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Inégalités de module. Un nouveau regard sur la solution. Équations et inégalités avec module

Module des nombres ce nombre lui-même est appelé s'il est non négatif, ou le même nombre avec le signe opposé s'il est négatif.

Par exemple, le module du nombre 6 est 6 et le module du nombre -6 est également 6.

C'est-à-dire que le module d'un nombre s'entend comme la valeur absolue, la valeur absolue de ce nombre sans tenir compte de son signe.

Il est désigné comme suit : |6|, | X|, |UN| etc.

(Plus de détails dans la section « Module Numéro »).

Équations avec module.

Exemple 1 . Résous l'équation|10 X - 5| = 15.

Solution.

D'après la règle, l'équation est équivalente à la combinaison de deux équations :

10X - 5 = 15
10X - 5 = -15

Nous décidons:

10X = 15 + 5 = 20
10X = -15 + 5 = -10

X = 20: 10
X = -10: 10

X = 2
X = -1

Répondre: X 1 = 2, X 2 = -1.

Exemple 2 . Résous l'équation|2 X + 1| = X + 2.

Solution.

Puisque le module est un nombre non négatif, alors X+ 2 ≥ 0. En conséquence :

X ≥ -2.

Faisons deux équations :

2X + 1 = X + 2
2X + 1 = -(X + 2)

Nous décidons:

2X + 1 = X + 2
2X + 1 = -X - 2

2X - X = 2 - 1
2X + X = -2 - 1

X = 1
X = -1

Les deux nombres sont supérieurs à -2. Les deux sont donc les racines de l’équation.

Répondre: X 1 = -1, X 2 = 1.

Exemple 3 . Résous l'équation

|X + 3| - 1
————— = 4
X - 1

Solution.

L'équation a du sens si le dénominateur n'est pas nul - c'est-à-dire si X≠ 1. Prenons en compte cette condition. Notre première action est simple : on ne se contente pas de supprimer la fraction, mais on la transforme pour obtenir le module sous sa forme pure :

|X+ 3| - 1 = 4 · ( X - 1),

|X + 3| - 1 = 4X - 4,

|X + 3| = 4X - 4 + 1,

|X + 3| = 4X - 3.

Nous n’avons maintenant qu’une expression sous le module du côté gauche de l’équation. Poursuivre.
Le module d'un nombre est un nombre non négatif, c'est-à-dire qu'il doit être supérieur à zéro ou égal à zéro. En conséquence, nous résolvons l'inégalité :

4X - 3 ≥ 0

4X ≥ 3

X ≥ 3/4

Ainsi, nous avons une deuxième condition : la racine de l’équation doit être au moins 3/4.

Conformément à la règle, nous composons un ensemble de deux équations et les résolvons :

X + 3 = 4X - 3
X + 3 = -(4X - 3)

X + 3 = 4X - 3
X + 3 = -4X + 3

X - 4X = -3 - 3
X + 4X = 3 - 3

X = 2
X = 0

Nous avons reçu deux réponses. Vérifions s'il s'agit de racines de l'équation d'origine.

Nous avions deux conditions : la racine de l'équation ne peut pas être égale à 1, et elle doit être au moins 3/4. C'est X ≠ 1, X≥ 3/4. Ces deux conditions correspondent à une seule des deux réponses reçues - le chiffre 2. Cela signifie que seule celle-ci est la racine de l'équation d'origine.

Répondre: X = 2.

Inégalités de module.

Exemple 1 . Résoudre les inégalités| X - 3| < 4

Solution.

La règle du module stipule :

|UN| = UN, Si UN ≥ 0.

|UN| = -UN, Si UN < 0.

Le module peut avoir des nombres non négatifs et négatifs. Il faut donc considérer les deux cas : X- 3 ≥ 0 et X - 3 < 0.

1) Quand X- 3 ≥ 0 notre inégalité d'origine reste telle quelle, seulement sans le signe du module :
X - 3 < 4.

2) Quand X - 3 < 0 в исходном неравенстве надо поставить знак минус перед всем подмодульным выражением:

-(X - 3) < 4.

En ouvrant les parenthèses, on obtient :

-X + 3 < 4.

Ainsi, de ces deux conditions on arrive à l’unification de deux systèmes d’inégalités :

X - 3 ≥ 0
X - 3 < 4

X - 3 < 0
-X + 3 < 4

Résolvons-les :

X ≥ 3
X < 7

X < 3
X > -1

Notre réponse est donc une union de deux ensembles :

3 ≤ X < 7 U -1 < X < 3.

Déterminez le plus petit et valeur la plus élevée. Ce sont -1 et 7. De plus X supérieur à -1 mais inférieur à 7.
En plus, X≥ 3. Cela signifie que la solution de l’inégalité est l’ensemble des nombres de -1 à 7, à l’exclusion de ces nombres extrêmes.

Répondre: -1 < X < 7.

Ou: X ∈ (-1; 7).

Modules complémentaires.

1) Il existe un moyen plus simple et plus court de résoudre nos inégalités : graphiquement. Pour ce faire, vous devez tracer un axe horizontal (Fig. 1).

Expressions | X - 3| < 4 означает, что расстояние от точки X au point 3 est inférieur à quatre unités. On marque le chiffre 3 sur l'axe et on compte 4 divisions à gauche et à droite de celui-ci. A gauche nous arriverons au point -1, à droite - au point 7. Ainsi, les points X nous venons de les voir sans les calculer.

De plus, selon la condition d’inégalité, -1 et 7 eux-mêmes ne sont pas inclus dans l’ensemble des solutions. Ainsi, nous obtenons la réponse :

1 < X < 7.

2) Mais il existe une autre solution encore plus simple que la méthode graphique. Pour ce faire, notre inégalité doit être présentée sous la forme suivante :

4 < X - 3 < 4.

Après tout, c’est ainsi selon la règle du module. Le nombre non négatif 4 et le nombre négatif similaire -4 sont les limites pour résoudre l'inégalité.

4 + 3 < X < 4 + 3

1 < X < 7.

Exemple 2 . Résoudre les inégalités| X - 2| ≥ 5

Solution.

Cet exemple est très différent du précédent. Le côté gauche est supérieur à 5 ou égal à 5. C point géométrique Du point de vue, la solution de l'inégalité est constituée de tous les nombres situés à une distance de 5 unités ou plus du point 2 (Fig. 2). Le graphique montre que ce sont tous des nombres inférieurs ou égaux à -3 et supérieurs ou égaux à 7. Cela signifie que nous avons déjà reçu la réponse.

Répondre: -3 ≥ X ≥ 7.

Chemin faisant, on résout la même inégalité en réorganisant le terme libre vers la gauche et vers la droite avec le signe opposé :

5 ≥ X - 2 ≥ 5

5 + 2 ≥ X ≥ 5 + 2

La réponse est la même : -3 ≥ X ≥ 7.

Ou: X ∈ [-3; 7]

L'exemple est résolu.

Exemple 3 . Résoudre les inégalités 6 X 2 - | X| - 2 ≤ 0

Solution.

Nombre X peut être un nombre positif, un nombre négatif ou zéro. Nous devons donc prendre en compte ces trois circonstances. Comme vous le savez, ils sont pris en compte dans deux inégalités : X≥ 0 et X < 0. При X≥ 0 nous réécrivons simplement notre inégalité d'origine telle quelle, uniquement sans le signe du module :

6x2 - X - 2 ≤ 0.

