Εξίσωση παραβολέςείναι τετραγωνική συνάρτηση. Υπάρχουν πολλές επιλογές για την κατασκευή αυτής της εξίσωσης. Όλα εξαρτώνται από τις παραμέτρους που παρουσιάζονται στη δήλωση προβλήματος.

Οδηγίες

Η παραβολή είναι μια καμπύλη που μοιάζει με τόξο στο σχήμα της και είναι γραφική παράσταση λειτουργία ισχύος. Ανεξάρτητα από τα χαρακτηριστικά μιας παραβολής, αυτή είναι άρτια. Μια τέτοια συνάρτηση ονομάζεται ζυγή για όλες τις τιμές του ορίσματος, όταν αλλάζει το πρόσημο του ορίσματος, η τιμή δεν αλλάζει: f (-x) = f (x) Ξεκινήστε με την απλούστερη συνάρτηση: y. = x^2. Από την εμφάνισή του μπορούμε να συμπεράνουμε ότι είναι και θετικό και αρνητικό αρνητικές τιμέςόρισμα x. Το σημείο στο οποίο x=0, και ταυτόχρονα, y =0 θεωρείται σημείο.

Παρακάτω είναι όλες οι κύριες επιλογές για την κατασκευή αυτής της λειτουργίας και της . Ως πρώτο παράδειγμα, παρακάτω θεωρούμε μια συνάρτηση της μορφής: f(x)=x^2+a, όπου το a είναι ακέραιος αριθμός Για να κατασκευάσουμε μια γραφική παράσταση αυτής της συνάρτησης, είναι απαραίτητο να μετατοπίσουμε τη γραφική παράσταση της συνάρτηση f(x) κατά μονάδες. Ένα παράδειγμα είναι η συνάρτηση y=x^2+3, όπου κατά μήκος του άξονα y η συνάρτηση μετατοπίζεται κατά δύο μονάδες. Εάν δοθεί μια συνάρτηση με το αντίθετο πρόσημο, για παράδειγμα y=x^2-3, τότε η γραφική παράσταση της μετατοπίζεται προς τα κάτω κατά μήκος του άξονα y.

Ένας άλλος τύπος συνάρτησης που μπορεί να δοθεί παραβολή είναι η f(x)=(x +a)^2. Σε τέτοιες περιπτώσεις, το γράφημα, αντίθετα, μετατοπίζεται κατά μήκος του άξονα της τετμημένης (άξονας x) κατά μονάδες. Για παράδειγμα, μπορούμε να εξετάσουμε τις συναρτήσεις: y=(x +4)^2 και y=(x-4)^2. Στην πρώτη περίπτωση, όπου υπάρχει μια συνάρτηση με σύμβολο συν, το γράφημα μετατοπίζεται κατά μήκος του άξονα x προς τα αριστερά και στη δεύτερη περίπτωση - προς τα δεξιά. Όλες αυτές οι περιπτώσεις φαίνονται στο σχήμα.

Εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από ένα δεδομένο σημείο στο προς αυτή την κατεύθυνση. Εξίσωση ευθείας που διέρχεται από δύο δεδομένα σημεία. Η γωνία μεταξύ δύο ευθειών. Η συνθήκη παραλληλισμού και καθετότητας δύο ευθειών. Προσδιορισμός του σημείου τομής δύο ευθειών

1. Εξίσωση ευθείας που διέρχεται από ένα δεδομένο σημείο ΕΝΑ(x 1 , y 1) σε μια δεδομένη κατεύθυνση, που καθορίζεται από την κλίση κ,

y - y 1 = κ(x - x 1). (1)

Αυτή η εξίσωση ορίζει ένα μολύβι γραμμών που διέρχονται από ένα σημείο ΕΝΑ(x 1 , y 1), το οποίο ονομάζεται κέντρο δέσμης.

2. Εξίσωση ευθείας που διέρχεται από δύο σημεία: ΕΝΑ(x 1 , y 1) και σι(x 2 , y 2), γράφεται ως εξής:

Ο γωνιακός συντελεστής μιας ευθείας που διέρχεται από δύο δεδομένα σημεία καθορίζεται από τον τύπο

3. Γωνία μεταξύ ευθειών ΕΝΑΚαι σιείναι η γωνία κατά την οποία πρέπει να περιστραφεί η πρώτη ευθεία ΕΝΑγύρω από το σημείο τομής αυτών των γραμμών αριστερόστροφα μέχρι να συμπέσει με τη δεύτερη γραμμή σι. Αν δίδονται δύο ευθείες με εξισώσεις με κλίση

y = κ 1 x + σι 1 ,

Ας δοθούν δύο βαθμοί M 1 (x 1, y 1)Και M 2 (x 2, y 2). Ας γράψουμε την εξίσωση της γραμμής στη μορφή (5), όπου κάγνωστος ακόμη συντελεστής:

Από το σημείο Μ 2ανήκει σε μια δεδομένη γραμμή, τότε οι συντεταγμένες της ικανοποιούν την εξίσωση (5): . Εκφράζοντας από εδώ και αντικαθιστώντας την στην εξίσωση (5), παίρνουμε την απαιτούμενη εξίσωση:

Αν αυτή η εξίσωση μπορεί να ξαναγραφτεί σε μια μορφή που είναι πιο βολική για απομνημόνευση:

(6)

Παράδειγμα.Να γράψετε την εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από τα σημεία M 1 (1,2) και M 2 (-2,3)

Διάλυμα. . Χρησιμοποιώντας την ιδιότητα της αναλογίας και πραγματοποιώντας τους απαραίτητους μετασχηματισμούς, παίρνουμε γενική εξίσωσηαπευθείας:

Γωνία μεταξύ δύο ευθειών

Εξετάστε δύο ευθείες γραμμές l 1Και l 2:

l 1: , , Και

l 2: , ,

φ είναι η γωνία μεταξύ τους (). Από το Σχ. 4 είναι σαφές: .

Από εδώ , ή

Χρησιμοποιώντας τον τύπο (7) μπορείτε να προσδιορίσετε μία από τις γωνίες μεταξύ των ευθειών. Η δεύτερη γωνία είναι ίση με .

