 2.

Desigualdades con módulo.

Ejemplo 1 . Resolver desigualdad| incógnita - 3| < 4

Solución.

La regla del módulo establece:

|A| = A, Si A ≥ 0.

|A| = -A, Si A < 0.

El módulo puede tener números negativos y no negativos. Entonces tenemos que considerar ambos casos: incógnita- 3 ≥ 0 y incógnita - 3 < 0.

1) cuando incógnita- 3 ≥ 0 nuestra desigualdad original permanece como está, sólo que sin el signo del módulo:
incógnita - 3 < 4.

2) cuando incógnita - 3 < 0 в исходном неравенстве надо поставить знак минус перед всем подмодульным выражением:

-(incógnita - 3) < 4.

Abriendo los paréntesis obtenemos:

-incógnita + 3 < 4.

Así, de estas dos condiciones llegamos a la unificación de dos sistemas de desigualdades:

incógnita - 3 ≥ 0
incógnita - 3 < 4

incógnita - 3 < 0
-incógnita + 3 < 4

Resolvámoslos:

incógnita ≥ 3
incógnita < 7

incógnita < 3
incógnita > -1

Entonces, nuestra respuesta es una unión de dos conjuntos:

3 ≤ incógnita < 7 U -1 < incógnita < 3.

Determine el menor y valor más alto. Estos son -1 y 7. Además incógnita mayor que -1 pero menor que 7.
Además, incógnita≥ 3. Esto significa que la solución a la desigualdad es el conjunto completo de números del -1 al 7, excluyendo estos números extremos.

Respuesta: -1 < incógnita < 7.

O: incógnita ∈ (-1; 7).

Complementos.

1) Existe una forma más sencilla y breve de resolver nuestra desigualdad: gráficamente. Para hacer esto, dibuje un eje horizontal (Fig. 1).

Expresión | incógnita - 3| < 4 означает, что расстояние от точки incógnita al punto 3 es inferior a cuatro unidades. Marcamos el número 3 en el eje y contamos 4 divisiones a la izquierda y a la derecha del mismo. A la izquierda llegaremos al punto -1, a la derecha - al punto 7. Así, los puntos incógnita simplemente los vimos sin calcularlos.

Además, según la condición de desigualdad, -1 y 7 no están incluidos en el conjunto de soluciones. Así, obtenemos la respuesta:

1 < incógnita < 7.

2) Pero hay otra solución que es incluso más sencilla que el método gráfico. Para ello, nuestra desigualdad debe presentarse de la siguiente forma:

4 < incógnita - 3 < 4.

Después de todo, así es según la regla del módulo. El número no negativo 4 y el número negativo similar -4 son los límites para resolver la desigualdad.

4 + 3 < incógnita < 4 + 3

1 < incógnita < 7.

Ejemplo 2 . Resolver desigualdad| incógnita - 2| ≥ 5

Solución.

Este ejemplo es significativamente diferente del anterior. El lado izquierdo es mayor que 5 o igual a 5. C punto geométrico Desde el punto de vista, la solución a la desigualdad son todos los números que están a una distancia de 5 unidades o más del punto 2 (Fig. 2). El gráfico muestra que estos son todos números menores o iguales a -3 y mayores o iguales a 7. Esto significa que ya hemos recibido la respuesta.

Respuesta: -3 ≥ incógnita ≥ 7.

En el camino, resolvemos la misma desigualdad reordenando el término libre hacia la izquierda y hacia la derecha con el signo opuesto:

5 ≥ incógnita - 2 ≥ 5

5 + 2 ≥ incógnita ≥ 5 + 2

La respuesta es la misma: -3 ≥ incógnita ≥ 7.

O: incógnita ∈ [-3; 7]

El ejemplo está solucionado.

Ejemplo 3 . Resolver desigualdad 6 incógnita 2 - | incógnita| - 2 ≤ 0

Solución.

Número incógnita puede ser un número positivo, un número negativo o cero. Por tanto, debemos tener en cuenta las tres circunstancias. Como sabes, se tienen en cuenta en dos desigualdades: incógnita≥ 0 y incógnita < 0. При incógnita≥ 0 simplemente reescribimos nuestra desigualdad original tal como está, solo que sin el signo del módulo:

6x2- incógnita - 2 ≤ 0.

Ahora sobre el segundo caso: si incógnita < 0. Модулем отрицательного числа является это же число с противоположным знаком. То есть пишем число под модулем с обратным знаком и опять же освобождаемся от знака модуля:

6incógnita 2 - (-incógnita) - 2 ≤ 0.

Ampliando los corchetes:

6incógnita 2 + incógnita - 2 ≤ 0.

Así, obtuvimos dos sistemas de ecuaciones:

6incógnita 2 - incógnita - 2 ≤ 0
incógnita ≥ 0

6incógnita 2 + incógnita - 2 ≤ 0
incógnita < 0

Necesitamos resolver desigualdades en sistemas, y esto significa que necesitamos encontrar las raíces de dos ecuaciones cuadráticas. Para hacer esto, igualamos los lados izquierdos de las desigualdades a cero.

Empecemos por el primero:

6incógnita 2 - incógnita - 2 = 0.

Cómo resolver una ecuación cuadrática: consulte la sección "Ecuación cuadrática". Inmediatamente nombraremos la respuesta:

incógnita 1 = -1/2, x2 = 2/3.

Del primer sistema de desigualdades obtenemos que la solución a la desigualdad original es el conjunto completo de números desde -1/2 hasta 2/3. Escribimos la unión de soluciones en incógnita ≥ 0:
[-1/2; 2/3].

Ahora resolvamos la segunda ecuación cuadrática:

6incógnita 2 + incógnita - 2 = 0.

Sus raíces:

incógnita 1 = -2/3, incógnita 2 = 1/2.

Conclusión: cuando incógnita < 0 корнями исходного неравенства являются также все числа от -2/3 до 1/2.

Combinemos las dos respuestas y obtengamos la respuesta final: la solución es el conjunto completo de números desde -2/3 hasta 2/3, incluidos estos números extremos.

Respuesta: -2/3 ≤ incógnita ≤ 2/3.

O: incógnita ∈ [-2/3; 2/3].

Cómo mas gente entiende, más fuerte es su deseo de entender

Tomás de Aquino

El método de intervalo le permite resolver cualquier ecuación que contenga un módulo. La esencia de este método es dividir el eje numérico en varias secciones (intervalos), y el eje debe dividirse por los ceros de las expresiones en los módulos. Luego, en cada una de las secciones resultantes, cada expresión submodular es positiva o negativa. Por tanto, cada uno de los módulos se puede abrir ya sea con un signo menos o con un signo más. Después de estas acciones solo queda solucionar cada uno de los problemas recibidos. ecuaciones simples en el intervalo considerado y combinar las respuestas recibidas.

