Institución educativa presupuestaria municipal
"Escuela secundaria nº 26
con un estudio en profundidad de temas individuales"
ciudad de Nizhnekamsk de la República de Tartaristán
notas de la lección de matemáticas
en octavo grado
Resolver desigualdades con una variable.
y sus sistemas
preparado
profesor de matematicas
primera categoría de calificación
Kungurova Gulnaz Rafaelovna
Nizhnekamsk 2014
Resumen del plan lección
Profesora: Kungurova G.R.
Asunto: matemáticas
Tema: “Resolución de desigualdades lineales con una variable y sus sistemas”.
Clase: 8B
Fecha: 10/04/2014
Tipo de lección: lección de generalización y sistematización del material estudiado.
El propósito de la lección: consolidación de habilidades prácticas en la resolución de desigualdades con una variable y sus sistemas, desigualdades que contienen una variable bajo el signo del módulo.
Objetivos de la lección:
Educativo:
generalización y sistematización del conocimiento de los estudiantes sobre formas de resolver desigualdades con una variable;
expansión del tipo de desigualdades: desigualdades dobles, desigualdades que contienen una variable bajo el signo del módulo, sistemas de desigualdades;
establecer conexiones interdisciplinarias entre las matemáticas, el idioma ruso y la química.
Educativo:
activación de la atención, actividad mental, desarrollo del habla matemática, interés cognitivo en estudiantes;
Dominar los métodos y criterios de autoevaluación y autocontrol.
Educativo:
Fomentar la independencia, la precisión y la capacidad de trabajar en equipo.
Métodos básicos utilizados en la lección.: comunicativo, explicativo-ilustrativo, reproductivo, método de control programado.
Equipo:
computadora
presentación en computadora
monobloques (realización de una prueba individual en línea)
folletos (tareas individuales de varios niveles);
hojas de autocontrol;
Plan de estudios:
4. Trabajo independiente
5. Reflexión
6. Resumen de la lección.
Durante las clases:
1. Momento organizativo.
(El maestro les dice a los estudiantes las metas y objetivos de la lección).
Hoy nos enfrentamos a una situación muy tarea importante. Debemos resumir este tema. Una vez más, será necesario trabajar con mucho cuidado en cuestiones teóricas, hacer cálculos y considerar la aplicación práctica de este tema en nuestro La vida cotidiana. Y nunca debemos olvidarnos de cómo razonamos, analizamos y construimos cadenas lógicas. Nuestro discurso debe ser siempre alfabetizado y correcto.
Cada uno de vosotros tiene una hoja de autocontrol en su escritorio. A lo largo de la lección, recuerde marcar sus contribuciones a esta lección con un signo "+".
el maestro pregunta tarea comentándolo:
№1026(a,b), No.1019(c,d); adicionalmente - núm. 1046(a)
2. Actualización de conocimientos, habilidades y capacidades
1) Antes de empezar tareas practicas, pasemos a la teoría.
El profesor anuncia el inicio de la definición y los alumnos deben completar la formulación.
a) Una desigualdad en una variable es una desigualdad de la forma ax>b, ax<в;
b) Resolver una desigualdad significa encontrar todas sus soluciones o demostrar que no las hay;
c) La solución de una desigualdad con una variable es el valor de la variable que la convierte en una desigualdad verdadera;
d) Se dice que las desigualdades son equivalentes si sus conjuntos de soluciones coinciden. Si no tienen soluciones, también se les llama equivalentes.
2) En el tablero hay desigualdades con una variable, dispuestas en una columna. Y al lado, en otra columna, están inscritas sus soluciones en forma de intervalos numéricos. La tarea de los estudiantes es establecer correspondencia entre desigualdades y intervalos correspondientes.
Establecer correspondencia entre desigualdades e intervalos numéricos:
1. 3x > 6 a) (-∞ ; - 0,2]
2. -5x ≥ 1 b) (- ∞ ; 15)
3. 4x > 3 c) (2; + ∞)
4. 0,2x< 3 г) (0,75; + ∞)
3) Trabajo practico en un cuaderno de autoevaluación.
Los estudiantes escriben una desigualdad lineal en una variable en la pizarra. Una vez completado, uno de los alumnos expresa su decisión y se corrigen los errores cometidos)
Resuelve la desigualdad:
4 (2x - 1) - 3(x + 6) > x;
8x - 4 - 3x - 18 > x;
8x - 3x – x > 4+18 ;
4x > 22 ;
x > 5,5.
Respuesta. (5.5; +∞)
3. Uso práctico desigualdades en la vida cotidiana ( experimento quimico)
Las desigualdades en nuestra vida diaria pueden ser una buena ayuda. Y además, por supuesto, existe una conexión inextricable entre las materias escolares. Las matemáticas van de la mano no sólo con el idioma ruso, sino también con la química.
(En cada escritorio hay una escala de referencia para el valor del pH, que va de 0 a 12)
Si 0 ≤ pH< 7, то среда кислая;
si pH = 7, entonces el ambiente es neutro;
si el indicador es 7< pH ≤ 12, то среда щелочная
El profesor vierte 3 soluciones incoloras en diferentes tubos de ensayo. Del curso de química, se pide a los estudiantes que recuerden los tipos de medios de solución (ácido, neutro, alcalino). A continuación, de forma experimental, involucrando a los estudiantes, se determina el entorno de cada una de las tres soluciones. Para hacer esto, se introduce un indicador universal en cada solución. Lo que sucede es que cada indicador tiene el color correspondiente. Y según la combinación de colores, gracias a la escala estándar, los alumnos establecen el ambiente de cada una de las soluciones propuestas.