Passons maintenant au deuxième cas : si X < 0. Модулем отрицательного числа является это же число с противоположным знаком. То есть пишем число под модулем с обратным знаком и опять же освобождаемся от знака модуля:

6X 2 - (-X) - 2 ≤ 0.

Extension des parenthèses :

6X 2 + X - 2 ≤ 0.

Ainsi, nous avons reçu deux systèmes d'équations :

6X 2 - X - 2 ≤ 0
X ≥ 0

6X 2 + X - 2 ≤ 0
X < 0

Nous devons résoudre les inégalités dans les systèmes - et cela signifie que nous devons trouver les racines de deux équations du second degré. Pour ce faire, nous assimilons les membres gauches des inégalités à zéro.

Commençons par le premier :

6X 2 - X - 2 = 0.

Comment résoudre une équation quadratique - voir la section « Équation quadratique ». Nous nommerons immédiatement la réponse :

X 1 = -1/2, x 2 = 2/3.

Du premier système d’inégalités, nous obtenons que la solution de l’inégalité originale est l’ensemble des nombres de -1/2 à 2/3. Nous écrivons l'union des solutions à X ≥ 0:
[-1/2; 2/3].

Résolvons maintenant la deuxième équation quadratique :

6X 2 + X - 2 = 0.

Ses racines :

X 1 = -2/3, X 2 = 1/2.

Conclusion : quand X < 0 корнями исходного неравенства являются также все числа от -2/3 до 1/2.

Combinons les deux réponses et obtenons la réponse finale : la solution est l'ensemble des nombres de -2/3 à 2/3, y compris ces nombres extrêmes.

Répondre: -2/3 ≤ X ≤ 2/3.

Ou: X ∈ [-2/3; 2/3].

Comment plus de gens comprend, plus son désir de comprendre est fort

Thomas d'Aquin

La méthode des intervalles vous permet de résoudre toutes les équations contenant un module. L'essence de cette méthode est de diviser l'axe des nombres en plusieurs sections (intervalles), et l'axe doit être divisé par les zéros des expressions dans les modules. Ensuite, sur chacune des sections résultantes, chaque expression sous-modulaire est soit positive, soit négative. Par conséquent, chacun des modules peut être ouvert soit avec un signe moins, soit avec un signe plus. Après ces actions, il ne reste plus qu'à résoudre chacun des problèmes reçus équations simples sur l'intervalle considéré et combiner les réponses reçues.

Examinons cette méthode à l'aide d'un exemple spécifique.

|x + 1| + |2x – 4| – |x + 3| = 2x – 6.

1) Trouvons les zéros des expressions dans les modules. Pour ce faire, nous devons les assimiler à zéro et résoudre les équations résultantes.

x + 1 = 0 2x – 4 = 0 x + 3 = 0

x = -1 2x = 4 x = -3

2) Placez les points résultants dans l'ordre requis sur la ligne de coordonnées. Ils diviseront l’ensemble de l’axe en quatre sections.

3) Déterminons sur chacune des sections résultantes les signes des expressions dans les modules. Pour ce faire, nous y substituons tous les nombres des intervalles qui nous intéressent. Si le résultat du calcul est un nombre positif, alors on met « + » dans le tableau, et si le nombre est négatif, alors on met « – ». Cela peut être représenté comme ceci :

4) Nous allons maintenant résoudre l'équation sur chacun des quatre intervalles, en révélant les modules avec les signes indiqués dans le tableau. Alors, regardons le premier intervalle :

J'intervalle (-∞; -3). Sur celui-ci, tous les modules sont ouverts avec le signe « – ». On obtient l'équation suivante :

-(x + 1) – (2x – 4) – (-(x + 3)) = 2x – 6. Présentons des termes similaires, en ouvrant d'abord les parenthèses dans l'équation résultante :

X – 1 – 2x + 4 + x + 3 = 2x – 6

La réponse reçue n'est pas incluse dans l'intervalle considéré, il n'est donc pas nécessaire de l'inscrire dans la réponse finale.

Intervalle II [-3 ; -1). A cet intervalle du tableau se trouvent les signes « – », « – », « + ». C'est exactement ainsi que nous ouvrons les modules de l'équation originale :

-(x + 1) – (2x – 4) – (x + 3) = 2x – 6. Simplifions en ouvrant les parenthèses :

X – 1 – 2x + 4 – x – 3 = 2x – 6. Présentons-en des similaires dans l'équation résultante :

x = 6/5. Le nombre résultant n'appartient pas à l'intervalle considéré, ce n'est donc pas la racine de l'équation d'origine.

Intervalle III [-1 ; 2). Nous développons les modules de l'équation originale avec les signes qui apparaissent dans la troisième colonne de la figure. On a:

(x + 1) – (2x – 4) – (x + 3) = 2x – 6. Supprimons les parenthèses et déplaçons les termes contenant la variable x vers la gauche de l'équation, et ceux ne contenant pas x vers la droite. Aura:

x + 1 – 2x + 4 – x – 3 = 2x – 6

Le chiffre 2 n'est pas inclus dans l'intervalle considéré.

IV) – ils considéreront automatiquement cela comme une réponse incorrecte. De plus, lors des tests, si une inégalité non stricte avec des modules est donnée, recherchez les zones entre crochets parmi les solutions.

Sur l'intervalle (-3;0), en développant le module, on change le signe de la fonction par celui opposé

Compte tenu du domaine de la divulgation des inégalités, la solution aura la forme

Avec la zone précédente, cela donnera deux demi-intervalles

Exemple 5. Trouver une solution à l'inégalité
9x^2-|x-3|>=9x-2

Solution:
On donne une inégalité non stricte dont la fonction sous-modulaire est égale à zéro au point x=3.<3.

Pour les valeurs plus petites, il est négatif, pour les valeurs plus grandes, il est positif. Développez le module sur l'intervalle x

Trouver le discriminant de l'équation

et les racines

En remplaçant le point zéro, on découvre que sur l'intervalle [-1/9;1] la fonction quadratique est négative, donc l'intervalle est une solution. Ensuite, nous développons le module à x>3

Aujourd’hui, mes amis, il n’y aura ni morve ni sentimentalité. Au lieu de cela, je vous enverrai, sans poser de questions, au combat avec l'un des adversaires les plus redoutables du cours d'algèbre de 8e à 9e années.

Oui, vous avez tout bien compris : nous parlons d'inégalités avec module. Nous examinerons quatre techniques de base avec lesquelles vous apprendrez à résoudre environ 90 % de ces problèmes. Et les 10 % restants ? Eh bien, nous en parlerons dans une leçon séparée :)

Cependant, avant d’analyser l’une des techniques, je voudrais vous rappeler deux faits que vous devez déjà connaître. Sinon, vous risquez de ne pas comprendre du tout le contenu de la leçon d’aujourd’hui.

Ce que vous devez déjà savoir

  1. Captain Obviousness semble laisser entendre que pour résoudre des inégalités avec module, vous devez savoir deux choses :
  2. Comment les inégalités sont résolues ;

Qu'est-ce qu'un module ?