Veamos este método usando un ejemplo específico.

|x + 1| + |2x – 4| – |x + 3| = 2x – 6.

1) Busquemos los ceros de las expresiones en los módulos. Para hacer esto, necesitamos igualarlos a cero y resolver las ecuaciones resultantes.

x + 1 = 0 2x – 4 = 0 x + 3 = 0

x = -1 2x = 4 x = -3

2) Coloque los puntos resultantes en el orden requerido en la línea de coordenadas. Dividirán todo el eje en cuatro secciones.

3) Determinemos en cada uno de los apartados resultantes los signos de las expresiones de los módulos. Para hacer esto, les sustituimos cualquier número de los intervalos que nos interesan. Si el resultado del cálculo es un número positivo, ponemos "+" en la tabla, y si el número es negativo, ponemos "-". Esto se puede representar así:

4) Ahora resolveremos la ecuación en cada uno de los cuatro intervalos, revelando los módulos con los signos que se indican en la tabla. Entonces, veamos el primer intervalo:

Intervalo (-∞; -3). En él, todos los módulos se abren con un signo "-". Obtenemos la siguiente ecuación:

-(x + 1) – (2x – 4) – (-(x + 3)) = 2x – 6. Presentemos términos similares, abriendo primero los paréntesis en la ecuación resultante:

X – 1 – 2x + 4 + x + 3 = 2x – 6

La respuesta recibida no está incluida en el intervalo considerado, por lo que no es necesario escribirla en la respuesta final.

intervalo II [-3; -1). En este intervalo en la tabla hay signos “–”, “–”, “+”. Así es exactamente como abrimos los módulos de la ecuación original:

-(x + 1) – (2x – 4) – (x + 3) = 2x – 6. Simplifiquemos abriendo los corchetes:

X – 1 – 2x + 4 – x – 3 = 2x – 6. Presentemos otras similares en la ecuación resultante:

x = 6/5. El número resultante no pertenece al intervalo considerado, por lo tanto no es la raíz de la ecuación original.

Intervalo III [-1; 2). Ampliamos los módulos de la ecuación original con los signos que aparecen en la tercera columna de la figura. Obtenemos:

(x + 1) – (2x – 4) – (x + 3) = 2x – 6. Eliminemos los paréntesis y muevamos los términos que contienen la variable x al lado izquierdo de la ecuación, y los que no contienen x a el derecho. Tendremos:

x + 1 – 2x + 4 – x – 3 = 2x – 6

El número 2 no está incluido en el intervalo considerado.

Intervalo IV): automáticamente considerarán esto como una respuesta incorrecta. Además, al realizar la prueba, si se da una desigualdad no estricta con módulos, busque áreas entre corchetes entre las soluciones.

En el intervalo (-3;0), ampliando el módulo, cambiamos el signo de la función al opuesto

Teniendo en cuenta el área de divulgación de la desigualdad, la solución tendrá la forma

Junto con el área anterior esto dará dos medios intervalos.

Ejemplo 5. Encuentra una solución a la desigualdad.
9x^2-|x-3|>=9x-2

Solución:
Se da una desigualdad no estricta cuya función submodular es igual a cero en el punto x=3.<3.

Para valores más pequeños es negativo, para valores más grandes es positivo. Expandir el módulo en el intervalo x.

Encontrar el discriminante de la ecuación.

y raíces

Sustituyendo el punto cero, encontramos que en el intervalo [-1/9;1] la función cuadrática es negativa, por lo tanto el intervalo es una solución. A continuación ampliamos el módulo en x>3

Hoy, amigos, no habrá mocos ni sentimentalismos. En cambio, te enviaré, sin hacer preguntas, a la batalla con uno de los oponentes más formidables en el curso de álgebra de octavo y noveno grado.

Sí, entendiste todo correctamente: estamos hablando de desigualdades con módulo. Analizaremos cuatro técnicas básicas con las que aprenderá a resolver aproximadamente el 90% de estos problemas. ¿Qué pasa con el 10% restante? Bueno, hablaremos de ellos en una lección aparte :)

Sin embargo, antes de analizar cualquiera de las técnicas, me gustaría recordarte dos datos que ya necesitas saber. De lo contrario, corre el riesgo de no comprender en absoluto el material de la lección de hoy.

Lo que ya necesitas saber

  1. El Capitán Obviedad parece insinuar que para resolver desigualdades con módulo es necesario saber dos cosas:
  2. Cómo se resuelven las desigualdades;

¿Qué es un módulo?

Empecemos por el segundo punto.

Definición del módulo

Aquí todo es sencillo. Hay dos definiciones: algebraica y gráfica. Para empezar - algebraico:

Definición. El módulo de un número $x$ es el número mismo, si no es negativo, o el número opuesto, si el $x$ original sigue siendo negativo.

Está escrito así:

\[\izquierda| x \right|=\left\( \begin(align) & x,\ x\ge 0, \\ & -x,\ x \lt 0. \\\end(align) \right.\]

En términos simples, un módulo es un "número sin menos". Y es en esta dualidad (en algunos lugares no tienes que hacer nada con el número original, pero en otros tendrás que eliminar algún tipo de signo negativo) donde radica toda la dificultad para los estudiantes principiantes. hay mas. También es útil saberlo, pero recurriremos a él sólo en casos complejos y algunos especiales, donde el enfoque geométrico es más conveniente que el algebraico (spoiler: hoy no).

Definición. Sea el punto $a$ marcado en la recta numérica. Entonces el módulo $\left| x-a \right|$ es la distancia desde el punto $x$ al punto $a$ en esta línea.

Si haces un dibujo, obtendrás algo como esto:


Definición del módulo gráfico.

De una forma u otra, de la definición de un módulo se desprende inmediatamente su propiedad clave: el módulo de un número es siempre una cantidad no negativa. Este hecho será un hilo rojo que atravesará toda nuestra narrativa de hoy.

Resolver desigualdades. método de intervalo

Ahora veamos las desigualdades. Hay muchísimos de ellos, pero nuestra tarea ahora es poder resolver al menos el más simple de ellos. Los que bajan a desigualdades lineales, así como al método del intervalo.

Tengo dos grandes lecciones sobre este tema (por cierto, muy, MUY útiles; recomiendo estudiarlas):

  1. Método de intervalos para desigualdades (especialmente mire el video);
  2. Las desigualdades racionales fraccionarias es una lección muy extensa, pero después no tendrás ninguna pregunta.