Παράδειγμα. Δύο ευθείες δίδονται από τις εξισώσεις y=2x+3 και y=-3x+2. βρείτε τη γωνία μεταξύ αυτών των γραμμών.

Διάλυμα. Από τις εξισώσεις είναι σαφές ότι k 1 =2, και k 2 =-3. Αντικαθιστώντας αυτές τις τιμές στον τύπο (7), βρίσκουμε

. Έτσι, η γωνία μεταξύ αυτών των γραμμών είναι ίση με .

Προϋποθέσεις παραλληλισμού και καθετότητας δύο ευθειών

Αν ευθεία l 1Και l 2είναι παράλληλες, λοιπόν φ=0 Και tgφ=0. από τον τύπο (7) προκύπτει ότι , από όπου k 2 = k 1. Άρα, προϋπόθεση για τον παραλληλισμό δύο ευθειών είναι η ισότητα των γωνιακών συντελεστών τους.

Αν ευθεία l 1Και l 2είναι κάθετες, λοιπόν φ=π/2, α 2 = π/2+ α 1 . . Έτσι, η προϋπόθεση για την καθετότητα δύο ευθειών είναι οι γωνιακοί συντελεστές τους να είναι αντίστροφοι σε μέγεθος και αντίθετοι σε πρόσημο.

Απόσταση από σημείο σε γραμμή

Θεώρημα. Εάν δοθεί ένα σημείο M(x 0, y 0), τότε η απόσταση από την ευθεία Ax + Bу + C = 0 προσδιορίζεται ως

Απόδειξη. Έστω το σημείο M 1 (x 1, y 1) η βάση της καθέτου που έπεσε από το σημείο M σε μια δεδομένη ευθεία. Τότε η απόσταση μεταξύ των σημείων Μ και Μ 1:

Οι συντεταγμένες x 1 και y 1 μπορούν να βρεθούν λύνοντας το σύστημα των εξισώσεων:

Η δεύτερη εξίσωση του συστήματος είναι η εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από ένα δεδομένο σημείο M 0 κάθετο σε μια δεδομένη ευθεία.

Αν μετατρέψουμε την πρώτη εξίσωση του συστήματος στη μορφή:

A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

τότε, λύνοντας, παίρνουμε:

Αντικαθιστώντας αυτές τις εκφράσεις στην εξίσωση (1), βρίσκουμε:

Το θεώρημα είναι αποδεδειγμένο.

Παράδειγμα.Προσδιορίστε τη γωνία μεταξύ των ευθειών: y = -3x + 7; y = 2x + 1.

k1 = -3; k 2 = 2 tanj= ; j = p/4.

Παράδειγμα.Δείξτε ότι οι ευθείες 3x – 5y + 7 = 0 και 10x + 6y – 3 = 0 είναι κάθετες.

Βρίσκουμε: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1 k 2 = -1, επομένως, οι ευθείες είναι κάθετες.

Παράδειγμα.Δίνονται οι κορυφές του τριγώνου A(0; 1), B(6; 5), C(12; -1). Βρείτε την εξίσωση του ύψους που αντλείται από την κορυφή Γ.

Βρίσκουμε την εξίσωση της πλευράς ΑΒ: ; 4x = 6y – 6;

2x – 3y + 3 = 0;

Η απαιτούμενη εξίσωση ύψους έχει τη μορφή: Ax + By + C = 0 ή y = kx + b.

k= . Τότε y = . Επειδή το ύψος διέρχεται από το σημείο Γ, τότε οι συντεταγμένες του ικανοποιούν αυτή την εξίσωση: από όπου b = 17. Σύνολο: .

Απάντηση: 3x + 2y – 34 = 0.

Η απόσταση από ένα σημείο σε μια ευθεία καθορίζεται από το μήκος της καθέτου που σύρεται από το σημείο προς τη γραμμή.

Αν η ευθεία είναι παράλληλη στο επίπεδο προβολής (η | | P 1), τότε προκειμένου να προσδιοριστεί η απόσταση από το σημείο ΕΝΑσε ευθεία γραμμή ηείναι απαραίτητο να χαμηλώσετε μια κάθετο από ένα σημείο ΕΝΑπρος την οριζόντια η.

Ας εξετάσουμε περισσότερα σύνθετο παράδειγμα, όταν παίρνει η ευθεία γραμμή γενική θέση. Ας είναι απαραίτητο να προσδιοριστεί η απόσταση από ένα σημείο Μσε ευθεία γραμμή ΕΝΑγενική θέση.

Καθορισμός εργασίας αποστάσεις μεταξύ παράλληλων γραμμώνλύνεται παρόμοια με την προηγούμενη. Ένα σημείο λαμβάνεται σε μια ευθεία και μια κάθετη πέφτει από αυτήν σε μια άλλη ευθεία. Το μήκος μιας κάθετης είναι ίσο με την απόσταση μεταξύ των παράλληλων ευθειών.

Καμπύλη δεύτερης τάξηςείναι μια γραμμή που ορίζεται από μια εξίσωση δεύτερου βαθμού σε σχέση με τις τρέχουσες καρτεσιανές συντεταγμένες. Στη γενική περίπτωση, Ax 2 + 2Bxy + Su 2 + 2Dx + 2Ey + F = 0,

όπου A, B, C, D, E, F είναι πραγματικοί αριθμοί και τουλάχιστον ένας από τους αριθμούς A 2 + B 2 + C 2 ≠0.

Κύκλος

Κύκλος κέντρο– αυτός είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων στο επίπεδο που ισαπέχει από ένα σημείο του επιπέδου C(a,b).

Ο κύκλος δίνεται από την ακόλουθη εξίσωση:

Όπου x,y είναι οι συντεταγμένες ενός αυθαίρετου σημείου στον κύκλο, R είναι η ακτίνα του κύκλου.

Σημάδι της εξίσωσης ενός κύκλου

1. Λείπει ο όρος με x, y

2. Οι συντελεστές για x 2 και y 2 είναι ίσοι

Ελλειψη

Ελλειψηονομάζεται γεωμετρικός τόπος σημείων σε ένα επίπεδο, το άθροισμα των αποστάσεων καθενός από τα οποία από δύο δεδομένα σημεία αυτού του επιπέδου ονομάζεται εστίες (σταθερή τιμή).