Conclusión:
1 indicador se vuelve rojo, indicador 0 ≤ pH< 7, значит среда первого раствора кислая, т.е. имеем кислоту в 1пробирке
2 vueltas del indicador color verde, pH = 7, lo que significa que el medio de la segunda solución es neutro, es decir, teníamos agua en el tubo de ensayo 2
3 vueltas del indicador Color azul, indicador 7< pH ≤ 12 , значит среда третьего раствора щелочная, значит в 3 пробирке была щелочь
Conociendo los límites de pH, se puede determinar el nivel de acidez de la tierra, el jabón y muchos cosméticos.
Actualización continua de conocimientos, habilidades y habilidades.
1) Nuevamente, el docente comienza a formular definiciones y los estudiantes deben completarlas.
Continuar definiciones:
a) Resolver un sistema de desigualdades lineales significa encontrar todas sus soluciones o demostrar que no las hay.
b) La solución de un sistema de desigualdades con una variable es el valor de la variable para la cual cada una de las desigualdades es verdadera
c) Para resolver un sistema de desigualdades con una variable, es necesario encontrar una solución para cada desigualdad y encontrar la intersección de estos intervalos.
El profesor vuelve a recordar a los estudiantes que la capacidad de resolver desigualdades lineales con una variable y sus sistemas es la base, la base para más desigualdades complejas, que se cursará en grados superiores. Se sienta una base de conocimientos, cuya solidez deberá confirmarse en la OGE en matemáticas después del noveno grado.
Los estudiantes resuelven sistemas de desigualdades lineales con una variable en sus cuadernos. (2 estudiantes completan estas tareas en la pizarra, explican su solución, expresan las propiedades de las desigualdades utilizadas para resolver los sistemas).
№1012(d). Resolver sistema de desigualdades lineales.
0,3x+1< 0,4х-2;
1,5 x-3 > 1,3 x-1. Respuesta. (30; +∞).
№1028(d). Resuelve la doble desigualdad y enumera todos los números enteros que son su solución.
1 < (4-2х)/3 < 2 . Ответ. Целое число: 0
2) Resolver desigualdades que contienen una variable bajo el signo del módulo.
La práctica demuestra que las desigualdades que contienen una variable bajo el signo del módulo provocan ansiedad y dudas en los estudiantes. Y a menudo los estudiantes simplemente no asumen tales desigualdades. Y la razón de esto es que los cimientos no están bien establecidos. El docente alienta a los estudiantes a trabajar sobre sí mismos de manera oportuna y a aprender consistentemente todos los pasos para cumplir con éxito estas desigualdades.
Se realiza trabajo oral. (Encuesta frontal)
Resolver desigualdades que contienen una variable bajo el signo de módulo:
1. El módulo de un número x es la distancia desde el origen hasta el punto con coordenada x.
| 35 | = 35,
| - 17 | = 17,
| 0 | = 0
2. Resolver desigualdades:
a) | x |< 3 . Ответ. (-3 ; 3)
segundo) | x | > 2. Respuesta. (- ∞; -2) U (2; +∞)
El progreso de la resolución de estas desigualdades se muestra en detalle en la pantalla y se detalla el algoritmo para resolver desigualdades que contienen una variable bajo el signo del módulo.
4. Trabajo independiente
Para controlar el grado de dominio de este tema, 4 alumnos se sientan en los monobloques y realizan pruebas temáticas online. El tiempo de prueba es de 15 minutos. Una vez finalizado, se realiza una autocomprobación tanto en puntos como en porcentaje.
El resto de alumnos en sus pupitres realizan trabajos independientes en variantes.
Trabajo independiente (tiempo de finalización 13 minutos)
Opción 1
opcion 2
1. Resuelve las desigualdades:
a) 6+x< 3 - 2х;
b) 0,8(x-3) - 3,2 ≤ 0,3(2 - x).
3(x+1) - (x-2)< х,
2 > 5x - (2x-1) .
-6 < 5х - 1 < 5
4*. (Además)
Resuelve la desigualdad:
| 2-2x | ≤ 1
1. Resuelve las desigualdades:
a) 4+x< 1 - 2х;
b) 0,2(3x - 4) - 1,6 ≥ 0,3(4-3x).
2. Resuelve el sistema de desigualdades:
2(x+3)-(x-8)< 4,
6x > 3(x+1) -1.
3. Resuelve la doble desigualdad:
-1 < 3х - 1 < 2
4*. (Además)
Resuelve la desigualdad:
| 6x-1 | ≤ 1
Después de la ejecución Trabajo independiente Los estudiantes entregan sus cuadernos para su revisión. Los estudiantes que trabajaron en monobloques también entregan sus cuadernos al profesor para que los revise.
5. Reflexión
El profesor recuerda a los alumnos las hojas de autocontrol, en las que debían evaluar su trabajo con un “+” a lo largo de la lección, en sus distintas etapas.
Pero los estudiantes tendrán que dar la evaluación principal de sus actividades sólo ahora, después de expresar una antigua parábola.
Parábola.
Un sabio caminaba y tres personas lo encontraron. Llevaban carros con piedras bajo el ardiente sol para la construcción del templo.
El sabio los detuvo y preguntó:
- ¿Qué hiciste todo el día?
“Yo llevaba las malditas piedras”, respondió el primero.
“Hice mi trabajo a conciencia”, respondió el segundo.
“Y participé en la construcción del templo”, respondió con orgullo el tercero.
En las hojas de autocontrol, en el punto N° 3, los estudiantes deberán ingresar una frase que correspondería a sus acciones en esta lección.
Hoja de autocontrol __________________________________________
№ PAG / PAG
Pasos de la lección
Calificación actividades educacionales
Trabajo oral en clase.