Si sabes todo esto, si la frase “pasemos de la desigualdad a la ecuación” no te provoca un vago deseo de darte contra la pared, entonces estás listo: bienvenido al infierno al tema principal de la lección :)

1. Desigualdades de la forma “El módulo es menor que la función”

Este es uno de los problemas más comunes con los módulos. Se requiere resolver una desigualdad de la forma:

\[\izquierda| Miedo| \ltg\]

Las funciones $f$ y $g$ pueden ser cualquier cosa, pero normalmente son polinomios. Ejemplos de tales desigualdades:

\[\begin(alinear) & \left| 2x+3 \derecha| \ltx+7; \\ & \izquierda| ((x)^(2))+2x-3 \right|+3\left(x+1 \right) \lt 0; \\ & \izquierda| ((x)^(2))-2\izquierda| x \right|-3 \right| \lt 2. \\\end(align)\]

Todos ellos se pueden resolver literalmente en una línea según el siguiente esquema:

\[\izquierda| Miedo| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g\quad \left(\Rightarrow \left\( \begin(align) & f \lt g, \\ & f \gt -g \\\end(align) \derecha.\derecha)\]

Es fácil ver que nos deshacemos del módulo, pero a cambio obtenemos una doble desigualdad (o, lo que es lo mismo, un sistema de dos desigualdades). Pero esta transición tiene en cuenta absolutamente todo. posibles problemas: si el número bajo el módulo es positivo, el método funciona; si es negativo, todavía funciona; e incluso con la función más inadecuada en lugar de $f$ o $g$, el método seguirá funcionando.

Naturalmente, surge la pregunta: ¿no podría ser más sencillo? Lamentablemente, no es posible. Este es el objetivo del módulo.

Pero basta ya de filosofar. Resolvamos un par de problemas:

Tarea. Resuelve la desigualdad:

\[\izquierda| 2x+3 \derecha| \ltx+7\]

Solución. Entonces, tenemos ante nosotros una desigualdad clásica de la forma "el módulo es menor": ni siquiera hay nada que transformar. Trabajamos según el algoritmo:

\[\begin(alinear) & \left| miedo\derecho| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g; \\ & \izquierda| 2x+3 \derecha| \lt x+7\Rightarrow -\left(x+7 \right) \lt 2x+3 \lt x+7 \\\end(align)\]

No se apresure a abrir los paréntesis precedidos por un "menos": es muy posible que con las prisas cometa un error ofensivo.

\[-x-7 \lt 2x+3 \lt x+7\]

\[\left\( \begin(align) & -x-7 \lt 2x+3 \\ & 2x+3 \lt x+7 \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & -3x \lt 10 \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & x \gt -\frac(10)(3) \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \right.\]

El problema se redujo a dos desigualdades elementales. Observemos sus soluciones en rectas numéricas paralelas:

Intersección de conjuntos

La intersección de estos conjuntos será la respuesta.

Respuesta: $x\in \left(-\frac(10)(3);4 \right)$

Tarea. Resuelve la desigualdad:

\[\izquierda| ((x)^(2))+2x-3 \right|+3\left(x+1 \right) \lt 0\]

Solución. Esta tarea es un poco más difícil. Primero, aislamos el módulo moviendo el segundo término hacia la derecha:

\[\izquierda| ((x)^(2))+2x-3 \derecha| \lt -3\left(x+1 \right)\]

Obviamente, nuevamente tenemos una desigualdad de la forma “el módulo es más pequeño”, por lo que nos deshacemos del módulo usando el algoritmo ya conocido:

\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right) \lt ((x)^(2))+2x-3 \lt -3\left(x+1 \right)\]

Ahora atención: alguien dirá que soy un poco pervertido con todos estos paréntesis. Pero permítanme recordarles una vez más que nuestro objetivo clave es resuelve correctamente la desigualdad y obtén la respuesta. Más adelante, cuando hayas dominado perfectamente todo lo descrito en esta lección, podrás pervertirlo tú mismo como quieras: abrir paréntesis, añadir menos, etc.

Para empezar, simplemente nos desharemos del doble menos de la izquierda:

\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right)=\left(-1 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(x+1 \right) =3\izquierda(x+1 \derecha)\]

Ahora abramos todos los corchetes en la doble desigualdad:

Pasemos a la doble desigualdad. Esta vez los cálculos serán más serios:

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -3x-3 \\ & 3x+3 \lt ((x)^(2))+2x -3 \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+5x \lt 0 \\ & ((x)^(2))-x-6 \gt 0 \\ \end( alinear)\derecha.\]

Ambas desigualdades son cuadráticas y se pueden resolver usando el método de intervalos (por eso digo: si no sabes qué es esto, mejor no tomar módulos todavía). Pasemos a la ecuación de la primera desigualdad:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+5x=0; \\ & x\left(x+5 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=0;((x)_(2))=-5. \\\end(alinear)\]

Como puede ver, el resultado es una ecuación cuadrática incompleta, que se puede resolver de forma elemental. Ahora veamos la segunda desigualdad del sistema. Allí tendrás que aplicar el teorema de Vieta:

\[\begin(align) & ((x)^(2))-x-6=0; \\ & \left(x-3 \right)\left(x+2 \right)=0; \\& ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-2. \\\end(alinear)\]

Marcamos los números resultantes en dos líneas paralelas (separadas para la primera desigualdad y separadas para la segunda):

Nuevamente, dado que estamos resolviendo un sistema de desigualdades, nos interesa la intersección de los conjuntos sombreados: $x\in \left(-5;-2 \right)$. Ésta es la respuesta.

Respuesta: $x\in \left(-5;-2 \right)$

Creo que después de estos ejemplos el esquema de solución es sumamente claro:

  1. Aísle el módulo moviendo todos los demás términos al lado opuesto de la desigualdad. Así obtenemos una desigualdad de la forma $\left| miedo\derecho| \ltg$.
  2. Resuelva esta desigualdad deshaciéndose del módulo según el esquema descrito anteriormente. En algún momento será necesario pasar de la doble desigualdad a un sistema de dos expresiones independientes, cada una de las cuales ya puede resolverse por separado.
  3. Finalmente, todo lo que queda es intersecar las soluciones de estas dos expresiones independientes, y eso es todo, obtendremos la respuesta final.

Existe un algoritmo similar para desigualdades del siguiente tipo, cuando el módulo más características. Sin embargo, hay un par de “peros” serios. Hablaremos ahora de estos “peros”.

2. Desigualdades de la forma “El módulo es mayor que la función”

Se ven así:

\[\izquierda| miedo\derecho| \gtg\]

¿Parecido al anterior? Parece. Y, sin embargo, estos problemas se resuelven de una manera completamente diferente. Formalmente, el esquema es el siguiente:

\[\izquierda| miedo\derecho| \gt g\Rightarrow \left[ \begin(align) & f \gt g, \\ & f \lt -g \\\end(align) \right.\]

En otras palabras, consideramos dos casos:

  1. Primero, simplemente ignoramos el módulo y resolvemos la desigualdad habitual;
  2. Luego, en esencia, expandimos el módulo con el signo menos y luego multiplicamos ambos lados de la desigualdad por −1, mientras tengo el signo.