Commençons par le deuxième point.

Définition du module

Tout est simple ici. Il existe deux définitions : algébrique et graphique. Pour commencer, c’est algébrique :

Définition. Le module d'un nombre $x$ est soit le nombre lui-même, s'il est non négatif, soit le nombre qui lui est opposé, si le $x$ d'origine est toujours négatif.

C'est écrit ainsi :

\[\gauche| x \right|=\left\( \begin(align) & x,\ x\ge 0, \\ & -x,\ x \lt 0. \\\end(align) \right.\]

En termes simples, un module est un « nombre sans moins ». Et c'est précisément dans cette dualité (dans certains endroits, vous n'avez rien à faire avec le numéro d'origine, mais dans d'autres, vous devrez supprimer une sorte de moins) et c'est là que réside toute la difficulté pour les étudiants débutants. Y en a-t-il d'autres. Il est également utile de le savoir, mais nous n'y reviendrons que dans des cas complexes et particuliers, où l'approche géométrique est plus pratique que l'approche algébrique (spoiler : pas aujourd'hui).

Définition. Soit le point $a$ sur la droite numérique. Puis le module $\left| x-a \right|$ est la distance du point $x$ au point $a$ sur cette ligne.

Si vous faites un dessin, vous obtiendrez quelque chose comme ceci :


Définition du module graphique

D'une manière ou d'une autre, de la définition d'un module découle immédiatement sa propriété clé : le module d'un nombre est toujours une quantité non négative. Ce fait constituera le fil rouge qui parcourra tout notre récit d’aujourd’hui.

Résoudre les inégalités. Méthode d'intervalle

Examinons maintenant les inégalités. Il y en a un grand nombre, mais notre tâche est maintenant de pouvoir résoudre au moins le plus simple d'entre eux. Ceux qui se résument à inégalités linéaires, ainsi qu'à la méthode des intervalles.

J'ai deux grandes leçons sur ce sujet (d'ailleurs, très, TRÈS utiles - je recommande de les étudier) :

  1. Méthode d'intervalle pour les inégalités (surtout regarder la vidéo) ;
  2. Les inégalités rationnelles fractionnaires sont une leçon très approfondie, mais après cela, vous n’aurez plus aucune question.

Si vous savez tout cela, si l'expression « passons de l'inégalité à l'équation » ne vous donne pas une vague envie de vous cogner contre le mur, alors vous êtes prêt : bienvenue en enfer dans le sujet principal de la leçon :)

1. Inégalités de la forme « Le module est inférieur à la fonction »

C'est l'un des problèmes les plus courants avec les modules. Il faut résoudre une inégalité de la forme :

\[\gauche| f\droit| \ltg\]

Les fonctions $f$ et $g$ peuvent être n'importe quoi, mais ce sont généralement des polynômes. Exemples de telles inégalités :

\[\begin(align) & \left| 2x+3 \droite| \ltx+7; \\ & \gauche| ((x)^(2))+2x-3 \right|+3\left(x+1 \right) \lt 0; \\ & \gauche| ((x)^(2))-2\gauche| x \droite|-3 \droite| \lt 2. \\\fin(aligner)\]

Tous peuvent être résolus littéralement en une seule ligne selon le schéma suivant :

\[\gauche| f\droit| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g\quad \left(\Rightarrow \left\( \begin(align) & f \lt g, \\ & f \gt -g \\\end(align) \droit.\droit)\]

Il est facile de voir qu'on se débarrasse du module, mais en retour on obtient une double inégalité (ou, ce qui revient au même, un système de deux inégalités). Mais cette transition prend en compte absolument tout problèmes possibles: si le nombre sous le module est positif, la méthode fonctionne ; si négatif, cela fonctionne toujours ; et même avec la fonction la plus inadéquate à la place de $f$ ou $g$, la méthode fonctionnera toujours.

Naturellement, la question se pose : ne pourrait-il pas être plus simple ? Malheureusement, ce n'est pas possible. C’est tout l’intérêt du module.

Cependant, assez de philosopher. Résolvons quelques problèmes :

Tâche. Résoudre l'inégalité :

\[\gauche| 2x+3 \droite| \ltx+7\]

Solution. Ainsi, nous avons devant nous une inégalité classique de la forme « le module est moindre » - il n'y a même rien à transformer. Nous travaillons selon l'algorithme :

\[\begin(align) & \left| f\droit| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g; \\ & \gauche| 2x+3 \droite| \lt x+7\Rightarrow -\left(x+7 \right) \lt 2x+3 \lt x+7 \\\end(align)\]

Ne vous précipitez pas pour ouvrir les parenthèses précédées d'un « moins » : il est fort possible qu'en raison de votre précipitation vous commettiez une erreur offensante.

\[-x-7 \lt 2x+3 \lt x+7\]

\[\left\( \begin(align) & -x-7 \lt 2x+3 \\ & 2x+3 \lt x+7 \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & -3x \lt 10 \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & x \gt -\frac(10)(3) \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \right.\]

Le problème se réduisait à deux inégalités élémentaires. Notons leurs solutions sur des droites numériques parallèles :

Intersection de plusieurs

L’intersection de ces ensembles sera la réponse.

Réponse : $x\in \left(-\frac(10)(3);4 \right)$

Tâche. Résoudre l'inégalité :

\[\gauche| ((x)^(2))+2x-3 \right|+3\left(x+1 \right) \lt 0\]

Solution. Cette tâche est un peu plus difficile. Tout d’abord, isolons le module en déplaçant le deuxième terme vers la droite :

\[\gauche| ((x)^(2))+2x-3 \right| \lt -3\gauche(x+1 \droite)\]

Evidemment, on a encore une inégalité de la forme « le module est plus petit », on se débarrasse donc du module en utilisant l'algorithme déjà connu :

\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right) \lt ((x)^(2))+2x-3 \lt -3\left(x+1 \right)\]

Maintenant attention : quelqu'un va dire que je suis un peu pervers avec toutes ces parenthèses. Mais permettez-moi de vous rappeler une fois de plus que notre objectif principal est résoudre correctement l'inégalité et obtenir la réponse. Plus tard, lorsque vous maîtriserez parfaitement tout ce qui est décrit dans cette leçon, vous pourrez le pervertir vous-même à votre guise : ouvrir des parenthèses, ajouter des moins, etc.

Pour commencer, on va simplement supprimer le double moins à gauche :

\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right)=\left(-1 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(x+1 \right) =3\gauche(x+1 \droite)\]

Ouvrons maintenant toutes les parenthèses dans la double inégalité :

Passons à la double inégalité. Cette fois les calculs seront plus sérieux :

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -3x-3 \\ & 3x+3 \lt ((x)^(2))+2x -3 \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+5x \lt 0 \\ & ((x)^(2))-x-6 \gt 0 \\ \end( aligner)\right.\]

Les deux inégalités sont quadratiques et peuvent être résolues en utilisant la méthode des intervalles (c'est pourquoi je dis : si vous ne savez pas ce que c'est, il vaut mieux ne pas encore aborder les modules). Passons à l'équation de la première inégalité :

\[\begin(align) & ((x)^(2))+5x=0; \\ & x\gauche(x+5 \droite)=0; \\ & ((x)_(1))=0;((x)_(2))=-5. \\\fin (aligner)\]

Comme vous pouvez le voir, le résultat est une équation quadratique incomplète, qui peut être résolue de manière élémentaire. Examinons maintenant la deuxième inégalité du système. Là, vous devrez appliquer le théorème de Vieta :

\[\begin(align) & ((x)^(2))-x-6=0; \\ & \left(x-3 \right)\left(x+2 \right)=0; \\& ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-2. \\\fin (aligner)\]

On marque les nombres résultants sur deux droites parallèles (séparées pour la première inégalité et séparées pour la seconde) :

Encore une fois, puisque nous résolvons un système d'inégalités, nous nous intéressons à l'intersection des ensembles ombrés : $x\in \left(-5;-2 \right)$. C'est la réponse.