Resolver desigualdades con una variable;
resolver sistemas de desigualdades;
resolver desigualdades dobles;
resolver desigualdades con signo de módulo
Reflexión
En los párrafos 1 y 2, marque las respuestas correctas de la lección con un signo “+”;
en el apartado 3, evalúa tu trabajo en clase según las instrucciones
6. Resumen de la lección.
El profesor, resumiendo la lección, señala los momentos exitosos y los problemas sobre los que queda trabajo adicional por hacer.
Se pide a los estudiantes que evalúen su trabajo de acuerdo con hojas de autocontrol y los estudiantes reciben una calificación más en función de los resultados del trabajo independiente.
Al final de la lección, el profesor llama la atención de los alumnos sobre las palabras del científico francés Blaise Pascal: "La grandeza de una persona radica en su capacidad de pensar".
Bibliografía:
1 . Álgebra. Octavo grado. Yu.N.Makarychev, N.G. Mindyuk, K.E. Neshkov, I.E. Feoktistov.-M.:
Mnemósine, 2012
2. Álgebra. 8º grado. Materiales didácticos. Pautas/ Es decir, Feoktistov.
2ª edición., St.-M.: Mnemosyne, 2011
3. Materiales de prueba y medición Álgebra: 8vo grado / Compilado por L.I. Martyshova.-
M.: VAKO, 2010
Recursos de Internet:
Tema de la lección: Resolver un sistema de desigualdades lineales con una variable
Fecha de: _______________
Clase: 6a, 6b, 6c
Tipo de lección: aprendizaje de material nuevo y consolidación primaria.
Objetivo didáctico: Crear las condiciones para la conciencia y comprensión de un bloque de nueva información educativa.
Metas: 1) Educativas: introducir los conceptos: solución de sistemas de desigualdades, sistemas de desigualdades equivalentes y sus propiedades; Enseñe cómo aplicar estos conceptos al resolver sistemas simples de desigualdades con una variable.
2) De desarrollo: promover el desarrollo de elementos de actividad creativa e independiente de los estudiantes; Desarrollar el habla, la capacidad de pensar, analizar, generalizar, expresar sus pensamientos de forma clara y concisa.
3) Educativo: Fomentar una actitud de respeto hacia los demás y una actitud responsable hacia la labor educativa.
Tareas:
repetir la teoría sobre el tema de las desigualdades numéricas y los intervalos numéricos;
dar un ejemplo de un problema que pueda resolverse mediante un sistema de desigualdades;
considerar ejemplos de resolución de sistemas de desigualdades;
hacer trabajo independiente.
Formas de organización de actividades educativas:- frontal – colectivo – individual.
Métodos: explicativo - ilustrativo.
Plan de estudios:
1. Momento organizacional, motivación, establecimiento de metas.
2. Actualización del estudio del tema
3. Aprender material nuevo
4. Consolidación primaria y aplicación de material nuevo.
5. Hacer trabajo independiente
7. Resumiendo la lección. Reflexión.
Durante las clases:
1. Momento organizacional
La desigualdad puede ser un buen ayudante. Sólo necesitas saber cuándo acudir a él en busca de ayuda. La formulación de problemas en muchas aplicaciones de las matemáticas a menudo se formula en el lenguaje de las desigualdades. Por ejemplo, muchos problemas económicos se reducen al estudio de sistemas de desigualdades lineales. Por tanto, es importante poder resolver sistemas de desigualdades. ¿Qué significa “resolver un sistema de desigualdades”? Esto es lo que veremos hoy en clase.
2. Actualización de conocimientos.
trabajo oral con clase, tres estudiantes trabajan usando tarjetas individuales.
Para revisar la teoría del tema "Desigualdades y sus propiedades", realizaremos pruebas, seguidas de una verificación y una conversación sobre la teoría de este tema. Cada tarea de prueba requiere la respuesta "Sí" - cifra, "No" - cifra ____
El resultado de la prueba debería ser algún tipo de cifra.
(respuesta: ).
Establecer una correspondencia entre desigualdad e intervalo numérico.
1. (– ; – 0,3)
2. (3; 18)
3. [ 12; + )
4. (– 4; 0]
5. [ 4; 12]
6. [ 2,5; 10)
“Las matemáticas te enseñan a superar dificultades y corregir tus propios errores”. Encuentra el error al resolver la desigualdad, explica por qué se cometió el error, escribe la solución correcta en tu cuaderno.
2x<8-6
x>-1
3. Estudiar material nuevo.
¿Cómo crees que se llama solución a un sistema de desigualdades?
(La solución de un sistema de desigualdades con una variable es el valor de la variable para la cual cada una de las desigualdades del sistema es verdadera)
¿Qué significa “Resolver un sistema de desigualdades”?
(Resolver un sistema de desigualdades significa encontrar todas sus soluciones o demostrar que no las hay)
¿Qué se debe hacer para responder a la pregunta “es un número dado”
¿Solución a un sistema de desigualdades?
(Sustituye este número en ambas desigualdades del sistema, si las desigualdades son correctas, entonces el número dado es una solución al sistema de desigualdades, si las desigualdades son incorrectas, entonces el número dado no es una solución al sistema de desigualdades)
Formular un algoritmo para resolver sistemas de desigualdades.
1. Resuelve cada desigualdad del sistema.
2. Representa gráficamente las soluciones de cada desigualdad en la línea de coordenadas.
3. Encuentra la intersección de soluciones a desigualdades en la línea de coordenadas.
4. Escribe la respuesta como un intervalo numérico.
Considere ejemplos:
Respuesta: 
Respuesta: no hay soluciones
4. Asegurando el tema.
Trabajar con los libros de texto No. 1016, No. 1018, No. 1022
5. Trabajo independiente según opciones (Tarjetas de tareas para estudiantes en las mesas)
Trabajo independiente
Opción 1
Resuelve el sistema de desigualdades:
1. El concepto de desigualdad con una variable.
2. Desigualdades equivalentes. Teoremas sobre la equivalencia de desigualdades
3. Resolver desigualdades con una variable
4. Solución gráfica de desigualdades con una variable.
5. Desigualdades que contienen una variable bajo el signo del módulo
6. Principales conclusiones
Desigualdades con una variable
Ofertas 2 X + 7 > 10, x 2 +7x< 2,(х + 2)(2х-3)> 0 se llaman desigualdades con una variable.