En este caso, las opciones se combinan con un corchete, es decir Tenemos ante nosotros una combinación de dos requisitos.

Tenga en cuenta nuevamente: esto no es un sistema, sino una totalidad, por lo tanto en la respuesta los conjuntos se combinan en lugar de cruzarse. ¡Esta es una diferencia fundamental con respecto al punto anterior!

En general, muchos estudiantes están completamente confundidos con las uniones y las intersecciones, así que solucionemos este problema de una vez por todas:

  • "∪" es un signo sindical. De hecho, esta es una letra estilizada "U" que nos llegó desde idioma en Inglés y es una abreviatura de “Unión”, es decir "Asociaciones".
  • "∩" es la señal de intersección. Esta basura no surgió de ninguna parte, sino que simplemente apareció como un contrapunto a “∪”.

Para que sea aún más fácil de recordar, simplemente dibuje piernas en estos carteles para hacer anteojos (pero no me acuse ahora de promover la adicción a las drogas y el alcoholismo: si está estudiando seriamente esta lección, entonces ya es un drogadicto):

Diferencia entre intersección y unión de conjuntos.

Traducido al ruso, esto significa lo siguiente: la unión (totalidad) incluye elementos de ambos conjuntos, por lo tanto, de ninguna manera es menos que cada uno de ellos; pero la intersección (sistema) incluye solo aquellos elementos que están simultáneamente tanto en el primer conjunto como en el segundo. Por lo tanto, la intersección de conjuntos nunca es mayor que los conjuntos fuente.

¿Entonces quedó más claro? Genial. Pasemos a la práctica.

Tarea. Resuelve la desigualdad:

\[\izquierda| 3x+1 \derecha| \gt 5-4x\]

Solución. Procedemos según el esquema:

\[\izquierda| 3x+1 \derecha| \gt 5-4x\Rightarrow \left[ \begin(align) & 3x+1 \gt 5-4x \\ & 3x+1 \lt -\left(5-4x \right) \\\end(align) \ bien.\]

Resolvemos cada desigualdad de la población:

\[\left[ \begin(align) & 3x+4x \gt 5-1 \\ & 3x-4x \lt -5-1 \\ \end(align) \right.\]

\[\left[ \begin(align) & 7x \gt 4 \\ & -x \lt -6 \\ \end(align) \right.\]

\[\left[ \begin(align) & x \gt 4/7\ \\ & x \gt 6 \\ \end(align) \right.\]

Marcamos cada conjunto resultante en la recta numérica y luego los combinamos:

unión de conjuntos

Es bastante obvio que la respuesta será $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

Respuesta: $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

Tarea. Resuelve la desigualdad:

\[\izquierda| ((x)^(2))+2x-3 \derecha| \gtx\]

Solución. ¿Bien? Nada, todo es igual. Pasamos de una desigualdad con módulo a un conjunto de dos desigualdades:

\[\izquierda| ((x)^(2))+2x-3 \derecha| \gt x\Rightarrow \left[ \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x \\ & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x \\\end(align) \right.\]

Resolvemos cada desigualdad. Desafortunadamente, las raíces allí no serán muy buenas:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x; \\ & ((x)^(2))+x-3 \gt 0; \\&D=1+12=13; \\ & x=\frac(-1\pm \sqrt(13))(2). \\\end(alinear)\]

La segunda desigualdad también es un poco descabellada:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x; \\ & ((x)^(2))+3x-3 \lt 0; \\&D=9+12=21; \\ & x=\frac(-3\pm \sqrt(21))(2). \\\end(alinear)\]

Ahora necesitas marcar estos números en dos ejes: un eje para cada desigualdad. Sin embargo, los puntos deben marcarse en en el orden correcto: cómo numero mayor, cuanto más desplazamos el punto hacia la derecha.

Y aquí nos espera una configuración. Si todo está claro con los números $\frac(-3-\sqrt(21))(2) \lt \frac(-1-\sqrt(13))(2)$ (los términos en el numerador del primer fracción son menores que los términos en el numerador de la segunda, por lo que la suma también es menor), con los números $\frac(-3-\sqrt(13))(2) \lt \frac(-1+\sqrt (21))(2)$ tampoco habrá dificultades (un número positivo obviamente es más negativo), luego con el último par no todo está tan claro. ¿Cuál es mayor: $\frac(-3+\sqrt(21))(2)$ o $\frac(-1+\sqrt(13))(2)$? La ubicación de los puntos en las rectas numéricas y, de hecho, la respuesta dependerán de la respuesta a esta pregunta.

Entonces comparemos:

\[\begin(matriz) \frac(-1+\sqrt(13))(2)\vee \frac(-3+\sqrt(21))(2) \\ -1+\sqrt(13)\ vee -3+\sqrt(21) \\ 2+\sqrt(13)\vee \sqrt(21) \\\end(matriz)\]

Aislamos la raíz, obtuvimos números no negativos en ambos lados de la desigualdad, por lo que tenemos derecho a elevar al cuadrado ambos lados:

\[\begin(matriz) ((\left(2+\sqrt(13) \right))^(2))\vee ((\left(\sqrt(21) \right))^(2)) \ \ 4+4\sqrt(13)+13\vee 21 \\ 4\sqrt(13)\vee 3 \\\end(matriz)\]

Creo que es una obviedad que $4\sqrt(13) \gt 3$, entonces $\frac(-1+\sqrt(13))(2) \gt \frac(-3+\sqrt(21)) ( 2)$, los puntos finales de los ejes se colocarán así:

Un caso de raíces feas

Permítanme recordarles que estamos resolviendo una colección, por lo que la respuesta será una unión, no una intersección de conjuntos sombreados.

Respuesta: $x\in \left(-\infty ;\frac(-3+\sqrt(21))(2) \right)\bigcup \left(\frac(-1+\sqrt(13))(2 );+\infty \derecha)$

Como puede ver, nuestro esquema funciona muy bien para ambos. tareas simples, y para los muy duros. Lo único " punto débil“En este enfoque, es necesario comparar de manera competente números irracionales (y créanme: no son solo raíces). Pero se dedicará una lección aparte (y muy seria) a las cuestiones de comparación. Y seguimos adelante.

3. Desigualdades con “colas” no negativas

Ahora llegamos a la parte más interesante. Estas son desigualdades de la forma:

\[\izquierda| Miedo| \gt\izquierda| g\derecho|\]

En términos generales, el algoritmo del que hablaremos ahora es correcto sólo para el módulo. Funciona en todas las desigualdades donde se garantizan expresiones no negativas a la izquierda y a la derecha:

¿Qué hacer con estas tareas? Solo recuerda:

En desigualdades con “colas” no negativas, ambos lados pueden elevarse a cualquier potencia natural. No habrá restricciones adicionales.