Η κανονική εξίσωση της έλλειψης:

Το X και το y ανήκουν στην έλλειψη.

α – ημικύριος άξονας της έλλειψης

β – ημιμικρός άξονας της έλλειψης

Η έλλειψη έχει 2 άξονες συμμετρίας OX και OU. Οι άξονες συμμετρίας μιας έλλειψης είναι οι άξονές της, το σημείο τομής τους είναι το κέντρο της έλλειψης. Ο άξονας στον οποίο βρίσκονται οι εστίες ονομάζεται εστιακός άξονας. Το σημείο τομής της έλλειψης με τους άξονες είναι η κορυφή της έλλειψης.

Λόγος συμπίεσης (τάσης): ε = s/a– εκκεντρικότητα (χαρακτηρίζει το σχήμα της έλλειψης), όσο μικρότερη είναι, τόσο λιγότερο εκτείνεται η έλλειψη κατά μήκος του εστιακού άξονα.

Εάν τα κέντρα της έλλειψης δεν βρίσκονται στο κέντρο C(α, β)

Υπερβολή

Υπερβολήονομάζεται γεωμετρικός τόπος σημείων σε ένα επίπεδο, η απόλυτη τιμή της διαφοράς αποστάσεων, καθεμία από τις οποίες από δύο δεδομένα σημεία αυτού του επιπέδου, που ονομάζονται εστίες, είναι μια σταθερή τιμή διαφορετική από το μηδέν.

Κανονική εξίσωση υπερβολής

Μια υπερβολή έχει 2 άξονες συμμετρίας:

α – πραγματικός ημιάξονας συμμετρίας

β – νοητός ημιάξονας συμμετρίας

Ασύμπτωτες υπερβολής:

Παραβολή

Παραβολήείναι ο τόπος των σημείων στο επίπεδο που ισαπέχει από ένα δεδομένο σημείο F, που ονομάζεται εστία, και μια δεδομένη ευθεία, που ονομάζεται άμεσος άξονας.

Η κανονική εξίσωση μιας παραβολής:

У 2 =2рх, όπου р είναι η απόσταση από την εστία στην κατεύθυνση (παράμετρος παραβολής)

Αν η κορυφή της παραβολής είναι C (α, β), τότε η εξίσωση της παραβολής (y-β) 2 = 2р(x-α)

Αν ο εστιακός άξονας ληφθεί ως άξονας τεταγμένων, τότε η εξίσωση της παραβολής θα έχει τη μορφή: x 2 =2qу

Εξίσωση ευθείας γραμμής σε επίπεδο.
Το διάνυσμα κατεύθυνσης είναι ευθύ. Κανονικό διάνυσμα

Η ευθεία γραμμή σε ένα επίπεδο είναι από τις πιο απλές γεωμετρικά σχήματα, οικείο σε σας από τότε junior classes, και σήμερα θα μάθουμε πώς να το αντιμετωπίζουμε χρησιμοποιώντας τις μεθόδους της αναλυτικής γεωμετρίας. Για να κυριαρχήσετε το υλικό, πρέπει να είστε σε θέση να δημιουργήσετε μια ευθεία γραμμή. ξέρετε ποια εξίσωση ορίζει μια ευθεία γραμμή, συγκεκριμένα μια ευθεία που διέρχεται από την αρχή των συντεταγμένων και τις ευθείες γραμμές παράλληλες προς τους άξονες συντεταγμένων. Αυτές οι πληροφορίεςμπορεί να βρεθεί στο εγχειρίδιο Γραφήματα και ιδιότητες στοιχειωδών συναρτήσεων, το δημιούργησα για τον Mathan, αλλά η ενότητα σχετικά με τη γραμμική συνάρτηση αποδείχθηκε πολύ επιτυχημένη και λεπτομερής. Γι' αυτό, αγαπητοί τσαγιέρες, ζεσταθείτε πρώτα εκεί. Επιπλέον, πρέπει να έχετε βασικές γνώσεις για φορείς, διαφορετικά η κατανόηση του υλικού θα είναι ελλιπής.

Επί αυτό το μάθημαΘα εξετάσουμε τρόπους με τους οποίους μπορείτε να δημιουργήσετε μια εξίσωση ευθείας γραμμής σε ένα επίπεδο. Συνιστώ να μην αμελήσετε πρακτικά παραδείγματα (ακόμα και αν φαίνονται πολύ απλά), αφού θα τους παρέχω στοιχειώδη και σημαντικά γεγονότα, τεχνικές μεθόδους, που θα απαιτηθούν στο μέλλον, συμπεριλαμβανομένων και άλλων τμημάτων ανώτερων μαθηματικών.

• Πώς να γράψετε μια εξίσωση ευθείας με συντελεστή γωνίας;
• Πώς;
• Πώς να βρείτε ένα διάνυσμα κατεύθυνσης χρησιμοποιώντας τη γενική εξίσωση μιας ευθείας γραμμής;
• Πώς να γράψετε μια εξίσωση μιας ευθείας με ένα σημείο και ένα κανονικό διάνυσμα;

και ξεκινάμε:

Εξίσωση ευθείας με κλίση

Η γνωστή «σχολική» μορφή της ευθείας εξίσωσης ονομάζεται εξίσωση ευθείας με κλίση. Για παράδειγμα, εάν μια ευθεία δίνεται από την εξίσωση, τότε είναι κλίση: . Ας αναλογιστούμε γεωμετρική σημασίααυτού του συντελεστή και πώς η τιμή του επηρεάζει τη θέση της γραμμής:

Σε ένα μάθημα γεωμετρίας αποδεικνύεται ότι η κλίση της ευθείας είναι ίση με εφαπτομένη της γωνίαςμεταξύ θετικής κατεύθυνσης άξονακαι αυτή η γραμμή: , και η γωνία «ξεβιδώνει» αριστερόστροφα.