Réponse : $x\in \left(-5;-2 \right)$

Je pense qu'après ces exemples, le schéma de solution est extrêmement clair :

  1. Isolez le module en déplaçant tous les autres termes du côté opposé de l’inégalité. On obtient donc une inégalité de la forme $\left| f\droit| \ltg$.
  2. Résolvez cette inégalité en supprimant le module selon le schéma décrit ci-dessus. À un moment donné, il faudra passer d’une double inégalité à un système de deux expressions indépendantes, dont chacune peut déjà être résolue séparément.
  3. Finalement, il ne reste plus qu'à recouper les solutions de ces deux expressions indépendantes - et c'est tout, nous obtiendrons la réponse finale.

Un algorithme similaire existe pour les inégalités du type suivant, lorsque le module plus de fonctionnalités. Il y a cependant quelques « mais » sérieux. Nous allons parler de ces « mais » maintenant.

2. Inégalités de la forme « Le module est supérieur à la fonction »

Ils ressemblent à ceci :

\[\gauche| f\droit| \gtg\]

Similaire au précédent ? Il semble. Et pourtant, ces problèmes sont résolus d’une manière complètement différente. Formellement, le schéma est le suivant :

\[\gauche| f\droit| \gt g\Rightarrow \left[ \begin(align) & f \gt g, \\ & f \lt -g \\\end(align) \right.\]

Autrement dit, nous considérons deux cas :

  1. Premièrement, nous ignorons simplement le module et résolvons l'inégalité habituelle ;
  2. Ensuite, en substance, nous développons le module avec le signe moins, puis multiplions les deux côtés de l'inégalité par −1, pendant que j'ai le signe.

Dans ce cas, les options sont combinées avec un crochet, c'est-à-dire Nous avons devant nous une combinaison de deux exigences.

Attention encore : ceci n'est pas un système, mais une totalité, donc dans la réponse, les ensembles sont combinés plutôt que se croisant. C’est une différence fondamentale par rapport au point précédent !

En général, de nombreux étudiants sont complètement confus avec les syndicats et les intersections, alors réglons ce problème une fois pour toutes :

  • "∪" est un signe d'union. Il s'agit essentiellement d'une lettre « U » stylisée qui nous vient de En anglais et est une abréviation de « Union », c'est-à-dire "Les associations".
  • "∩" est le signe d'intersection. Cette connerie ne vient de nulle part, mais est simplement apparue comme un contrepoint au « ∪ ».

Pour que ce soit encore plus facile à retenir, il suffit de dessiner des jambes vers ces panneaux pour fabriquer des lunettes (ne m'accusez pas maintenant de promouvoir la toxicomanie et l'alcoolisme : si vous étudiez sérieusement cette leçon, alors vous êtes déjà toxicomane) :

Différence entre intersection et union d'ensembles

Traduit en russe, cela signifie ce qui suit : l'union (la totalité) comprend des éléments des deux ensembles, elle n'est donc en rien inférieure à chacun d'eux ; mais l'intersection (le système) ne comprend que les éléments qui se trouvent simultanément dans le premier ensemble et dans le second. Par conséquent, l’intersection des ensembles n’est jamais plus grande que les ensembles sources.

Alors c'est devenu plus clair ? C'est super. Passons à la pratique.

Tâche. Résoudre l'inégalité :

\[\gauche| 3x+1 \droite| \gt 5-4x\]

Solution. On procède selon le schéma :

\[\gauche| 3x+1 \droite| \gt 5-4x\Rightarrow \left[ \begin(align) & 3x+1 \gt 5-4x \\ & 3x+1 \lt -\left(5-4x \right) \\\end(align) \ droite.\]

Nous résolvons chaque inégalité dans la population :

\[\left[ \begin(align) & 3x+4x \gt 5-1 \\ & 3x-4x \lt -5-1 \\ \end(align) \right.\]

\[\left[ \begin(align) & 7x \gt 4 \\ & -x \lt -6 \\ \end(align) \right.\]

\[\left[ \begin(align) & x \gt 4/7\ \\ & x \gt 6 \\ \end(align) \right.\]

Nous marquons chaque ensemble résultant sur la droite numérique, puis les combinons :

Union d'ensembles

Il est bien évident que la réponse sera $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

Réponse : $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

Tâche. Résoudre l'inégalité :

\[\gauche| ((x)^(2))+2x-3 \right| \gt x\]

Solution. Bien? Rien, tout est pareil. On passe d'une inégalité avec un module à un ensemble de deux inégalités :

\[\gauche| ((x)^(2))+2x-3 \right| \gt x\Rightarrow \left[ \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x \\ & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x \\\fin (aligner) \right.\]

Nous résolvons toutes les inégalités. Malheureusement, les racines n'y seront pas très bonnes :

\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x; \\ & ((x)^(2))+x-3 \gt 0; \\&D=1+12=13 ; \\ & x=\frac(-1\pm \sqrt(13))(2). \\\fin (aligner)\]

La deuxième inégalité est également un peu farfelue :

\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x; \\ & ((x)^(2))+3x-3 \lt 0; \\&D=9+12=21 ; \\ & x=\frac(-3\pm \sqrt(21))(2). \\\fin (aligner)\]

Vous devez maintenant marquer ces nombres sur deux axes – un axe pour chaque inégalité. Cependant, les points doivent être marqués dans dans le bon ordre: comment plus grand nombre, plus on déplace le point vers la droite.

Et ici, une configuration nous attend. Si tout est clair avec les nombres $\frac(-3-\sqrt(21))(2) \lt \frac(-1-\sqrt(13))(2)$ (les termes au numérateur du premier fraction sont inférieurs aux termes du numérateur de la seconde, donc la somme est également inférieure), avec les nombres $\frac(-3-\sqrt(13))(2) \lt \frac(-1+\sqrt (21))(2)$ il n'y aura pas non plus de difficultés (nombre positif évidemment plus négatif), alors avec les derniers couples tout n'est pas si clair. Quel est le plus grand : $\frac(-3+\sqrt(21))(2)$ ou $\frac(-1+\sqrt(13))(2)$ ? Le placement des points sur les droites numériques et, en fait, la réponse dépendront de la réponse à cette question.