En primer lugar, nos interesará la cuadratura: quema módulos y raíces:

\[\begin(align) & ((\left(\left| f \right| \right))^(2))=((f)^(2)); \\ & ((\left(\sqrt(f) \right))^(2))=f. \\\end(alinear)\]

Pero no confundas esto con sacar la raíz de un cuadrado:

\[\sqrt(((f)^(2)))=\izquierda| f \right|\ne f\]

¡Se cometieron innumerables errores cuando un estudiante olvidó instalar un módulo! Pero esta es una historia completamente diferente (son, por así decirlo, ecuaciones irracionales), por lo que no entraremos en esto ahora. Resolvamos mejor un par de problemas:

Tarea. Resuelve la desigualdad:

\[\izquierda| x+2 \right|\ge \left| 1-2x \derecha|\]

Solución. Notemos inmediatamente dos cosas:

  1. Esta no es una desigualdad estricta. Se perforarán los puntos de la recta numérica.
  2. Ambos lados de la desigualdad son obviamente no negativos (esta es una propiedad del módulo: $\left| f\left(x \right) \right|\ge 0$).

Por lo tanto, podemos elevar al cuadrado ambos lados de la desigualdad para deshacernos del módulo y resolver el problema usando el método de intervalo habitual:

\[\begin(align) & ((\left(\left| x+2 \right| \right))^(2))\ge ((\left(\left| 1-2x \right| \right) )^(2)); \\ & ((\left(x+2 \right))^(2))\ge ((\left(2x-1 \right))^(2)). \\\end(alinear)\]

En el último paso hice un poco de trampa: cambié la secuencia de términos, aprovechando la uniformidad del módulo (de hecho, multipliqué la expresión $1-2x$ por −1).

\[\begin(align) & ((\left(2x-1 \right))^(2))-((\left(x+2 \right))^(2))\le 0; \\ & \left(\left(2x-1 \right)-\left(x+2 \right) \right)\cdot \left(\left(2x-1 \right)+\left(x+2 \ derecha)\derecha)\le 0; \\ & \left(2x-1-x-2 \right)\cdot \left(2x-1+x+2 \right)\le 0; \\ & \left(x-3 \right)\cdot \left(3x+1 \right)\le 0. \\\end(align)\]

Resolvemos usando el método del intervalo. Pasemos de la desigualdad a la ecuación:

\[\begin(align) & \left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-\frac(1)(3). \\\end(alinear)\]

Marcamos las raíces encontradas en la recta numérica. Una vez más: ¡todos los puntos están sombreados porque la desigualdad original no es estricta!

Deshacerse del signo del módulo

Permítanme recordarles a aquellos que son especialmente testarudos: tomamos los signos de la última desigualdad, que fue escrita antes de pasar a la ecuación. Y pintamos sobre las áreas requeridas en la misma desigualdad. En nuestro caso es $\left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)\le 0$.

Bueno, eso es todo. El problema está resuelto.

Respuesta: $x\in \left[ -\frac(1)(3);3 \right]$.

Tarea. Resuelve la desigualdad:

\[\izquierda| ((x)^(2))+x+1 \right|\le \left| ((x)^(2))+3x+4 \derecha|\]

Solución. Hacemos todo igual. No haré comentarios, solo mira la secuencia de acciones.

Cuadrarlo:

\[\begin(align) & ((\left(\left| ((x)^(2))+x+1 \right| \right))^(2))\le ((\left(\left | ((x)^(2))+3x+4 \derecha| \derecha))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \right))^(2))\le ((\left(((x)^(2))+3x+4 \derecha))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \right))^(2))-((\left(((x)^(2))+3x+4 \ derecha))^(2))\le 0; \\ & \left(((x)^(2))+x+1-((x)^(2))-3x-4 \right)\times \\ & \times \left(((x) ^(2))+x+1+((x)^(2))+3x+4 \right)\le 0; \\ & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)\le 0. \\\end(align)\]

Método de intervalo:

\[\begin(align) & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)=0 \\ & -2x-3=0\ Flecha derecha x=-1,5; \\ & 2((x)^(2))+4x+5=0\Rightarrow D=16-40 \lt 0\Rightarrow \varnothing . \\\end(alinear)\]

Sólo hay una raíz en la recta numérica:

La respuesta es un intervalo completo.

Respuesta: $x\in \left[ -1.5;+\infty \right)$.

Una pequeña nota sobre la última tarea. Como señaló con precisión uno de mis alumnos, ambas expresiones submodulares en esta desigualdad son obviamente positivas, por lo que el signo del módulo se puede omitir sin dañar la salud.

Pero este es un nivel de pensamiento completamente diferente y un enfoque diferente: convencionalmente se le puede llamar el método de las consecuencias. Sobre esto, en una lección separada. Ahora pasemos a la parte final de la lección de hoy y veamos un algoritmo universal que siempre funciona. Incluso cuando todos los enfoques anteriores fueron impotentes :)

4. Método de enumeración de opciones.

¿Qué pasa si todas estas técnicas no ayudan? ¿Si la desigualdad no se puede reducir a colas no negativas, si es imposible aislar el módulo, si en general hay dolor, tristeza, melancolía?

Entonces entra en escena la “artillería pesada” de todas las matemáticas: el método de la fuerza bruta. En relación con las desigualdades con módulo, se ve así:

  1. Escriba todas las expresiones submodulares e igualelas a cero;
  2. Resuelve las ecuaciones resultantes y marca las raíces encontradas en una recta numérica;
  3. La línea recta se dividirá en varios tramos, dentro de los cuales cada módulo tiene un signo fijo y por tanto se revela de forma única;
  4. Resuelva la desigualdad en cada una de estas secciones (puede considerar por separado los límites de las raíces obtenidos en el paso 2, para mayor confiabilidad). Combine los resultados: esta será la respuesta :)

Entonces ¿cómo? ¿Débil? ¡Fácilmente! Sólo por mucho tiempo. Veamos en la práctica:

Tarea. Resuelve la desigualdad:

\[\izquierda| x+2 \derecha| \lt \left| x-1 \right|+x-\frac(3)(2)\]

Solución. Esta basura no se reduce a desigualdades como $\left| Miedo| \lt g$, $\izquierda| Miedo| \gt g$ o $\left| Miedo| \lt \left| g \right|$, entonces actuamos con anticipación.