Για να μην ακατασταθεί το σχέδιο, σχεδίασα γωνίες μόνο για δύο ευθείες γραμμές. Ας εξετάσουμε την «κόκκινη» γραμμή και την κλίση της. Σύμφωνα με τα παραπάνω: (η γωνία «άλφα» υποδεικνύεται με πράσινο τόξο). Για τη «μπλε» ευθεία με τον συντελεστή γωνίας, η ισότητα είναι αληθής (η γωνία «βήτα» υποδεικνύεται με ένα καφέ τόξο). Και αν η εφαπτομένη της γωνίας είναι γνωστή, τότε αν χρειαστεί είναι εύκολο να βρεθεί και η ίδια η γωνίαμε τη χρήση αντίστροφη συνάρτηση– τολμηρός. Όπως λένε, ένα τριγωνομετρικό τραπέζι ή μια μικροαριθμομηχανή στα χέρια σας. Ετσι, ο γωνιακός συντελεστής χαρακτηρίζει τον βαθμό κλίσης της ευθείας προς τον άξονα της τετμημένης.

Είναι δυνατές οι ακόλουθες περιπτώσεις:

1) Εάν η κλίση είναι αρνητική: τότε η γραμμή, χονδρικά μιλώντας, πηγαίνει από πάνω προς τα κάτω. Παραδείγματα είναι οι ευθείες γραμμές "μπλε" και "βατόμουρο" στο σχέδιο.

2) Εάν η κλίση είναι θετική: τότε η γραμμή πηγαίνει από κάτω προς τα πάνω. Παραδείγματα - "μαύρες" και "κόκκινες" ευθείες στο σχέδιο.

3) Αν η κλίση είναι μηδέν: , τότε η εξίσωση παίρνει τη μορφή , και η αντίστοιχη ευθεία είναι παράλληλη προς τον άξονα. Ένα παράδειγμα είναι η «κίτρινη» ευθεία γραμμή.

4) Για μια οικογένεια γραμμών παράλληλων σε έναν άξονα (δεν υπάρχει παράδειγμα στο σχέδιο, εκτός από τον ίδιο τον άξονα), ο γωνιακός συντελεστής δεν υπάρχει (η εφαπτομένη των 90 μοιρών δεν ορίζεται).

Όσο μεγαλύτερος είναι ο συντελεστής κλίσης σε απόλυτη τιμή, τόσο πιο απότομο γίνεται το ευθύγραμμο γράφημα..

Για παράδειγμα, σκεφτείτε δύο ευθείες γραμμές. Εδώ, λοιπόν, η ευθεία έχει μεγαλύτερη κλίση. Επιτρέψτε μου να σας υπενθυμίσω ότι η ενότητα σας επιτρέπει να αγνοήσετε το σημάδι, μόνο μας ενδιαφέρει απόλυτες τιμέςγωνιακούς συντελεστές.

Με τη σειρά του, μια ευθεία είναι πιο απότομη από τις ευθείες .

Αντίθετα: όσο μικρότερος είναι ο συντελεστής κλίσης σε απόλυτη τιμή, τόσο πιο επίπεδη είναι η ευθεία.

Για ευθείες γραμμές η ανισότητα είναι αληθινή, άρα η ευθεία είναι πιο επίπεδη. Παιδική τσουλήθρα, για να μην προκαλέσετε μελανιές και χτυπήματα.

Γιατί είναι απαραίτητο αυτό;

Παρατείνετε το μαρτύριο σας Η γνώση των παραπάνω γεγονότων σάς επιτρέπει να δείτε αμέσως τα λάθη σας, ιδίως τα λάθη κατά την κατασκευή γραφημάτων - εάν το σχέδιο αποδειχθεί ότι "προφανώς κάτι δεν πάει καλά". Συνιστάται να αμέσωςήταν σαφές ότι, για παράδειγμα, η ευθεία είναι πολύ απότομη και πηγαίνει από κάτω προς τα πάνω, και η ευθεία είναι πολύ επίπεδη, πιέζεται κοντά στον άξονα και πηγαίνει από πάνω προς τα κάτω.

Σε γεωμετρικά προβλήματα, εμφανίζονται συχνά πολλές ευθείες γραμμές, επομένως είναι βολικό να τις ορίσετε με κάποιο τρόπο.

Ονομασίες: Οι ευθείες γραμμές χαρακτηρίζονται με μικρά λατινικά γράμματα: . Μια δημοφιλής επιλογή είναι να τα ορίσετε χρησιμοποιώντας το ίδιο γράμμα με φυσικούς δείκτες. Για παράδειγμα, οι πέντε γραμμές που μόλις εξετάσαμε μπορούν να υποδηλωθούν με .

Δεδομένου ότι οποιαδήποτε ευθεία προσδιορίζεται μοναδικά από δύο σημεία, μπορεί να συμβολιστεί με αυτά τα σημεία: και τα λοιπά. Ο προσδιορισμός υποδηλώνει ξεκάθαρα ότι τα σημεία ανήκουν στη γραμμή.

Ήρθε η ώρα να ζεσταθούμε λίγο:

Πώς να γράψετε μια εξίσωση ευθείας με συντελεστή γωνίας;

Εάν ένα σημείο που ανήκει σε μια συγκεκριμένη ευθεία και ο γωνιακός συντελεστής αυτής της ευθείας είναι γνωστό, τότε η εξίσωση αυτής της ευθείας εκφράζεται με τον τύπο:

Παράδειγμα 1

Να γράψετε μια εξίσωση ευθείας με γωνιακό συντελεστή αν είναι γνωστό ότι το σημείο ανήκει σε αυτή την ευθεία.

Διάλυμα: Ας συνθέσουμε την εξίσωση της ευθείας χρησιμοποιώντας τον τύπο . ΣΕ σε αυτή την περίπτωση:

Απάντηση:

Εξέτασηγίνεται απλά. Αρχικά, κοιτάμε την εξίσωση που προκύπτει και βεβαιωνόμαστε ότι η κλίση μας είναι στη θέση του. Δεύτερον, οι συντεταγμένες του σημείου πρέπει να ικανοποιούν αυτήν την εξίσωση. Ας τα συνδέσουμε στην εξίσωση:

Λαμβάνεται η σωστή ισότητα, που σημαίνει ότι το σημείο ικανοποιεί την εξίσωση που προκύπτει.

Σύναψη: Η εξίσωση βρέθηκε σωστά.

Ένα πιο δύσκολο παράδειγμα για να λύσετε μόνοι σας:

Παράδειγμα 2

Γράψτε μια εξίσωση για μια ευθεία γραμμή αν είναι γνωστό ότι η γωνία κλίσης της ως προς τη θετική κατεύθυνση του άξονα είναι , και το σημείο ανήκει σε αυτή την ευθεία.