Alors comparons :

\[\begin(matrix) \frac(-1+\sqrt(13))(2)\vee \frac(-3+\sqrt(21))(2) \\ -1+\sqrt(13)\ vee -3+\sqrt(21) \\ 2+\sqrt(13)\vee \sqrt(21) \\\end(matrice)\]

Nous avons isolé la racine, obtenu des nombres non négatifs des deux côtés de l'inégalité, nous avons donc le droit de mettre les deux côtés au carré :

\[\begin(matrix) ((\left(2+\sqrt(13) \right))^(2))\vee ((\left(\sqrt(21) \right))^(2)) \ \ 4+4\sqrt(13)+13\vee 21 \\ 4\sqrt(13)\vee 3 \\\end(matrice)\]

Je pense que c'est une évidence que $4\sqrt(13) \gt 3$, donc $\frac(-1+\sqrt(13))(2) \gt \frac(-3+\sqrt(21)) ( 2)$, les points finaux sur les axes seront placés comme ceci :

Un cas de racines laides

Permettez-moi de vous rappeler que nous résolvons un ensemble, la réponse sera donc une union, pas une intersection d'ensembles ombrés.

Réponse : $x\in \left(-\infty ;\frac(-3+\sqrt(21))(2) \right)\bigcup \left(\frac(-1+\sqrt(13))(2 );+\infty \right)$

Comme vous pouvez le constater, notre programme fonctionne très bien pour les deux tâches simples, et pour les plus difficiles. La seule chose " faiblesse« Dans cette approche, vous devez comparer avec compétence les nombres irrationnels (et croyez-moi : ce ne sont pas seulement des racines). Mais une leçon distincte (et très sérieuse) sera consacrée aux questions de comparaison. Et nous passons à autre chose.

3. Inégalités avec des « queues » non négatives

Passons maintenant à la partie la plus intéressante. Ce sont des inégalités de la forme :

\[\gauche| f\droit| \gt\gauche| g\droite|\]

D'une manière générale, l'algorithme dont nous allons parler maintenant n'est correct que pour le module. Cela fonctionne dans toutes les inégalités où il y a des expressions garanties non négatives à gauche et à droite :

Que faire de ces tâches ? Rappelez-vous juste:

Dans les inégalités avec des « queues » non négatives, les deux côtés peuvent être élevés à n’importe quelle puissance naturelle. Il n’y aura aucune restriction supplémentaire.

Tout d'abord, nous nous intéresserons à la quadrature - elle brûle les modules et les racines :

\[\begin(align) & ((\left(\left| f \right| \right))^(2))=((f)^(2)); \\ & ((\left(\sqrt(f) \right))^(2))=f. \\\fin (aligner)\]

Ne confondez pas cela avec la racine d’un carré :

\[\sqrt(((f)^(2)))=\gauche| f \right|\ne f\]

D’innombrables erreurs ont été commises lorsqu’un étudiant a oublié d’installer un module ! Mais c'est une histoire complètement différente (ce sont pour ainsi dire des équations irrationnelles), nous n'entrerons donc pas dans les détails maintenant. Résolvons mieux quelques problèmes :

Tâche. Résoudre l'inégalité :

\[\gauche| x+2 \droite|\ge \gauche| 1-2x \droite|\]

Solution. Remarquons immédiatement deux choses :

  1. Il ne s’agit pas d’une inégalité stricte. Les points sur la droite numérique seront perforés.
  2. Les deux côtés de l'inégalité sont évidemment non négatifs (c'est une propriété du module : $\left| f\left(x \right) \right|\ge 0$).

Par conséquent, nous pouvons mettre au carré les deux côtés de l’inégalité pour nous débarrasser du module et résoudre le problème en utilisant la méthode habituelle des intervalles :

\[\begin(align) & ((\left(\left| x+2 \right| \right))^(2))\ge ((\left(\left| 1-2x \right| \right) )^(2)); \\ & ((\left(x+2 \right))^(2))\ge ((\left(2x-1 \right))^(2)). \\\fin (aligner)\]

A la dernière étape, j'ai un peu triché : j'ai changé la séquence des termes, profitant de la régularité du module (en fait, j'ai multiplié l'expression $1-2x$ par −1).

\[\begin(align) & ((\left(2x-1 \right))^(2))-((\left(x+2 \right))^(2))\le 0; \\ & \left(\left(2x-1 \right)-\left(x+2 \right) \right)\cdot \left(\left(2x-1 \right)+\left(x+2 \ droite)\droite)\le 0; \\ & \left(2x-1-x-2 \right)\cdot \left(2x-1+x+2 \right)\le 0; \\ & \left(x-3 \right)\cdot \left(3x+1 \right)\le 0. \\\end(align)\]

Nous résolvons en utilisant la méthode des intervalles. Passons de l'inégalité à l'équation :

\[\begin(align) & \left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-\frac(1)(3). \\\fin (aligner)\]

Nous marquons les racines trouvées sur la droite numérique. Encore une fois : tous les points sont ombrés car l’inégalité originelle n’est pas stricte !

Se débarrasser du signe du module

Je vous le rappelle pour les plus têtus : on reprend les signes de la dernière inégalité, qui a été notée avant de passer à l'équation. Et nous peignons les zones requises dans la même inégalité. Dans notre cas, il s'agit de $\left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)\le 0$.

OK, c'est fini maintenant. Le problème est résolu.

Réponse : $x\in \left[ -\frac(1)(3);3 \right]$.

Tâche. Résoudre l'inégalité :

\[\gauche| ((x)^(2))+x+1 \right|\le \left| ((x)^(2))+3x+4 \droite|\]

Solution. Nous faisons tout pareil. Je ne ferai pas de commentaire - regardez simplement la séquence d'actions.

Mettez-le au carré :

\[\begin(align) & ((\left(\left| ((x)^(2))+x+1 \right| \right))^(2))\le ((\left(\left | ((x)^(2))+3x+4 \droite|\droite))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \right))^(2))\le ((\left(((x)^(2))+3x+4 \right))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \right))^(2))-((\left(((x)^(2))+3x+4 \ à droite))^(2))\le 0; \\ & \left(((x)^(2))+x+1-((x)^(2))-3x-4 \right)\times \\ & \times \left(((x) ^(2))+x+1+((x)^(2))+3x+4 \right)\le 0; \\ & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)\le 0. \\\end(align)\]

Méthode d'intervalle :

\[\begin(align) & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)=0 \\ & -2x-3=0\ Flèche droite x=-1,5 ; \\ & 2((x)^(2))+4x+5=0\Rightarrow D=16-40 \lt 0\Rightarrow \varnothing . \\\fin (aligner)\]

Il n’y a qu’une seule racine sur la droite numérique :

La réponse est tout un intervalle

Réponse : $x\in \left[ -1.5;+\infty \right)$.

Une petite note sur la dernière tâche. Comme l'un de mes étudiants l'a noté avec précision, les deux expressions sous-modulaires de cette inégalité sont évidemment positives, de sorte que le signe du module peut être omis sans nuire à la santé.

Mais il s’agit d’un niveau de pensée complètement différent et d’une approche différente - on peut conditionnellement l’appeler la méthode des conséquences. À ce sujet - dans une leçon séparée. Passons maintenant à la dernière partie de la leçon d’aujourd’hui et examinons un algorithme universel qui fonctionne toujours. Même lorsque toutes les approches précédentes étaient impuissantes :)

4. Méthode d'énumération des options

Et si toutes ces techniques n’aidaient pas ? Si l'inégalité ne peut être réduite à des queues non négatives, s'il est impossible d'isoler le module, si en général il y a de la douleur, de la tristesse, de la mélancolie ?