EN vista general este concepto se define de la siguiente manera:
Definición. Sean f(x) y g(x) dos expresiones con variable x y dominio X. Entonces una desigualdad de la forma f(x) > g(x) o f(x)< g(х) называется неравенством с одной переменной. Множество X называется областью его определения.
Valor variable X desde muchos X, en el que la desigualdad se convierte en una verdadera desigualdad numérica se llama decisión. Resolver una desigualdad significa encontrarle muchas soluciones.
Así, resolviendo la desigualdad 2 X + 7 > 10 -x,x? R es el numero X= 5, ya que 2 5 + 7 > 10 - 5 es una verdadera desigualdad numérica. Y el conjunto de sus soluciones es el intervalo (1, ∞), que se encuentra realizando la transformación de la desigualdad: 2 X + 7 > 10-X => 3X >3 => X >1.
Desigualdades equivalentes. Teoremas sobre la equivalencia de desigualdades
La base para resolver desigualdades con una variable es el concepto de equivalencia.
Definición. Se dice que dos desigualdades son equivalentes si sus conjuntos de soluciones son iguales.
Por ejemplo, desigualdades 2 X+ 7 > 10 y 2 X> 3 son equivalentes, ya que sus conjuntos solución son iguales y representan el intervalo (2/3, ∞).
Los teoremas sobre la equivalencia de desigualdades y las consecuencias de ellas son similares a los teoremas correspondientes sobre la equivalencia de ecuaciones. Su prueba utiliza las propiedades de verdaderas desigualdades numéricas.
Teorema 3. Deja que la desigualdad f(x) > g(x) definido en el set X Y h(X) es una expresión definida en el mismo conjunto. Entonces las desigualdades f(x) > g(x) y f(x)+ h(x) > g(x) + h(x) son equivalentes en el set X.
De este teorema se derivan corolarios, que se utilizan a menudo al resolver desigualdades:
1) Si a ambos lados de la desigualdad f(x) > g(x) sumar el mismo numero d, entonces obtenemos la desigualdad f(x) + d > g(x)+ d, equivalente al original.
2) Si cualquier término (expresión numérica o expresión con variable) se traslada de una parte de la desigualdad a otra, cambiando el signo del término al contrario, entonces obtenemos una desigualdad equivalente a la dada.
Teorema 4. Deja que la desigualdad f(x) > g(x) definido en el set X Y h(X X desde muchos X expresión h(x) toma valores positivos. Entonces las desigualdades f(x) > g(x) y f(x) h(x) > g(x) h(x) son equivalentes en el set X.
f(x) > g(x) multiplicar por el mismo numero positivo d, entonces obtenemos la desigualdad f(x) d > g(x) d, equivalente a esto.
Teorema 5. Deja que la desigualdad f(x) > g(x) definido en el set X Y h(X) - una expresión definida en el mismo conjunto y para todos X Hay muchos de ellos X expresión h(X) acepta valores negativos. Entonces las desigualdades f(x) > g(x) y f(x) h(x) > g(x) h(x) son equivalentes en el set X.
De este teorema se desprende un corolario: si ambos lados de la desigualdad f(x) > g(x) multiplicar por el mismo numero negativo d y cambiamos el signo de la desigualdad al opuesto, obtenemos la desigualdad f(x) d > g(x) d, equivalente a esto.
Resolver desigualdades con una variable.
Resolvamos la desigualdad 5 X - 5 < 2х - 16, X? R, y justificaremos todas las transformaciones que realizaremos en el proceso de solución.
Resolviendo la desigualdad X < 7 является промежуток (-∞, 7) и, следовательно, множеством решений неравенства 5X - 5 < 2x + 16 es el intervalo (-∞, 7).
Ejercicios
1. Determina cuáles de las siguientes entradas son desigualdades con una variable:
a) -12 - 7 X< 3X+ 8; d) 12 x + 3(X- 2);
segundo) 15( X+ 2)>4; e) 17-12·8;
c) 17-(13+8)< 14-9; е) 2x2+ 3X-4> 0.
2. ¿Es el número 3 una solución a la desigualdad? 6(2x + 7) < 15(X + 2), X? R? ¿Qué pasa con el número 4,25?
3. ¿Son equivalentes los siguientes pares de desigualdades en el conjunto de los números reales?
a) -17 X< -51 и X > 3;
segundo) (3 X-1)/4 >0 y 3 X-1>0;
c) 6-5 X>-4 y X<2?
4. ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas?
a) -7 X < -28 => X>4;
b) X < 6 => X < 5;
V) X< 6 => X< 20?
5. Resuelve la desigualdad 3( X - 2) - 4(X + 1) < 2(х - 3) - 2 y justifica todas las transformaciones que realizarás.
6. Demuestra que resolviendo la desigualdad 2(x)+ 1) + 5 > 3 - (1 - 2X) es cualquier número real.
7. Demuestre que no existe ningún número real que sea solución a la desigualdad 3(2 - X) - 2 > 5 - 3X.
8. Un lado del triángulo mide 5 cm y el otro mide 8 cm. ¿Cuál puede ser la longitud del tercer lado si el perímetro del triángulo es:
a) menos de 22 cm;
b) más de 17 cm?
SOLUCIÓN GRÁFICA DE DESIGUALDADES CON UNA VARIABLE. Para resolver la desigualdad gráficamente. f(x) > g(x) necesidad de construir gráficas de funciones
y = f (x) = g (x) y seleccione aquellos intervalos del eje de abscisas en los que se encuentra la gráfica de la función y = f(x) ubicado encima de la gráfica de la función y = g(x).