Εάν αντιμετωπίζετε δυσκολίες, διαβάστε ξανά το θεωρητικό υλικό. Πιο συγκεκριμένα, πιο πρακτικό, παραλείπω πολλά στοιχεία.

Χτύπησε τελευταία κλήση, το πάρτι αποφοίτησης έχει σβήσει και έξω από τις πύλες του σχολείου μας, μας περιμένει η ίδια η αναλυτική γεωμετρία. Τελείωσαν τα αστεία... Ή ίσως μόλις ξεκινούν =)

Κουνάμε νοσταλγικά το στυλό μας στα γνωστά και εξοικειωνόμαστε με τη γενική εξίσωση της ευθείας γραμμής. Επειδή στην αναλυτική γεωμετρία αυτό ακριβώς χρησιμοποιείται:

Η γενική εξίσωση μιας ευθείας έχει τη μορφή: , όπου υπάρχουν μερικοί αριθμοί. Παράλληλα οι συντελεστές ταυτοχρόνωςδεν είναι ίσα με μηδέν, αφού η εξίσωση χάνει το νόημά της.

Ας ντυθούμε με κοστούμι και ας δέσουμε την εξίσωση με τον συντελεστή κλίσης. Αρχικά, ας μετακινήσουμε όλους τους όρους στην αριστερή πλευρά:

Ο όρος με "Χ" πρέπει να τεθεί στην πρώτη θέση:

Κατ 'αρχήν, η εξίσωση έχει ήδη τη μορφή , αλλά σύμφωνα με τους κανόνες της μαθηματικής εθιμοτυπίας, ο συντελεστής του πρώτου όρου (στην περίπτωση αυτή) πρέπει να είναι θετικός. Αλλαγή πινακίδων:

Θυμηθείτε αυτό το τεχνικό χαρακτηριστικό!Τον πρώτο συντελεστή τον κάνουμε (τις περισσότερες φορές) θετικό!

Στην αναλυτική γεωμετρία, η εξίσωση μιας ευθείας θα δίνεται σχεδόν πάντα γενική μορφή. Λοιπόν, εάν είναι απαραίτητο, μπορεί εύκολα να μειωθεί στη μορφή "σχολείου" με γωνιακό συντελεστή (με εξαίρεση τις ευθείες γραμμές παράλληλες στον άξονα τεταγμένων).

Ας αναρωτηθούμε τι αρκετάξέρετε να κατασκευάσετε μια ευθεία γραμμή; Δύο σημεία. Αλλά περισσότερα σχετικά με αυτό το περιστατικό της παιδικής ηλικίας είναι πλέον ο κανόνας με τα βέλη. Κάθε ευθεία έχει μια πολύ συγκεκριμένη κλίση, στην οποία είναι εύκολο να «προσαρμόζεται». διάνυσμα.

Ένα διάνυσμα που είναι παράλληλο σε μια ευθεία ονομάζεται διάνυσμα κατεύθυνσης αυτής της ευθείας. Είναι προφανές ότι κάθε ευθεία γραμμή έχει άπειρο αριθμό διανυσμάτων κατεύθυνσης και όλα θα είναι συγγραμμικά (συμκατευθυντικά ή όχι - δεν έχει σημασία).

Θα συμβολίσω το διάνυσμα κατεύθυνσης ως εξής: .

Αλλά ένα διάνυσμα δεν αρκεί για την κατασκευή μιας ευθείας γραμμής, το διάνυσμα είναι ελεύθερο και δεν συνδέεται με κανένα σημείο του επιπέδου. Επομένως, είναι επιπλέον απαραίτητο να γνωρίζουμε κάποιο σημείο που ανήκει στη γραμμή.

Πώς να γράψετε μια εξίσωση ευθείας χρησιμοποιώντας ένα σημείο και ένα διάνυσμα κατεύθυνσης;

Εάν ένα ορισμένο σημείο που ανήκει σε μια γραμμή και το διάνυσμα κατεύθυνσης αυτής της γραμμής είναι γνωστό, τότε η εξίσωση αυτής της γραμμής μπορεί να συνταχθεί χρησιμοποιώντας τον τύπο:

Μερικές φορές ονομάζεται κανονική εξίσωση της γραμμής .

Τι να κάνετε πότε μία από τις συντεταγμένεςισούται με μηδέν, θα καταλάβουμε σε πρακτικά παραδείγματα παρακάτω. Παρεμπιπτόντως, σημειώστε - και τα δύο ταυτόχροναοι συντεταγμένες δεν μπορούν να είναι ίσες με μηδέν, αφού το μηδενικό διάνυσμα δεν καθορίζει μια συγκεκριμένη κατεύθυνση.

Παράδειγμα 3

Γράψτε μια εξίσωση για μια ευθεία χρησιμοποιώντας ένα σημείο και ένα διάνυσμα κατεύθυνσης

Διάλυμα: Ας συνθέσουμε την εξίσωση μιας ευθείας χρησιμοποιώντας τον τύπο. Σε αυτή την περίπτωση:

Χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες της αναλογίας απαλλαγούμε από τα κλάσματα:

Και φέρνουμε την εξίσωση στο γενική εμφάνιση:

Απάντηση:

Κατά κανόνα, δεν χρειάζεται να κάνετε ένα σχέδιο σε τέτοια παραδείγματα, αλλά για λόγους κατανόησης:

Στο σχέδιο βλέπουμε το σημείο εκκίνησης, το αρχικό διάνυσμα κατεύθυνσης (μπορεί να αποτυπωθεί από οποιοδήποτε σημείο του επιπέδου) και την κατασκευασμένη ευθεία. Παρεμπιπτόντως, σε πολλές περιπτώσεις είναι πιο βολικό να κατασκευάσετε μια ευθεία γραμμή χρησιμοποιώντας μια εξίσωση με γωνιακό συντελεστή. Είναι εύκολο να μετατρέψουμε την εξίσωσή μας σε μορφή και να επιλέξουμε εύκολα ένα άλλο σημείο για να κατασκευάσουμε μια ευθεία γραμμή.