C’est alors que « l’artillerie lourde » de toutes les mathématiques entre en scène : la méthode de la force brute. Par rapport aux inégalités de module, cela ressemble à ceci :

  1. Écrivez toutes les expressions sous-modulaires et définissez-les égales à zéro ;
  2. Résolvez les équations résultantes et marquez les racines trouvées sur une droite numérique ;
  3. La ligne droite sera divisée en plusieurs sections, à l'intérieur desquelles chaque module aura un signe fixe et sera donc révélé de manière unique ;
  4. Résolvez l'inégalité sur chacune de ces sections (vous pouvez considérer séparément les racines-limites obtenues à l'étape 2 - pour plus de fiabilité). Combinez les résultats - ce sera la réponse :)

Alors comment ? Faible? Facilement! Seulement pour longtemps. Voyons en pratique :

Tâche. Résoudre l'inégalité :

\[\gauche| x+2 \droite| \lt \gauche| x-1 \right|+x-\frac(3)(2)\]

Solution. Cette merde ne se résume pas à des inégalités comme $\left| f\droit| \lt g$, $\gauche| f\droit| \gt g$ ou $\left| f\droit| \lt \gauche| g \right|$, donc nous agissons en avant.

Nous écrivons des expressions sous-modulaires, les assimilons à zéro et trouvons les racines :

\[\begin(align) & x+2=0\Rightarrow x=-2; \\ & x-1=0\Flèche droite x=1. \\\fin (aligner)\]

Au total, nous avons deux racines qui divisent la droite numérique en trois sections, au sein desquelles chaque module se révèle de manière unique :

Partitionnement de la droite numérique par des zéros de fonctions sous-modulaires

Examinons chaque section séparément.

1. Soit $x \lt -2$. Alors les deux expressions sous-modulaires sont négatives et l’inégalité d’origine sera réécrite comme suit :

\[\begin(align) & -\left(x+2 \right) \lt -\left(x-1 \right)+x-1.5 \\ & -x-2 \lt -x+1+ x- 1.5 \\ & x \gt 1.5 \\\end(align)\]

Nous avons une limitation assez simple. Recoupons-le avec l'hypothèse initiale selon laquelle $x \lt -2$ :

\[\left\( \begin(align) & x \lt -2 \\ & x \gt 1.5 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]

Évidemment, la variable $x$ ne peut pas être simultanément inférieure à −2 et supérieure à 1,5. Il n'y a pas de solutions dans ce domaine.

1.1. Considérons séparément le cas limite : $x=-2$. Remplaçons simplement ce nombre dans l'inégalité d'origine et vérifions : est-ce vrai ?

\[\begin(align) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1.5 \right|)_(x=-2) ) \ \ & 0 \lt \gauche| -3\droite|-2-1.5; \\ & 0 \lt 3-3.5; \\ & 0 \lt -0.5\Rightarrow \varnothing . \\\fin (aligner)\]

Il est évident que l’enchaînement des calculs nous a conduit à une inégalité incorrecte. Par conséquent, l'inégalité d'origine est également fausse et $x=-2$ n'est pas inclus dans la réponse.

2. Soit maintenant $-2 \lt x \lt 1$. Le module de gauche s'ouvrira déjà avec un « plus », mais celui de droite s'ouvrira toujours avec un « moins ». Nous avons:

\[\begin(align) & x+2 \lt -\left(x-1 \right)+x-1.5 \\ & x+2 \lt -x+1+x-1.5 \\& x \lt - 2.5 \\\fin(aligner)\]

Encore une fois, nous rejoignons l’exigence initiale :

\[\left\( \begin(align) & x \lt -2.5 \\ & -2 \lt x \lt 1 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]

Et encore une fois, l’ensemble des solutions est vide, puisqu’il n’existe pas de nombres à la fois inférieurs à −2,5 et supérieurs à −2.

2.1. Et encore un cas particulier : $x=1$. On substitue à l'inégalité originelle :

\[\begin(align) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1.5 \right|)_(x=1)) \\ & \gauche| 3\droite| \lt \gauche| 0 \right|+1-1.5; \\ & 3 \lt -0,5 ; \\ & 3 \lt -0.5\Rightarrow \varnothing . \\\fin (aligner)\]

Semblable au « cas particulier » précédent, le nombre $x=1$ n'est clairement pas inclus dans la réponse.

3. Le dernier morceau de la ligne : $x \gt 1$. Ici, tous les modules sont ouverts avec un signe plus :

\[\begin(align) & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x \gt 4.5 \\ \end(align)\ ]

Et encore une fois, nous croisons l'ensemble trouvé avec la contrainte d'origine :

\[\left\( \begin(align) & x \gt 4.5 \\ & x \gt 1 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \left(4.5;+\infty \right)\ ]

Enfin! Nous avons trouvé un intervalle qui sera la réponse.

Réponse : $x\in \left(4.5;+\infty \right)$

Enfin, une remarque qui peut vous éviter des erreurs stupides lors de la résolution de vrais problèmes :

Les solutions aux inégalités avec modules représentent généralement des ensembles continus sur la droite numérique - intervalles et segments. Les points isolés sont beaucoup moins fréquents. Et encore moins souvent, il arrive que la limite de la solution (la fin du segment) coïncide avec la limite de la plage considérée.

Par conséquent, si les limites (les mêmes « cas particuliers ») ne sont pas incluses dans la réponse, alors les zones situées à gauche et à droite de ces limites ne seront presque certainement pas incluses dans la réponse. Et vice versa : la frontière est entrée dans la réponse, ce qui signifie que certaines zones autour d'elle seront également des réponses.

Gardez cela à l’esprit lorsque vous examinez vos solutions.

Établissement d'enseignement municipal "Khvastovichskaya" lycée»

"La méthode des intervalles pour résoudre des équations et des inégalités avec plusieurs modules"

Mémoire de recherche en mathématiques

Effectué :

élève de 10ème année

Golysheva Evgenia

Superviseur:

professeur de mathématiques

Shapenskaya E.N.

Introduction……………………………………………………………………………………… … ….3 Chapitre 1. Méthodes de résolution de problèmes avec plusieurs modules…… …………… …............4 1.1.Définition d'un module. Solution par définition.........4 1.2 Résolution d'équations à modules multiples à l'aide de la méthode des intervalles......5 1.3 . Problèmes avec plusieurs modules. Méthodes de résolution……………………………....7 1.4. Méthode des intervalles dans les problèmes avec modules…………………………………………....9 Chapitre 2. Équations et inégalités contenant des modules………………………….… .11 2.1 Résolution d'équations à plusieurs modules par la méthode des intervalles..….11 2.2 Résolution d'équations à plusieurs modules par la méthode des intervalles.…13 Conclusion………………………………………………… … ………………………...15 Littérature……………………………………………………………………………….………. ….16

Introduction

La notion de valeur absolue est l'une des caractéristiques les plus importantes d'un nombre, tant dans le domaine des nombres réels que complexes. Ce concept est largement utilisé non seulement dans diverses sections cours scolaire mathématiques, mais aussi dans les cours supérieurs de mathématiques, de physique et de sciences techniques étudiés dans les universités. Les problèmes liés aux valeurs absolues se retrouvent souvent dans les Olympiades de mathématiques, les examens d'entrée à l'université et l'examen d'État unifié.