Ejemplo 17.8. Resuelve gráficamente la desigualdad. x2- 4 > 3X.
| Y-x*-4 |
Solución. Construyamos gráficas de funciones en un sistema de coordenadas.
y = x 2 - 4 y y = Zx (figura 17.5). La figura muestra que las gráficas de funciones. en= x2- 4 se encuentra encima de la gráfica de la función y = 3 X en X< -1 y x > 4, es decir el conjunto de soluciones de la desigualdad original es el conjunto
(- ¥; -1) È (4; + ooo) .
Respuesta: x О(-oo; -1) y ( 4; +oo).
Cronograma función cuadrática en= hacha 2 + bx + c es una parábola con ramas apuntando hacia arriba si un > 0, y hacia abajo si A< 0. En este caso, son posibles tres casos: la parábola corta el eje Oh(es decir, ecuación Ah 2+ bx+ c = 0 tiene dos raíces diferentes); la parábola toca el eje X(es decir, ecuación hacha 2 + caja+ c = 0 tiene una raíz); la parábola no corta al eje Oh(es decir, ecuación Ah 2+ bx+ c = 0 no tiene raíces). Así, hay seis posiciones posibles de la parábola, que sirve como gráfica de la función y = Ah 2+b x+c(Figura 17.6). Con estas ilustraciones, puedes resolver desigualdades cuadráticas.
Ejemplo 17.9. Resuelve la desigualdad: a) 2 x g+ 5x - 3 > 0; b) -Zx 2 - 2x- 6 < 0.
Solución, a) La ecuación 2x 2 + 5x -3 = 0 tiene dos raíces: x, = -3, x2 = 0,5. Parábola que sirve como gráfica de una función. en= 2x2+ 5x -3, como se muestra en la Fig. A. Desigualdad 2x2+ 5x -3 > 0 se cumple para esos valores X, para el cual los puntos de la parábola se encuentran por encima del eje Oh: será en X< х х o cuando X> xg> aquellos. en X< -3 o en x > 0,5. Esto significa que el conjunto de soluciones de la desigualdad original es el conjunto de (- ¥; -3) y (0,5; + ¥).
b) Ecuación -Зх 2 + 2x- 6 = 0 no tiene raíces reales. Parábola que sirve como gráfica de una función. en= - 3x2-2x- 6, mostrado en la Fig. 17.6 Desigualdad -3x 2 - 2x - 6 < О выполняется при тех значениях X, para el cual los puntos de la parábola se encuentran debajo del eje Oh. Como toda la parábola se encuentra debajo del eje Oh, entonces el conjunto de soluciones de la desigualdad original es el conjunto R .
DESIGUALDADES QUE CONTIENEN UNA VARIABLE BAJO EL SIGNO DEL MÓDULO. A la hora de resolver estas desigualdades se debe tener en cuenta que:
|f(x) | =
f(x), Si f(x) ³ 0,
- f(x), Si f(x) < 0,
En este caso, el rango de valores permisibles de la desigualdad debe dividirse en intervalos, en cada uno de los cuales las expresiones bajo el signo del módulo conservan su signo. Luego, expandiendo los módulos (teniendo en cuenta los signos de las expresiones), es necesario resolver la desigualdad en cada intervalo y combinar las soluciones resultantes en un conjunto de soluciones a la desigualdad original.
Ejemplo 17.10. Resuelve la desigualdad:
|x-1| + |2-x| > 3+x.
Solución. Los puntos x = 1 y x = 2 dividen el eje numérico (ODZ de la desigualdad (17.9) en tres intervalos: x< 1, 1 £ х £.2, х >2. Resolvamos esta desigualdad para cada uno de ellos. si x< 1, то х - 1 < 0 и 2 – х >0; por lo tanto |x -1| = - (x - I), |2 - x | = 2-x. Esto significa que la desigualdad (17.9) toma la forma: 1- x + 2 - x > 3 + x, es decir X< 0. Таким образом, в этом случае решениями неравенства (17.9) являются все отрицательные числа.
Si 1 £ x £.2, entonces x - 1 ³ 0 y 2 – x ³ 0; por lo tanto | x-1| = x - 1, |2 - x| = 2 – x. Esto significa que el sistema cumple:
x – 1 + 2 – x > 3 + x,
El sistema resultante de desigualdades no tiene soluciones. Por tanto, en el intervalo [ 1; 2] el conjunto de soluciones a la desigualdad (17.9) está vacío.
Si x > 2, entonces x - 1 >0 y 2 – x<0; поэтому | х - 1| = х- 1, |2-х| = -(2- х). Значит, имеет место система:
x -1 + x – 2 > 3+x,
x > 6 o
Combinando las soluciones encontradas para todos los lados de la desigualdad ODZ (17.9), obtenemos su solución: el conjunto (-¥; 0) È (6; +oo).
A veces es útil utilizar la interpretación geométrica del módulo de un número real, según la cual | un | significa la distancia del punto a de la línea de coordenadas desde el origen O, a | a-b | significa la distancia entre los puntos a y b en la línea de coordenadas. Alternativamente, puedes usar el método de elevar al cuadrado ambos lados de la desigualdad.
Teorema 17.5. Si expresiones f(x) y g(x) para cualquier x tome solo valores no negativos, entonces las desigualdades f(x) > g(x) Y f(x)² > g(x)² son equivalentes.
58. Principales conclusiones § 12
En esta sección hemos definido lo siguiente conceptos:
Expresión numérica;
Significado expresión numérica;
Una expresión que no tiene significado;
Expresión con variable(s);
Alcance de la definición de expresión;
Expresiones idénticamente iguales;
Identidad;
Transformación idéntica de una expresión;
Igualdad numérica;
Desigualdad numérica;
Ecuación con una variable;
Raíz de la ecuación;
¿Qué significa resolver una ecuación?