Escribimos expresiones submodulares, las igualamos a cero y encontramos las raíces:

\[\begin(align) & x+2=0\Rightarrow x=-2; \\ & x-1=0\Flecha derecha x=1. \\\end(alinear)\]

En total, tenemos dos raíces que dividen la recta numérica en tres secciones, dentro de las cuales cada módulo se revela de forma única:

Partición de la recta numérica por ceros de funciones submodulares

Veamos cada sección por separado.

1. Sea $x \lt -2$. Entonces ambas expresiones submodulares son negativas y la desigualdad original se reescribirá de la siguiente manera:

\[\begin(align) & -\left(x+2 \right) \lt -\left(x-1 \right)+x-1.5 \\ & -x-2 \lt -x+1+ x- 1.5 \\ & x \gt 1.5 \\\end(align)\]

Tenemos una limitación bastante simple. Crucémoslo con la suposición inicial de que $x \lt -2$:

\[\left\( \begin(align) & x \lt -2 \\ & x \gt 1.5 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]

Obviamente, la variable $x$ no puede ser simultáneamente menor que −2 y mayor que 1,5. No hay soluciones en este ámbito.

1.1. Consideremos por separado el caso límite: $x=-2$. Simplemente sustituyamos este número en la desigualdad original y comprobemos: ¿es cierto?

\[\begin(align) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1.5 \right|)_(x=-2) ) \ \ & 0 \lt \left| -3\derecha|-2-1.5; \\ & 0 \lt 3-3.5; \\ & 0 \lt -0.5\Rightarrow \varnothing . \\\end(alinear)\]

Es obvio que la cadena de cálculos nos ha llevado a una desigualdad incorrecta. Por lo tanto, la desigualdad original también es falsa y $x=-2$ no está incluido en la respuesta.

2. Sea ahora $-2 \lt x \lt 1$. El módulo izquierdo ya se abrirá con un "más", pero el derecho todavía se abrirá con un "menos". Tenemos:

\[\begin(align) & x+2 \lt -\left(x-1 \right)+x-1.5 \\ & x+2 \lt -x+1+x-1.5 \\& x \lt - 2.5 \\\end(alinear)\]

Nuevamente nos cruzamos con el requisito original:

\[\left\( \begin(align) & x \lt -2.5 \\ & -2 \lt x \lt 1 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]

Y nuevamente el conjunto de soluciones está vacío, ya que no hay números que sean menores que −2,5 y mayores que −2.

2.1. Y nuevamente un caso especial: $x=1$. Sustituimos en la desigualdad original:

\[\begin(align) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1.5 \right|)_(x=1)) \\ &\izquierda| 3\derecha| \lt \left| 0\derecha|+1-1,5; \\ & 3 \lt -0,5; \\ & 3 \lt -0.5\Rightarrow \varnothing . \\\end(alinear)\]

Al igual que en el “caso especial” anterior, el número $x=1$ claramente no está incluido en la respuesta.

3. La última parte de la línea: $x \gt 1$. Aquí todos los módulos se abren con un signo más:

\[\begin(align) & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x \gt 4.5 \\ \end(align)\ ]

Y nuevamente cruzamos el conjunto encontrado con la restricción original:

\[\left\( \begin(align) & x \gt 4.5 \\ & x \gt 1 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \left(4.5;+\infty \right)\ ]

Bueno, ¡por fin! Hemos encontrado un intervalo que será la respuesta.

Respuesta: $x\in \left(4,5;+\infty \right)$

Finalmente, una observación que puede salvarle de errores estúpidos al resolver problemas reales:

Las soluciones a desigualdades con módulos suelen representar conjuntos continuos en la recta numérica: intervalos y segmentos. Los puntos aislados son mucho menos comunes. Y con menos frecuencia sucede que el límite de la solución (el final del segmento) coincide con el límite del rango considerado.

En consecuencia, si los límites (los mismos “casos especiales”) no se incluyen en la respuesta, entonces es casi seguro que las áreas a la izquierda y a la derecha de estos límites no se incluirán en la respuesta. Y viceversa: la frontera entró en la respuesta, lo que significa que algunas áreas a su alrededor también serán respuestas.

Tenga esto en cuenta al revisar sus soluciones.

Institución educativa municipal "Khvastovichskaya" escuela secundaria»

"El método de intervalos para resolver ecuaciones y desigualdades con múltiples módulos"

trabajo de investigacion en matematicas

Terminado:

estudiante de décimo grado

Golysheva Evgenia

Supervisor:

profesor de matematicas

Shapenskaya E.N.

Introducción…………………………………………………………………………………… … ….3 Capítulo 1. Métodos para resolver problemas con varios módulos…… …………… …............4 1.1.Definición de módulo. Solución por definición....4 1.2 Resolver ecuaciones con múltiples módulos usando el método de intervalos......5 1.3. Problemas con múltiples módulos. Métodos de solución………………………………....7 1.4. Método de intervalos en problemas con módulos……………………………………...9 Capítulo 2. Ecuaciones y desigualdades que contienen módulos………………………….….11 2.1 Resolver ecuaciones con varios módulos usando el método de intervalos.….11 2.2 Resolver desigualdades con varios módulos usando el método de intervalos.…13 Conclusión…………………………………………………… … ……………………...15 Literatura……………………………………………………………………………….………….…. 16

Introducción

El concepto de valor absoluto es una de las características más importantes de un número, tanto en el ámbito de los números reales como en el de los complejos. Este concepto es ampliamente utilizado no solo en varias secciones. curso escolar matemáticas, sino también en cursos de matemáticas superiores, física y ciencias técnicas cursadas en las universidades. Los problemas relacionados con los valores absolutos se encuentran a menudo en las Olimpíadas de matemáticas, los exámenes de acceso a la universidad y el Examen Estatal Unificado.

Sujeto:"El método de intervalos para resolver ecuaciones y desigualdades con múltiples módulos mediante el método de intervalos".

Área objetivo: matemáticas.

Objeto de estudio: Resolver ecuaciones y desigualdades con módulo.

Tema de investigación: Método de intervalo para resolver con varios módulos.

Propósito del estudio: Identificar la efectividad de resolver ecuaciones y desigualdades con varios módulos utilizando el método de intervalo.

Hipótesis: Si utiliza el método de intervalos para resolver desigualdades y ecuaciones con varios módulos, puede simplificar significativamente su trabajo.

Métodos de trabajo: recopilación de información y su análisis.

Tareas:

    Estudie la literatura sobre este tema.

    Considere soluciones a desigualdades y ecuaciones con múltiples módulos.

    Identificar lo más manera efectiva soluciones.

Enfoque práctico del proyecto:

este trabajo se puede utilizar como material didáctico para estudiantes y manual metodologico para el maestro.

Capítulo 1.

1.1.Definición de módulo. Solución por definición.