Sujet:"La méthode des intervalles pour résoudre des équations et des inégalités avec plusieurs modules par la méthode des intervalles."

Domaine objectif : mathématiques.

Objet d'étude : résoudre des équations et des inégalités avec module.

Sujet d'étude: méthode d'intervalle pour résoudre avec plusieurs modules.

But de l'étude: identifier l'efficacité de la résolution d'équations et d'inégalités avec plusieurs modules en utilisant la méthode des intervalles.

Hypothèse: Si vous utilisez la méthode des intervalles pour résoudre des inégalités et des équations avec plusieurs modules, vous pouvez considérablement simplifier votre travail.

Les méthodes de travail: la collecte d'informations et leur analyse.

Tâches:

    Étudiez la littérature sur ce sujet.

    Envisagez des solutions aux inégalités et aux équations avec plusieurs modules.

    Identifiez le plus méthode efficace solutions.

Axe pratique du projet :

Ce travail peut être utilisé comme aide pédagogique pour les étudiants et manuel méthodologique pour le professeur.

Chapitre 1.

1.1.Définition d'un module. Solution par définition.

Par définition, le module, ou valeur absolue, d'un nombre non négatif a coïncide avec le nombre lui-même, et le module d'un nombre négatif est égal au nombre opposé, c'est-à-dire a :

Le module d'un nombre est toujours non négatif. Regardons des exemples.

Exemple 1. Résoudre l'équation |–x| = –3.

Il n’est pas nécessaire d’analyser des cas ici, car la valeur absolue d’un nombre est toujours non négative, ce qui signifie que cette équation n’a pas de solution.

Écrivons la solution de ces équations les plus simples dans vue générale:

Exemple 2. Résoudre l'équation |x| = 2 – x.

Solution. En x 0 nous avons l'équation x = 2 – x, c'est-à-dire x = 1. Puisque 1 0, x = 1 est la racine de l'équation originale. Dans le deuxième cas (x

Réponse : x = 1.

Exemple 3. Résolvez l'équation 3|x – 3| + x = –1.

Solution. Ici, la division en cas est déterminée par le signe de l'expression x – 3. Pour x – 3 ³ 0 nous avons 3x – 9 + x = –1 Û x = 2. Mais 2 – 3 0.

Réponse : l'équation n'a pas de racines.

Exemple 4. Résoudre l'équation |x – 1| = 1 – x.

Solution. Puisque 1 – x = – (x – 1), il résulte directement de la définition du module que l'équation est satisfaite par ceux et seulement ceux x pour lesquels x – 1 0. Cette équation a été réduite à une inégalité, et le la réponse est l’intervalle entier (rayon).

Réponse : x1.

1.2. Résolution d'équations avec module à l'aide de systèmes.

Les exemples évoqués précédemment nous permettent de formuler des règles pour éliminer le signe du module dans les équations. Pour les équations de la forme |f(x)| = g(x) il existe deux règles de ce type :

1ère règle : |f(x)| = g(x) Û (1)
2ème règle : |f(x)| = g(x) Û (2)

Expliquons la notation utilisée ici. Les accolades représentent les systèmes et les crochets représentent les agrégats.

Les solutions d'un système d'équations sont des valeurs d'une variable qui satisfont simultanément toutes les équations du système.

Les solutions d'un ensemble d'équations sont toutes les valeurs d'une variable dont chacune est la racine d'au moins une des équations de l'ensemble.

Deux équations sont équivalentes si une solution de chacune d’elles est également une solution de l’autre, c’est-à-dire si les ensembles de leurs solutions coïncident.

Si l'équation contient plusieurs modules, vous pouvez alors vous en débarrasser un par un, en utilisant les règles données. Mais généralement il y en a plus raccourcis. Nous les connaîtrons plus tard, mais regardons maintenant la résolution de la plus simple de ces équations :

|f(x)| = |g(x)| Û

Cette équivalence découle du fait évident que si les valeurs absolues de deux nombres sont égales, alors les nombres eux-mêmes sont soit égaux, soit opposés.

Exemple 1. Résoudre l'équation |x 2 – 7x + 11| = x + 1.
Solution. Débarrassons-nous du module de deux manières décrites ci-dessus :

1ère voie : 2ème voie :

Comme on le voit, dans les deux cas nous devons résoudre les deux mêmes équations quadratiques, mais dans le premier cas elles sont accompagnées de inégalités quadratiques, et dans le second – linéaire. Par conséquent, la deuxième méthode pour équation donnée Plus facile. En résolvant des équations quadratiques, nous trouvons les racines de la première, les deux racines satisfont l'inégalité. Le discriminant de la deuxième équation est négatif, donc l’équation n’a pas de racine.

Répondre: .
Exemple 2. Résoudre l'équation |x 2 – x – 6| = |2x 2 + x – 1|.

Solution. On sait déjà qu'il n'est pas nécessaire ici de considérer (jusqu'à 4) variantes de distribution des signes d'expressions sous modules : cette équation équivaut à un ensemble de deux équations quadratiques sans inégalités supplémentaires : Ce qui équivaut à : Le la première équation de l'ensemble des solutions n'a pas (son discriminant est négatif), la seconde l'équation a deux racines.

1.3. Problèmes avec plusieurs modules. Méthodes de résolution.

Extension séquentielle des modules.

Il existe deux approches principales pour résoudre des équations et des inégalités contenant plusieurs modules. On peut les appeler « série » et « parallèle ». Faisons maintenant connaissance avec le premier d'entre eux.

Son idée est que le premier des modules est isolé dans une partie de l’équation (ou inégalité) et est révélé à l’aide de l’une des méthodes décrites précédemment. Ensuite, la même chose est répétée avec chacune des équations résultantes avec des modules et ainsi de suite jusqu'à ce que nous nous débarrassions de tous les modules.

Exemple 1. Résolvez l'équation: +

Solution. Isolons le deuxième module et développons-le en utilisant la première méthode, c'est-à-dire en déterminant simplement la valeur absolue :

Aux deux équations résultantes, nous appliquons la deuxième méthode de suppression du module :

Finalement, nous résolvons les quatre résultats équations linéaires et sélectionnez les racines qui satisfont les inégalités correspondantes. De ce fait, il ne reste que deux valeurs : x = –1 et .

Réponse 1; .

Extension parallèle des modules.

Vous pouvez supprimer tous les modules d'une équation ou d'une inégalité à la fois et noter toutes les combinaisons possibles de signes d'expressions sous-modulaires. S'il y a n modules dans l'équation, alors il y aura 2 n options, car chacune des n expressions sous le module, lors de la suppression du module, peut recevoir l'un des deux signes - plus ou moins. En principe, il faut résoudre l’ensemble des 2 n équations (ou inégalités), libérées des modules. Mais leurs solutions ne seront également des solutions au problème initial que si elles se situent dans des régions où l’équation correspondante (inégalité) coïncide avec celle d’origine. Ces zones sont définies par les signes des expressions sous les modules. Nous avons déjà résolu l’inégalité suivante, vous pouvez donc comparer différentes approches pour la résoudre.