Ecuaciones equivalentes;
Desigualdad con una variable;
Resolver Desigualdades;
¿Qué significa resolver la desigualdad?
Desigualdades equivalentes.
Además, examinamos teoremas sobre la equivalencia de ecuaciones y desigualdades, que son la base para su solución.
El conocimiento de las definiciones de todos los conceptos y teoremas anteriores sobre la equivalencia de ecuaciones y desigualdades es una condición necesaria para el estudio metodológicamente competente del material algebraico con estudiantes de primaria.
El tema de la lección es "Resolver desigualdades y sus sistemas" (matemáticas grado 9)
Tipo de lección: Lección sobre sistematización y generalización de conocimientos y habilidades.
Tecnología de la lección: tecnología para el desarrollo del pensamiento crítico, aprendizaje diferenciado, tecnologías TIC
El propósito de la lección.: repetir y sistematizar conocimientos sobre las propiedades de las desigualdades y los métodos para resolverlas, crear las condiciones para desarrollar las habilidades para aplicar este conocimiento en la resolución de problemas estándar y creativos.
Tareas.
Educativo:
promover el desarrollo de habilidades de los estudiantes para generalizar los conocimientos adquiridos, realizar análisis, síntesis, comparaciones y sacar las conclusiones necesarias.
organizar las actividades de los estudiantes para aplicar los conocimientos adquiridos en la práctica
promover el desarrollo de habilidades para aplicar los conocimientos adquiridos en condiciones no estándar
Educativo:
continuar la formación pensamiento lógico, atención y memoria;
mejorar las habilidades de análisis, sistematización, generalización;
crear condiciones que aseguren el desarrollo de habilidades de autocontrol en los estudiantes;
Promover la adquisición de las habilidades necesarias para las actividades de aprendizaje independiente.
Educativo:
cultivar la disciplina y la compostura, la responsabilidad, la independencia, la actitud crítica hacia uno mismo y la atención.
Resultados educativos planificados.
Personal: actitud responsable hacia el aprendizaje y competencia comunicativa en comunicación y cooperación con pares en el proceso actividades educacionales.
Cognitivo: la capacidad de definir conceptos, crear generalizaciones, seleccionar de forma independiente motivos y criterios para la clasificación, construir razonamientos lógicos y sacar conclusiones;
Regulador: la capacidad de identificar posibles dificultades al resolver una tarea educativa y cognitiva y encontrar medios para eliminarlas, evaluar los propios logros
Comunicativo: la capacidad de emitir juicios utilizando términos y conceptos matemáticos, formular preguntas y respuestas durante la tarea, intercambiar conocimientos entre los miembros del grupo para tomar decisiones conjuntas efectivas.
Términos y conceptos básicos: desigualdad lineal, desigualdad cuadrática, sistema de desigualdades.
Equipo
Proyector, computadora portátil del profesor, varias netbooks para los estudiantes;
Presentación;
Tarjetas con conocimientos y habilidades básicos sobre el tema de la lección (Apéndice 1);
Tarjetas con trabajo independiente (Anexo 2).
Plan de estudios
| durante las clases |
|||
| Etapas tecnológicas. Objetivo. | actividades docentes | Actividades estudiantiles | |
| Componente introductorio y motivacional. |
|||
| 1.Organizativo Objetivo: preparación psicológica para la comunicación. | Hola. Encantado de verlos a todos. Siéntate. Comprueba si tienes todo listo para la lección. Si todo está bien, entonces mírame. | Saludan. Consultar accesorios. Preparandose para trabajar. | Personal. Se forma una actitud responsable hacia el aprendizaje. |
| 2.Actualización de conocimientos (2 min) Objetivo: identificar lagunas de conocimiento individuales sobre un tema | El tema de nuestra lección es "Resolver desigualdades con una variable y sus sistemas". (diapositiva 1) Aquí hay una lista de conocimientos y habilidades básicos sobre el tema. Evalúa tus conocimientos y habilidades. Coloque los iconos apropiados. (diapositiva 2) | Evaluar sus propios conocimientos y habilidades. (Anexo 1) | Regulador Autoevaluación de tus conocimientos y habilidades. |
| 3.Motivación (2 minutos) Propósito: proporcionar actividades para determinar los objetivos de la lección. . | EN trabajo de la OGE En matemáticas, varias preguntas tanto en la primera como en la segunda parte determinan la capacidad para resolver desigualdades. ¿Qué necesitamos repetir en clase para completar con éxito estas tareas? | Razonan y nombran preguntas para repetirlas. | Cognitivo. Identificar y formular una meta cognitiva. |
| Etapa de concepción (componente de contenido) |
|||
| 4.Autoestima y elección de trayectoria (1-2 minutos) | Dependiendo de cómo evaluó sus conocimientos y habilidades sobre el tema, elija la forma de trabajo en la lección. Puedes trabajar con toda la clase conmigo. Podéis trabajar individualmente en netbooks, aprovechando mi consulta, o en parejas, ayudándoos unos a otros. | Determinado con un camino de aprendizaje individual. Si es necesario, cambie de lugar. | Regulador identificar posibles dificultades al resolver una tarea educativa y cognitiva y encontrar medios para eliminarlas |
| 5-7 Trabajar en parejas o individualmente (25 min) | El profesor aconseja a los estudiantes que trabajen de forma independiente. | Los estudiantes que conocen bien el tema trabajan individualmente o en parejas con una presentación (diapositivas 4-10) Completan tareas (diapositivas 6,9). | Cognitivo Capacidad para definir conceptos, crear generalizaciones, construir una cadena lógica. Regulador la capacidad de determinar acciones de acuerdo con la tarea educativa y cognitiva Comunicación capacidad para organizar la cooperación educativa y actividades conjuntas, trabajar con la fuente de información Personal Actitud responsable ante el aprendizaje, disposición y capacidad para el autodesarrollo y la autoeducación. |