Όπως σημειώθηκε στην αρχή της παραγράφου, μια ευθεία έχει άπειρα διανύσματα κατεύθυνσης και όλα είναι συγγραμμικά. Για παράδειγμα, σχεδίασα τρία τέτοια διανύσματα: . Όποιο διάνυσμα κατεύθυνσης κι αν επιλέξουμε, το αποτέλεσμα θα είναι πάντα η ίδια ευθύγραμμη εξίσωση.

Ας δημιουργήσουμε μια εξίσωση ευθείας χρησιμοποιώντας ένα σημείο και ένα διάνυσμα κατεύθυνσης:

Επίλυση της αναλογίας:

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με -2 και λάβετε τη γνωστή εξίσωση:

Οι ενδιαφερόμενοι μπορούν να δοκιμάσουν διανύσματα με τον ίδιο τρόπο ή οποιοδήποτε άλλο συγγραμμικό διάνυσμα.

Τώρα ας λύσουμε το αντίστροφο πρόβλημα:

Πώς να βρείτε ένα διάνυσμα κατεύθυνσης χρησιμοποιώντας τη γενική εξίσωση μιας ευθείας γραμμής;

Πολύ απλό:

Εάν μια ευθεία δίνεται από μια γενική εξίσωση σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων, τότε το διάνυσμα είναι το διάνυσμα κατεύθυνσης αυτής της ευθείας.

Παραδείγματα εύρεσης διανυσμάτων κατεύθυνσης ευθειών:

Η πρόταση μας επιτρέπει να βρούμε μόνο ένα διάνυσμα κατεύθυνσης από έναν άπειρο αριθμό, αλλά δεν χρειαζόμαστε περισσότερα. Αν και σε ορισμένες περιπτώσεις είναι σκόπιμο να μειωθούν οι συντεταγμένες των διανυσμάτων κατεύθυνσης:

Έτσι, η εξίσωση καθορίζει μια ευθεία γραμμή που είναι παράλληλη προς τον άξονα και οι συντεταγμένες του προκύπτοντος διανύσματος κατεύθυνσης διαιρούνται εύκολα με –2, λαμβάνοντας ακριβώς το διάνυσμα βάσης ως διάνυσμα κατεύθυνσης. Λογικός.

Ομοίως, η εξίσωση καθορίζει μια ευθεία παράλληλη προς τον άξονα, και διαιρώντας τις συντεταγμένες του διανύσματος με το 5, λαμβάνουμε το μοναδιαίο διάνυσμα ως διάνυσμα κατεύθυνσης.

Τώρα ας το κάνουμε έλεγχος του παραδείγματος 3. Το παράδειγμα ανέβηκε, οπότε σας υπενθυμίζω ότι σε αυτό συντάξαμε την εξίσωση μιας ευθείας χρησιμοποιώντας ένα σημείο και ένα διάνυσμα κατεύθυνσης

Πρώτα, χρησιμοποιώντας την εξίσωση της ευθείας ανακατασκευάζουμε το διάνυσμα κατεύθυνσης της: – όλα είναι εντάξει, έχουμε λάβει το αρχικό διάνυσμα (σε ορισμένες περιπτώσεις το αποτέλεσμα μπορεί να είναι ένα συγγραμμικό διάνυσμα με το αρχικό, και αυτό είναι συνήθως εύκολο να το παρατηρήσετε από την αναλογικότητα των αντίστοιχων συντεταγμένων).

Δεύτερο, οι συντεταγμένες του σημείου πρέπει να ικανοποιούν την εξίσωση. Τα αντικαθιστούμε στην εξίσωση:

Επιτεύχθηκε η σωστή ισότητα, για την οποία χαιρόμαστε πολύ.

Σύναψη: Η εργασία ολοκληρώθηκε σωστά.

Παράδειγμα 4

Γράψτε μια εξίσωση για μια ευθεία χρησιμοποιώντας ένα σημείο και ένα διάνυσμα κατεύθυνσης

Αυτό είναι ένα παράδειγμα για να το λύσετε μόνοι σας. Η λύση και η απάντηση βρίσκονται στο τέλος του μαθήματος. Συνιστάται ιδιαίτερα να κάνετε έλεγχο χρησιμοποιώντας τον αλγόριθμο που μόλις συζητήθηκε. Προσπαθήστε να ελέγχετε πάντα (αν είναι δυνατόν) ένα πρόχειρο. Είναι ανόητο να κάνεις λάθη όπου μπορούν να αποφευχθούν 100%.

Στην περίπτωση που μία από τις συντεταγμένες του διανύσματος κατεύθυνσης είναι μηδέν, προχωρήστε πολύ απλά:

Παράδειγμα 5

Διάλυμα: Ο τύπος δεν είναι κατάλληλος αφού ο παρονομαστής στη δεξιά πλευρά είναι μηδέν. Υπάρχει διέξοδος! Χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες της αναλογίας, ξαναγράφουμε τον τύπο στη φόρμα και το υπόλοιπο κύλησε κατά μήκος μιας βαθιάς αυλάκωσης:

Απάντηση:

Εξέταση:

1) Επαναφέρετε το κατευθυντικό διάνυσμα της γραμμής:
– το διάνυσμα που προκύπτει είναι συγγραμμικό με το αρχικό διάνυσμα κατεύθυνσης.

2) Αντικαταστήστε τις συντεταγμένες του σημείου στην εξίσωση:

Λαμβάνεται η σωστή ισότητα

Σύναψη: εργασία ολοκληρώθηκε σωστά

Γεννιέται το ερώτημα, γιατί να ασχοληθείτε με τη φόρμουλα εάν υπάρχει μια καθολική έκδοση που θα λειτουργήσει σε κάθε περίπτωση; Υπάρχουν δύο λόγοι. Πρώτον, ο τύπος έχει τη μορφή κλάσματος πολύ καλύτερα θυμόμαστε. Και δεύτερον, το μειονέκτημα της καθολικής φόρμουλας είναι ότι ο κίνδυνος σύγχυσης αυξάνεται σημαντικάκατά την αντικατάσταση συντεταγμένων.

Παράδειγμα 6

Γράψτε μια εξίσωση για μια ευθεία χρησιμοποιώντας ένα σημείο και ένα διάνυσμα κατεύθυνσης.