Exemple 2.+
Solution.

Considérons 4 ensembles possibles de symboles pour les expressions sous modules.

Seules la première et la troisième de ces racines satisfont les inégalités correspondantes, et donc l'équation originale.

Réponse 1; .

De même, vous pouvez résoudre tous les problèmes avec plusieurs modules. Mais comme toute méthode universelle, cette solution n’est pas toujours optimale. Nous verrons ci-dessous comment cela peut être amélioré.

1.4. Méthode d'intervalle dans les problèmes avec les modules

En examinant de plus près les conditions qui définissent différentes variantes distribution des signes des expressions sous-modulaires dans la solution précédente, nous verrons que l’une d’entre elles, 1 – 3x

Imaginez que nous résolvons une équation qui comprend trois modules d'expressions linéaires ; par exemple, |x – a| + |x – b| + |x – c| = m.

Le premier module est égal à x – a pour x ³ a et a – x ​​​​pour x b et x

Ils forment quatre espaces. Sur chacun d'eux, chacune des expressions sous les modules conserve son signe, donc l'équation dans son ensemble après développement des modules a la même forme sur chaque intervalle. Ainsi, sur 8 options théoriquement possibles pour ouvrir des modules, seules 4 se sont avérées suffisantes pour nous !

Vous pouvez également résoudre n'importe quel problème avec plusieurs modules. À savoir, l'axe numérique est divisé en intervalles de signe constant de toutes les expressions sous les modules, puis sur chacun d'eux l'équation ou l'inégalité dans laquelle le problème donné se transforme sur cet intervalle est résolue. En particulier, si toutes les expressions sous les modules sont rationnelles, alors il suffit de marquer leurs racines sur l'axe, ainsi que les points où elles ne sont pas définies, c'est-à-dire les racines de leurs dénominateurs. Les points marqués définissent les intervalles requis de signe constant. Nous agissons exactement de la même manière lorsque nous résolvons des inégalités rationnelles à l'aide de la méthode des intervalles. Et la méthode que nous avons décrite pour résoudre les problèmes avec les modules porte le même nom.

Exemple 1. Résous l'équation.

Solution. Trouvons les zéros de la fonction, d'où. On résout le problème sur chaque intervalle :

Cette équation n’a donc pas de solutions.

Exemple 2. Résous l'équation.

Solution. Trouvons les zéros de la fonction. On résout le problème sur chaque intervalle :

1) (pas de solution) ;

Exemple 3. Résous l'équation.

Solution. Les expressions sous le signe de la valeur absolue disparaissent à . Il faut donc considérer trois cas :

2) - racine de l'équation ;

3) est la racine de cette équation.

Chapitre 2. Équations et inégalités contenant des modules.

2.1 Résolution d'équations à plusieurs modules par la méthode des intervalles.

Exemple 1.

Résous l'équation:

|x+2| = |x-1|+x-3

-(x+2) = -(x-1) + x-3

X-2=-x+1+x-3

x=2 – ne satisfait pas

état x

aucune solution

2. Si -2≤х

x+2 = -(x-1)+x-3

satisfait

état -2

3. Si x≥1, alors

Réponse : x=6

Exemple 2.

Résous l'équation:

1) Trouver les zéros des expressions sous-modulaires

Les zéros des expressions sous-modulaires divisent la droite numérique en plusieurs intervalles. Nous disposons les signes des expressions sous-modulaires sur ces intervalles.

A chaque intervalle, nous ouvrons les modules et résolvons l'équation résultante. Après avoir trouvé la racine, on vérifie qu'elle appartient à l'intervalle sur lequel on se trouve ce moment nous travaillons.

1. :

- convient.

2. :

– ne convient pas.

3. :

– s'adapte.

4. :

– ne convient pas. Répondre:

2.2 Résoudre des inégalités avec plusieurs modules en utilisant la méthode des intervalles.

Exemple 1.

Résoudre l'inégalité :

|x-1| + |x-3| 4


-(x-1) - (x-3) 4

2. Si 1≤х

x-1– (x-3) 4

24 n'est pas correct

aucune solution

3. Si x≥3, alors

Réponse : xЄ (-∞;0) U (4;+∞)

Exemple 2.

Résolvons les inégalités

Solution. Les points et (les racines des expressions sous le module) divisent l'ensemble de l'axe numérique en trois intervalles, à chacun desquels les modules doivent être développés.

1) Quand , et l'inégalité a la forme , c'est-à-dire . Dans ce cas, la réponse est .

2) Quand , l'inégalité a la forme , soit . Cette inégalité est vraie pour toutes les valeurs de la variable, et, compte tenu du fait que nous la résolvons sur l'ensemble, nous obtenons la réponse dans le second cas.

3) Lorsque , l'inégalité est transformée en , et la solution dans ce cas est . Décision commune inégalités --- Syndicat trois réponses reçues.

Ainsi, pour résoudre des équations et des inégalités contenant plusieurs modules, il convient d'utiliser la méthode des intervalles. Pour ce faire, vous devez trouver les zéros de toutes les fonctions sous-modulaires et les désigner sur l'ODZ des équations et des inégalités.

Conclusion

DANS Dernièrement En mathématiques, les méthodes sont largement utilisées pour simplifier la résolution de problèmes, notamment la méthode des intervalles, qui peut accélérer considérablement les calculs. Par conséquent, l'étude de la méthode des intervalles pour résoudre des équations et des inégalités avec plusieurs modules est pertinente.

En train de travailler sur le thème « Résolution d'équations et d'inégalités contenant une inconnue sous le signe du module à l'aide de la méthode des intervalles », j'ai : étudié la littérature sur ce problème, s'est familiarisé avec l'approche algébrique et graphique de la résolution d'équations et d'inégalités contenant une inconnue sous le signe du module, et est arrivé à la conclusion :

    Dans certains cas, lors de la résolution d'équations avec un module, il est possible de résoudre les équations selon les règles, et parfois il est plus pratique d'utiliser la méthode des intervalles.

    Lors de la résolution d’équations et d’inégalités contenant un module, la méthode des intervalles est plus visuelle et comparativement plus simple.

Pendant l'écriture travail de recherche J'ai découvert de nombreux problèmes qui peuvent être résolus en utilisant la méthode des intervalles. La plupart tâche importante est la solution d'équations et d'inégalités avec plusieurs modules.

Au cours de mes travaux sur la résolution d'inéquations et d'équations avec plusieurs modules en utilisant la méthode des intervalles, j'ai constaté que la vitesse de résolution des problèmes doublait. Cela vous permet d'accélérer considérablement le processus de travail et de réduire les coûts de temps. Ainsi, mon hypothèse « si vous utilisez la méthode des intervalles pour résoudre des inégalités et des équations à plusieurs modules, vous pouvez considérablement simplifier votre travail » a été confirmée. En travaillant sur la recherche, j'ai acquis de l'expérience dans la résolution d'équations et d'inégalités avec plusieurs modules. Je pense que les connaissances que j'ai acquises me permettront d'éviter les erreurs lors de la prise de décisions.

Littérature

    http://padabum.com

  1. http://yukhym.com

    http://www.tutoronline.ru

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