| 5. Resolver desigualdades lineales. (10 minutos) | ¿Qué propiedades de las desigualdades utilizamos para resolverlas? ¿Puedes distinguir entre desigualdades lineales y cuadráticas y sus sistemas? (diapositiva 5) ¿Cómo resolver la desigualdad lineal? Sigue la solución. (diapositiva 6) El profesor monitorea la solución en la pizarra. Comprueba si tu solución es correcta. | Nombra las propiedades de las desigualdades después de la respuesta o en caso de dificultad, el profesor abre la diapositiva 4. Nombra las características distintivas de las desigualdades. Usando las propiedades de las desigualdades. Un estudiante resuelve la desigualdad número 1 en la pizarra. El resto está en cuadernos, según la decisión de quien responde. Las desigualdades 2 y 3 se satisfacen de forma independiente. Comprueban la respuesta lista. | Cognitivo Comunicación |
| 6. Resolver desigualdades cuadráticas. (10 minutos) | ¿Cómo solucionar la desigualdad? ¿Qué tipo de desigualdad es ésta? ¿Qué métodos se utilizan para resolver desigualdades cuadráticas? Recordemos el método de la parábola (diapositiva 7). El profesor recuerda las etapas de resolución de una desigualdad. El método del intervalo se utiliza para resolver desigualdades de segundo o más altos grados. (diapositiva 8) Para resolver desigualdades cuadráticas, puedes elegir el método que más te convenga. Resuelve las desigualdades. (diapositiva 9). El profesor monitorea el progreso de la solución y recuerda métodos para resolver ecuaciones cuadráticas incompletas. El profesor asesora a los estudiantes que trabajan individualmente. | Respuesta: Desigualdad cuadrática Resolvemos usando el método de la parábola o el método del intervalo. Los estudiantes dan seguimiento a la solución de la presentación. En la pizarra, los estudiantes se turnan para resolver las desigualdades 1 y 2. Comprueban la respuesta. (para resolver el nervio número 2, debes recordar el método para resolver ecuaciones cuadráticas incompletas). La desigualdad número 3 se resuelve de forma independiente y se compara con la respuesta. | Cognitivo la capacidad de definir conceptos, crear generalizaciones, construir razonamientos a partir de patrones generales hasta soluciones particulares Comunicación la capacidad de presentar un plan detallado de sus propias actividades de forma oral y escrita; |
| 7. Resolver sistemas de desigualdades (4-5 minutos) | Recuerda las etapas de resolución de un sistema de desigualdades. Resuelva el sistema (Diapositiva 10) | Nombra las etapas de la solución. El alumno resuelve en la pizarra y comprueba la solución en la diapositiva. | |
| Etapa reflexiva-evaluativa |
|||
| 8.Control y prueba de conocimientos (10 minutos) Objetivo: identificar la calidad del aprendizaje del material. | Pongamos a prueba tus conocimientos sobre el tema. Resuelve los problemas tú mismo. El profesor comprueba el resultado utilizando respuestas ya preparadas. | Realizar trabajo independiente sobre opciones (Apéndice 2) Una vez completado el trabajo, el alumno lo informa al profesor. El alumno determina su nota según los criterios (diapositiva 11). Si el trabajo se completa con éxito, puede comenzar una tarea adicional (diapositiva 11). | Cognitivo. Construir cadenas lógicas de razonamiento. |
| 9.Reflexión (2 min) Objetivo: se forma una autoestima adecuada de las propias capacidades y habilidades, ventajas y limitaciones. | ¿Hay alguna mejora en el resultado? Si aún tienes preguntas, consulta el libro de texto en casa (p. 120) | Evaluar sus propios conocimientos y habilidades en la misma hoja de papel (Apéndice 1). Compare con la autoestima al comienzo de la lección y saque conclusiones. | Regulador Autoevaluación de tus logros |
| 10.Tarea (2 min) Objetivo: consolidación del material estudiado. | Determinar la tarea en función de los resultados del trabajo independiente (diapositiva 13) | Determinar y registrar tarea individual | Cognitivo. Construir cadenas lógicas de razonamiento. Analizar y transformar información. |
Lista de literatura usada: Álgebra. Libro de texto para noveno grado. / Yu.N.Makrychev, N.G.Mindyuk, K.I.Neshkov, S.B.Suvorova. - M.: Educación, 2014
Un programa para resolver desigualdades lineales, cuadráticas y fraccionarias no sólo da la respuesta al problema, sino que también da solución detallada con explicaciones, es decir Muestra el proceso de solución para evaluar conocimientos en matemáticas y/o álgebra.
Además, si en el proceso de resolver una de las desigualdades es necesario resolver, por ejemplo, ecuación cuadrática, luego también se muestra su solución detallada (contiene un spoiler).
Este programa puede ser útil para los estudiantes de secundaria en la preparación para pruebas, a los padres para que supervisen las soluciones de sus hijos a las desigualdades.
Este programa puede ser útil para estudiantes de secundaria. escuelas secundarias en preparación para pruebas y exámenes, al evaluar conocimientos antes del Examen Estatal Unificado, para que los padres controlen la solución de muchos problemas en matemáticas y álgebra. ¿O tal vez le resulte demasiado caro contratar un tutor o comprar libros de texto nuevos? ¿O simplemente quieres terminar tu tarea de matemáticas o álgebra lo más rápido posible? En este caso, también puede utilizar nuestros programas con soluciones detalladas.