Αυτό είναι ένα παράδειγμα για να το λύσετε μόνοι σας.

Ας επιστρέψουμε στα απανταχού δύο σημεία:

Πώς να γράψετε μια εξίσωση ευθείας χρησιμοποιώντας δύο σημεία;

Εάν είναι γνωστά δύο σημεία, τότε η εξίσωση μιας ευθείας γραμμής που διέρχεται από αυτά τα σημεία μπορεί να συνταχθεί χρησιμοποιώντας τον τύπο:

Στην πραγματικότητα, αυτός είναι ένας τύπος τύπου και να γιατί: αν είναι γνωστά δύο σημεία, τότε το διάνυσμα θα είναι το διάνυσμα κατεύθυνσης της δεδομένης ευθείας. Στην τάξη Διανύσματα για ανδρείκελαθεωρήσαμε απλούστερη εργασία– πώς να βρείτε τις συντεταγμένες ενός διανύσματος από δύο σημεία. Σύμφωνα με αυτό το πρόβλημα, οι συντεταγμένες του διανύσματος κατεύθυνσης είναι:

Σημείωμα : οι πόντοι μπορούν να «ανταλλάσσονται» και ο τύπος μπορεί να χρησιμοποιηθεί . Μια τέτοια λύση θα είναι ισοδύναμη.

Παράδειγμα 7

Να γράψετε μια εξίσωση ευθείας χρησιμοποιώντας δύο σημεία .

Διάλυμα: Χρησιμοποιούμε τον τύπο:

Χτενίζοντας τους παρονομαστές:

Και ανακατέψτε την τράπουλα:

Τώρα είναι η ώρα να απαλλαγούμε από τους κλασματικούς αριθμούς. Σε αυτήν την περίπτωση, πρέπει να πολλαπλασιάσετε και τις δύο πλευρές επί 6:

Ανοίξτε τις αγκύλες και θυμηθείτε την εξίσωση:

Απάντηση:

Εξέτασηείναι προφανές - οι συντεταγμένες των αρχικών σημείων πρέπει να ικανοποιούν την εξίσωση που προκύπτει:

1) Αντικαταστήστε τις συντεταγμένες του σημείου:

Αληθινή ισότητα.

2) Αντικαταστήστε τις συντεταγμένες του σημείου:

Αληθινή ισότητα.

Σύναψη: Η εξίσωση της γραμμής είναι γραμμένη σωστά.

Αν τουλάχιστον ένατων σημείων δεν ικανοποιεί την εξίσωση, ψάξτε για λάθος.

Αξίζει να σημειωθεί ότι η γραφική επαλήθευση σε αυτή την περίπτωση είναι δύσκολη, αφού κατασκευάστε μια ευθεία γραμμή και δείτε εάν τα σημεία ανήκουν σε αυτήν , όχι τόσο απλό.

Θα σημειώσω μερικές ακόμη τεχνικές πτυχές της λύσης. Ίσως σε αυτό το πρόβλημα είναι πιο κερδοφόρο να χρησιμοποιήσετε τον τύπο καθρέφτη και στα ίδια σημεία φτιάξε μια εξίσωση:

Λιγότερα κλάσματα. Εάν θέλετε, μπορείτε να εκτελέσετε τη λύση μέχρι το τέλος, το αποτέλεσμα πρέπει να είναι η ίδια εξίσωση.

Το δεύτερο σημείο είναι να εξετάσουμε την τελική απάντηση και να καταλάβουμε εάν μπορεί να απλοποιηθεί περαιτέρω; Για παράδειγμα, εάν λάβετε την εξίσωση , τότε συνιστάται να τη μειώσετε κατά δύο: – η εξίσωση θα ορίσει την ίδια ευθεία γραμμή. Ωστόσο, αυτό είναι ήδη θέμα συζήτησης σχετική θέση των γραμμών.

Έχοντας λάβει την απάντηση στο Παράδειγμα 7, για παν ενδεχόμενο, έλεγξα αν ΟΛΟΙ οι συντελεστές της εξίσωσης διαιρούνται με το 2, το 3 ή το 7. Αν και, τις περισσότερες φορές τέτοιες μειώσεις γίνονται κατά τη διάρκεια της λύσης.

Παράδειγμα 8

Γράψτε μια εξίσωση για μια ευθεία που διέρχεται από τα σημεία .

Αυτό είναι ένα παράδειγμα για μια ανεξάρτητη λύση, η οποία θα σας επιτρέψει να κατανοήσετε καλύτερα και να εξασκήσετε τις τεχνικές υπολογισμού.

Παρόμοια με την προηγούμενη παράγραφο: εάν στον τύπο ένας από τους παρονομαστές (η συντεταγμένη του διανύσματος κατεύθυνσης) γίνεται μηδέν, στη συνέχεια το ξαναγράφουμε με τη μορφή . Και πάλι, παρατηρήστε πόσο άβολη και μπερδεμένη φαίνεται. Δεν βλέπω πολύ νόημα να δίνω πρακτικά παραδείγματα, αφού έχουμε ήδη λύσει αυτό το πρόβλημα (βλ. Αρ. 5, 6).

Άμεσο κανονικό διάνυσμα (κανονικό διάνυσμα)

Τι είναι φυσιολογικό; Με απλά λόγια, η κανονική είναι κάθετη. Δηλαδή, το κανονικό διάνυσμα μιας ευθείας είναι κάθετο σε μια δεδομένη ευθεία. Προφανώς, κάθε ευθεία έχει έναν άπειρο αριθμό από αυτά (καθώς και διανύσματα κατεύθυνσης) και όλα τα κανονικά διανύσματα της ευθείας θα είναι συγγραμμικά (συμκατευθυντικά ή όχι, δεν έχει διαφορά).

Η αντιμετώπισή τους θα είναι ακόμα πιο εύκολη από ό,τι με διανύσματα οδηγών:

Αν μια ευθεία δίνεται από μια γενική εξίσωση σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων, τότε το διάνυσμα είναι το κανονικό διάνυσμα αυτής της ευθείας.

Εάν οι συντεταγμένες του διανύσματος κατεύθυνσης πρέπει να «τραβηχτούν» προσεκτικά από την εξίσωση, τότε οι συντεταγμένες του κανονικού διανύσματος μπορούν απλώς να «αφαιρεθούν».