Por definición, el módulo, o valor absoluto, de un número no negativo a coincide con el número mismo, y el módulo de un número negativo es igual al número opuesto, es decir, a:

El módulo de un número siempre es no negativo. Veamos ejemplos.

Ejemplo 1. Resuelve la ecuación |–x| = –3.

No es necesario analizar casos aquí, porque el valor absoluto de un número siempre es no negativo, y esto significa que esta ecuación no tiene soluciones.

Escribamos la solución de estas ecuaciones más simples en vista general:

Ejemplo 2. Resuelve la ecuación |x| = 2 – x.

Solución. En x 0 tenemos la ecuación x = 2 – x, es decir x = 1. Como 1 0, x = 1 es la raíz de la ecuación original. En el segundo caso (x

Respuesta: x = 1.

Ejemplo 3. Resuelve la ecuación 3|x – 3| + x = –1.

Solución. Aquí la división en casos está determinada por el signo de la expresión x – 3. Para x – 3 ³ 0 tenemos 3x – 9 + x = –1 Û x = 2. Pero 2 – 3 0.

Respuesta: la ecuación no tiene raíces.

Ejemplo 4. Resuelve la ecuación |x – 1| = 1 – x.

Solución. Dado que 1 – x = – (x – 1), se deduce directamente de la definición del módulo que la ecuación se satisface con aquellos y sólo aquellos x para los cuales x – 1 0. Esta ecuación se ha reducido a una desigualdad, y la la respuesta es todo el intervalo (rayo).

Respuesta:x1.

1.2. Resolver ecuaciones con módulo mediante sistemas.

Los ejemplos analizados anteriormente nos permiten formular reglas para eliminar el signo del módulo en ecuaciones. Para ecuaciones de la forma |f(x)| = g(x) existen dos reglas de este tipo:

1.ª regla: |f(x)| = g(x) Û (1)
Segunda regla: |f(x)| = g(x) Û (2)

Expliquemos la notación utilizada aquí. Las llaves representan sistemas y los corchetes representan agregados.

Las soluciones de un sistema de ecuaciones son valores de una variable que satisfacen simultáneamente todas las ecuaciones del sistema.

Las soluciones de un conjunto de ecuaciones son todos valores de una variable, cada una de las cuales es la raíz de al menos una de las ecuaciones del conjunto.

Dos ecuaciones son equivalentes si cualquier solución de cada una de ellas es también solución de la otra, es decir, si los conjuntos de sus soluciones coinciden.

Si la ecuación contiene varios módulos, entonces puedes deshacerte de ellos uno por uno, usando las reglas dadas. Pero normalmente hay más atajos. Los conoceremos más adelante, pero ahora veamos cómo resolver la más simple de estas ecuaciones:

|f(x)| = |g(x)| Û

Esta equivalencia se deriva del hecho obvio de que si los valores absolutos de dos números son iguales, entonces los números mismos son iguales u opuestos.

Ejemplo 1. Resuelve la ecuación |x 2 – 7x + 11| = x + 1.
Solución. Deshacernos del módulo de dos maneras descritas anteriormente:

1.ª vía: 2.ª vía:

Como vemos, en ambos casos tenemos que resolver las mismas dos ecuaciones cuadráticas, pero en el primer caso van acompañadas de desigualdades cuadráticas, y en el segundo – lineal. Por lo tanto, el segundo método para ecuación dada más simple. Resolviendo ecuaciones cuadráticas, encontramos las raíces de la primera, ambas raíces satisfacen la desigualdad. El discriminante de la segunda ecuación es negativo, por lo tanto la ecuación no tiene raíces.

Respuesta: .
Ejemplo 2. Resuelve la ecuación |x 2 – x – 6| = |2x 2 + x – 1|.

Solución. Ya sabemos que aquí no es necesario considerar (hasta 4) variantes de la distribución de signos de expresiones bajo módulos: esta ecuación es equivalente a un conjunto de dos ecuaciones cuadráticas sin desigualdades adicionales: Lo que equivale a: La La primera ecuación del conjunto de soluciones no tiene (su discriminante es negativo), la segunda la ecuación tiene dos raíces.

1.3. Problemas con múltiples módulos. Métodos de solución.

Ampliación secuencial de módulos.

Hay dos enfoques principales para resolver ecuaciones y desigualdades que contienen múltiples módulos. Podemos llamarlos "en serie" y "paralelos". Ahora conozcamos el primero de ellos.

Su idea es que primero uno de los módulos se aísle en una parte de la ecuación (o desigualdad) y se revele mediante uno de los métodos descritos anteriormente. Luego se repite lo mismo con cada una de las ecuaciones resultantes con módulos y así sucesivamente hasta deshacernos de todos los módulos.

Ejemplo 1. Resuelve la ecuación: +

Solución. Aislamos el segundo módulo y lo expandimos usando el primer método, es decir, simplemente determinando el valor absoluto:

A las dos ecuaciones resultantes aplicamos el segundo método de extracción del módulo:

Finalmente, resolvemos los cuatro resultantes. ecuaciones lineales y seleccionar aquellas raíces que satisfagan las desigualdades correspondientes. Como resultado, solo quedan dos valores: x = –1 y .

Respuesta: -1; .

Ampliación paralela de módulos.

Puedes eliminar todos los módulos en una ecuación o desigualdad a la vez y escribir todas las combinaciones posibles de signos de expresiones submodulares. Si hay n módulos en la ecuación, entonces habrá 2 n opciones, porque cada una de las n expresiones debajo del módulo, al quitar el módulo, puede recibir uno de dos signos: más o menos. En principio, necesitamos resolver las 2 n ecuaciones (o desigualdades), libres de módulos. Pero sus soluciones también serán soluciones al problema original sólo si se encuentran en regiones donde la ecuación correspondiente (desigualdad) coincide con la original. Estas áreas están definidas por los signos de las expresiones debajo de los módulos. Ya hemos resuelto la siguiente desigualdad, por lo que puedes comparar diferentes enfoques para resolverla.

Ejemplo 2.+
Solución.

Consideremos 4 posibles conjuntos de símbolos para expresiones bajo módulos.

Sólo la primera y la tercera de estas raíces satisfacen las desigualdades correspondientes y, por tanto, la ecuación original.

Respuesta: -1; .

Del mismo modo, puedes solucionar cualquier problema con varios módulos. Pero, como cualquier método universal, esta solución no siempre es óptima. A continuación veremos cómo se puede mejorar.

1.4. Método de intervalo en problemas con módulos.

Una mirada más cercana a las condiciones que definen diferentes opciones distribución de signos de expresiones submodulares en la solución anterior, veremos que una de ellas, 1 – 3x

Imaginemos que estamos resolviendo una ecuación que incluye tres módulos de expresiones lineales; por ejemplo, |x – a| + |x – b| + |x – c| = metro.