De esta forma, podrás realizar tu propia formación y/o la formación de tus hermanos o hermanas menores, mientras aumenta el nivel de formación en el campo de la resolución de problemas.
Reglas para ingresar desigualdades
Cualquier letra latina puede actuar como variable.
Por ejemplo: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\), etc.
Los números se pueden ingresar como números enteros o fraccionarios.
Además, los números fraccionarios se pueden ingresar no solo en forma de decimal, sino también en forma de fracción ordinaria.
Reglas para ingresar fracciones decimales.
En fracciones decimales, la parte fraccionaria se puede separar de la parte entera mediante un punto o una coma.
Por ejemplo, puedes introducir decimales así: 2,5x - 3,5x^2
Reglas para ingresar fracciones ordinarias.
Sólo un número entero puede actuar como numerador, denominador y parte entera de una fracción.
El denominador no puede ser negativo.
Al ingresar una fracción numérica, el numerador se separa del denominador mediante un signo de división: /
La parte entera está separada de la fracción por el signo comercial: &
Entrada: 3 y 1/3 - 5 y 6/5 años +1/7 años^2
Resultado: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) y + \frac(1)(7)y^2 \)
Puede utilizar paréntesis al introducir expresiones. En este caso, al resolver desigualdades, primero se simplifican las expresiones.
Por ejemplo: 5(a+1)^2+2&3/5+a > 0.6(a-2)(a+3)
Seleccionar la señal correcta desigualdades e ingresa los polinomios en los cuadros a continuación.
Resolver el sistema de desigualdades. Se descubrió que algunos scripts necesarios para resolver este problema no estaban cargados y es posible que el programa no funcione.
Es posible que tengas habilitado AdBlock.
En este caso, desactívelo y actualice la página.
Para que aparezca la solución, debe habilitar JavaScript.
Aquí hay instrucciones sobre cómo habilitar JavaScript en su navegador.
Porque Hay mucha gente dispuesta a solucionar el problema, tu solicitud ha quedado en cola.
En unos segundos la solución aparecerá a continuación.
Espere por favor segundo...
Si usted Noté un error en la solución., entonces puedes escribir sobre esto en el formulario de comentarios.
No lo olvide indicar que tarea tu decides que entrar en los campos.
Nuestros juegos, rompecabezas, emuladores:
Un poco de teoría.
Sistemas de desigualdades con una incógnita. Intervalos numéricos
Te familiarizaste con el concepto de sistema en séptimo grado y aprendiste a resolver sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas. A continuación consideraremos sistemas de desigualdades lineales con una incógnita. Los conjuntos de soluciones a sistemas de desigualdades se pueden escribir utilizando intervalos (intervalos, semiintervalos, segmentos, rayos). También te familiarizarás con la notación de intervalos numéricos.
Si en las desigualdades \(4x > 2000\) y \(5x \leq 4000\) el número desconocido x es el mismo, entonces estas desigualdades se consideran juntas y se dice que forman un sistema de desigualdades: $$ \left\ (\begin(matriz)(l) 4x > 2000 \\ 5x \leq 4000 \end(array)\right $$.
La llave muestra que es necesario encontrar valores de x para los cuales ambas desigualdades del sistema se conviertan en desigualdades numéricas correctas. Este sistema- un ejemplo de un sistema de desigualdades lineales con una incógnita.
La solución a un sistema de desigualdades con una incógnita es el valor de la incógnita en el que todas las desigualdades del sistema se convierten en verdaderas desigualdades numéricas. Resolver un sistema de desigualdades significa encontrar todas las soluciones a este sistema o establecer que no las hay.
Las desigualdades \(x \geq -2 \) y \(x \leq 3 \) se pueden escribir como una doble desigualdad: \(-2 \leq x \leq 3 \).
Las soluciones a sistemas de desigualdades con una incógnita son varios conjuntos numéricos. Estos conjuntos tienen nombres. Así, en el eje numérico, el conjunto de números x tales que \(-2 \leq x \leq 3 \) está representado por un segmento con extremos en los puntos -2 y 3.
| -2 | 3 |
Si \(a es un segmento y se denota por [a; b]
Si \(a es un intervalo y se denota por (a; b)
Los conjuntos de números \(x\) que satisfacen las desigualdades \(a \leq x son semiintervalos y se denotan respectivamente [a; b) y (a; b]
Se llaman segmentos, intervalos, semiintervalos y rayos. intervalos numéricos.
Por tanto, los intervalos numéricos se pueden especificar en forma de desigualdades.
La solución a una desigualdad con dos incógnitas es un par de números (x; y) que convierte la desigualdad dada en una verdadera desigualdad numérica. Resolver una desigualdad significa encontrar el conjunto de todas sus soluciones. Así, las soluciones a la desigualdad x > y serán, por ejemplo, pares de números (5; 3), (-1; -1), ya que \(5 \geq 3 \) y \(-1 \geq - 1\)
Resolver sistemas de desigualdades.
Ya aprendiste cómo resolver desigualdades lineales con una incógnita. ¿Sabes qué es un sistema de desigualdades y una solución al sistema? Por tanto, el proceso de resolución de sistemas de desigualdades con una incógnita no te supondrá ninguna dificultad.
Y, sin embargo, permítanos recordarle: para resolver un sistema de desigualdades, es necesario resolver cada desigualdad por separado y luego encontrar la intersección de estas soluciones.
Por ejemplo, el sistema original de desigualdades se redujo a la forma:
$$ \left\(\begin(array)(l) x \geq -2 \\ x \leq 3 \end(array)\right. $$
Para resolver este sistema de desigualdades, marca la solución de cada desigualdad en la recta numérica y encuentra su intersección:
| -2 | 3 |
La intersección es el segmento [-2; 3] - esta es la solución al sistema original de desigualdades.