El primer módulo es igual a x – a para x ³ a y a – x ​​para x b y x

Forman cuatro espacios. En cada uno de ellos, cada una de las expresiones bajo los módulos conserva su signo, por lo tanto, la ecuación en su conjunto después de expandir los módulos tiene la misma forma en cada intervalo. Entonces, de 8 opciones teóricamente posibles para abrir módulos, ¡solo 4 resultaron ser suficientes para nosotros!

También puedes solucionar cualquier problema con varios módulos. Es decir, el eje numérico se divide en intervalos de signo constante de todas las expresiones bajo los módulos, y luego en cada uno de ellos se resuelve la ecuación o desigualdad en la que se convierte el problema dado en este intervalo. En particular, si todas las expresiones bajo los módulos son racionales, entonces basta con marcar sus raíces en el eje, así como los puntos donde no están definidos, es decir, las raíces de sus denominadores. Los puntos marcados definen los intervalos requeridos de signo constante. Actuamos exactamente de la misma manera al resolver desigualdades racionales utilizando el método del intervalo. Y el método que describimos para resolver problemas con módulos tiene el mismo nombre.

Ejemplo 1. Resuelve la ecuación.

Solución. Encontremos los ceros de la función, de dónde. Resolvemos el problema en cada intervalo:

Entonces, esta ecuación no tiene soluciones.

Ejemplo 2. Resuelve la ecuación.

Solución. Encontremos los ceros de la función. Resolvemos el problema en cada intervalo:

1) (sin soluciones);

Ejemplo 3. Resuelve la ecuación.

Solución. Las expresiones bajo el signo de valor absoluto desaparecen en . En consecuencia, debemos considerar tres casos:

2) - raíz de la ecuación;

3) es la raíz de esta ecuación.

Capítulo 2. Ecuaciones y desigualdades que contienen módulos.

2.1 Resolución de ecuaciones con varios módulos mediante el método de intervalos.

Ejemplo 1.

Resuelve la ecuación:

|x+2| = |x-1|+x-3

-(x+2) = -(x-1) + x-3

X-2=-x+1+x-3

x=2 – no satisface

condición x

sin soluciones

2. Si -2≤х

x+2 = -(x-1)+x-3

satisface

condición -2

3. Si x≥1, entonces

Respuesta:x=6

Ejemplo 2.

Resuelve la ecuación:

1) Encuentra los ceros de expresiones submodulares.

Los ceros de las expresiones submodulares dividen la recta numérica en varios intervalos. Ordenamos los signos de expresiones submodulares en estos intervalos.

En cada intervalo abrimos los módulos y resolvemos la ecuación resultante. Después de encontrar la raíz, comprobamos que pertenece al intervalo en el que estamos. en este momento estamos trabajando.

1. :

- encaja.

2. :

– no encaja.

3. :

– encaja.

4. :

– no encaja. Respuesta:

2.2 Resolver desigualdades con varios módulos mediante el método de intervalos.

Ejemplo 1.

Resuelve la desigualdad:

|x-1| + |x-3| 4


-(x-1) - (x-3) 4

2. Si 1≤х

x-1– (x-3) 4

24 no es correcto

sin soluciones

3. Si x≥3, entonces

Respuesta: xЄ (-∞;0) U (4;+∞)

Ejemplo 2.

Resolvamos la desigualdad.

Solución. Los puntos y (las raíces de las expresiones bajo el módulo) dividen todo el eje numérico en tres intervalos, en cada uno de los cuales se deben expandir los módulos.

1) Cuando , y la desigualdad tiene la forma , es decir . En este caso la respuesta es.

2) Cuando , la desigualdad tiene la forma , es decir . Esta desigualdad es válida para cualquier valor de la variable y, teniendo en cuenta que la resolvemos en conjunto, obtenemos la respuesta en el segundo caso.

3) Cuando , la desigualdad se transforma en , y la solución en este caso es . solución general desigualdades --- asociación tres respuestas recibidas.

Así, para resolver ecuaciones y desigualdades que contengan varios módulos, conviene utilizar el método de intervalos. Para hacer esto, necesita encontrar los ceros de todas las funciones submodulares y designarlos en la ODZ de ecuaciones y desigualdades.

Conclusión

EN últimamente En matemáticas, los métodos para simplificar la solución de problemas se utilizan ampliamente, en particular el método de intervalo, que puede acelerar significativamente los cálculos. Por tanto, resulta relevante el estudio del método de intervalos para la resolución de ecuaciones y desigualdades con varios módulos.

En el proceso de trabajar en el tema “Resolver ecuaciones y desigualdades que contienen una incógnita bajo el signo del módulo utilizando el método del intervalo”, yo: estudié la literatura sobre este problema, se familiarizó con el enfoque algebraico y gráfico para resolver ecuaciones y desigualdades que contienen una incógnita bajo el signo del módulo y llegó a la conclusión:

    En algunos casos, al resolver ecuaciones con módulo, es posible resolver las ecuaciones de acuerdo con las reglas y, a veces, es más conveniente utilizar el método de intervalo.

    Al resolver ecuaciones y desigualdades que contienen un módulo, el método del intervalo es más visual y relativamente más simple.

Durante la escritura trabajo de investigacion He descubierto muchos problemas que pueden resolverse utilizando el método de intervalo. Mayoría tarea importante es la solución de ecuaciones y desigualdades con varios módulos.

En el curso de mi trabajo para resolver desigualdades y ecuaciones con varios módulos utilizando el método de intervalo, descubrí que la velocidad de resolución de problemas se duplicaba. Esto le permite acelerar significativamente el proceso de trabajo y reducir los costos de tiempo. Así, se confirmó mi hipótesis “si utilizas el método de intervalos para resolver desigualdades y ecuaciones con varios módulos, puedes simplificar significativamente tu trabajo”. Mientras trabajaba en la investigación, adquirí experiencia en la resolución de ecuaciones y desigualdades con múltiples módulos. Creo que los conocimientos adquiridos me permitirán evitar errores a la hora de tomar decisiones.

Literatura

    http://padabum.com

  1. http://yukhym.com

    http://www.tutoronline.ru

    http://fizmat.by

    http://diffur.kemsu.ru

    http://solverbook.com

    Zelensky A.S., Panfilov. Resolución de ecuaciones y desigualdades con el módulo I.I. M.: Editorial Factorial, 2009. - 112 p.

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    Sevryukov P.F., Smolyakov A.N. Ecuaciones y desigualdades con módulos y métodos para resolverlas. M.: Editorial Ilustración 2005. - 112 p.

    Sadovnichy Yu.V. Examen del Estado Unificado. Taller de matemáticas. Resolver ecuaciones y desigualdades. Conversión expresiones algebraicas. M.: Editorial Legión 2015 - 128 p.

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