Το κανονικό διάνυσμα είναι πάντα ορθογώνιο προς το διάνυσμα κατεύθυνσης της ευθείας. Ας επαληθεύσουμε την ορθογωνικότητα αυτών των διανυσμάτων χρησιμοποιώντας προϊόν με κουκκίδες:

Θα δώσω παραδείγματα με τις ίδιες εξισώσεις όπως για το διάνυσμα κατεύθυνσης:

Είναι δυνατόν να κατασκευαστεί μια εξίσωση μιας ευθείας με ένα σημείο και ένα κανονικό διάνυσμα; Το νιώθω στο έντερο μου, είναι δυνατό. Εάν το κανονικό διάνυσμα είναι γνωστό, τότε η κατεύθυνση της ίδιας της ευθείας γραμμής είναι σαφώς καθορισμένη - αυτή είναι μια "άκαμπτη δομή" με γωνία 90 μοιρών.

Πώς να γράψετε μια εξίσωση μιας ευθείας με ένα σημείο και ένα κανονικό διάνυσμα;

Εάν ένα ορισμένο σημείο που ανήκει σε μια ευθεία και το κανονικό διάνυσμα αυτής της ευθείας είναι γνωστό, τότε η εξίσωση αυτής της ευθείας εκφράζεται με τον τύπο:

Εδώ όλα λειτούργησαν χωρίς κλάσματα και άλλες εκπλήξεις. Αυτό είναι το κανονικό μας διάνυσμα. Αγαπήστε τον. Και σεβασμός =)

Παράδειγμα 9

Να γράψετε μια εξίσωση μιας ευθείας με ένα σημείο και ένα κανονικό διάνυσμα. Βρείτε το διάνυσμα κατεύθυνσης της ευθείας.

Διάλυμα: Χρησιμοποιούμε τον τύπο:

Η γενική εξίσωση της ευθείας έχει ληφθεί, ας ελέγξουμε:

1) «Αφαιρέστε» τις συντεταγμένες του κανονικού διανύσματος από την εξίσωση: – ναι, πράγματι, το αρχικό διάνυσμα ελήφθη από τη συνθήκη (ή θα πρέπει να ληφθεί ένα συγγραμμικό διάνυσμα).

2) Ας ελέγξουμε αν το σημείο ικανοποιεί την εξίσωση:

Αληθινή ισότητα.

Αφού πειστούμε ότι η εξίσωση έχει συντεθεί σωστά, θα ολοκληρώσουμε το δεύτερο, πιο εύκολο μέρος της εργασίας. Βγάζουμε το κατευθυντικό διάνυσμα της ευθείας:

Απάντηση:

Στο σχέδιο η κατάσταση μοιάζει με αυτό:

Για σκοπούς εκπαίδευσης, μια παρόμοια εργασία για ανεξάρτητη επίλυση:

Παράδειγμα 10

Να γράψετε μια εξίσωση μιας ευθείας με ένα σημείο και ένα κανονικό διάνυσμα. Βρείτε το διάνυσμα κατεύθυνσης της ευθείας.

Η τελευταία ενότητα του μαθήματος θα είναι αφιερωμένη σε λιγότερο κοινά, αλλά και σημαντικά είδηεξισώσεις ευθείας γραμμής σε επίπεδο

Εξίσωση ευθείας σε τμήματα.
Εξίσωση ευθείας σε παραμετρική μορφή

Η εξίσωση μιας ευθείας γραμμής σε τμήματα έχει τη μορφή , όπου είναι μη μηδενικές σταθερές. Ορισμένοι τύποι εξισώσεων δεν μπορούν να αναπαρασταθούν με αυτήν τη μορφή, για παράδειγμα, η ευθεία αναλογικότητα (καθώς ο ελεύθερος όρος είναι ίσος με μηδέν και δεν υπάρχει τρόπος να βρεθεί ένας στη δεξιά πλευρά).

Αυτό είναι, μεταφορικά μιλώντας, ένας «τεχνικός» τύπος εξίσωσης. Μια κοινή εργασία είναι να αναπαραστήσουμε τη γενική εξίσωση μιας ευθείας ως εξίσωση μιας ευθείας σε τμήματα. Πώς είναι βολικό; Η εξίσωση μιας ευθείας σε τμήματα σας επιτρέπει να βρείτε γρήγορα τα σημεία τομής μιας ευθείας με άξονες συντεταγμένων, που μπορεί να είναι πολύ σημαντικό σε ορισμένα προβλήματα ανώτερων μαθηματικών.

Ας βρούμε το σημείο τομής της ευθείας με τον άξονα. Μηδενίζουμε το "y" και η εξίσωση παίρνει τη μορφή . Το επιθυμητό σημείο λαμβάνεται αυτόματα: .

Το ίδιο και ο άξονας – το σημείο στο οποίο η ευθεία τέμνει τον άξονα τεταγμένων.

Αυτό το άρθρο αποκαλύπτει πώς να αποκτήσετε την εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από δύο δίνονται πόντουςσε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων που βρίσκεται σε ένα επίπεδο. Ας εξαγάγουμε την εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από δύο δεδομένα σημεία σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων. Θα δείξουμε και θα λύσουμε ξεκάθαρα αρκετά παραδείγματα που σχετίζονται με το υλικό που καλύπτεται.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Πριν λάβουμε την εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από δύο δεδομένα σημεία, είναι απαραίτητο να δώσουμε προσοχή σε ορισμένα γεγονότα. Υπάρχει ένα αξίωμα που λέει ότι μέσα από δύο αποκλίνοντα σημεία σε ένα επίπεδο είναι δυνατό να χαράξουμε μια ευθεία γραμμή και μόνο μία. Με άλλα λόγια, δύο δεδομένα σημεία σε ένα επίπεδο ορίζονται από μια ευθεία που διέρχεται από αυτά τα σημεία.

Εάν το επίπεδο ορίζεται από το ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων Oxy, τότε οποιαδήποτε ευθεία που απεικονίζεται σε αυτό θα αντιστοιχεί στην εξίσωση μιας ευθείας γραμμής στο επίπεδο. Υπάρχει επίσης μια σύνδεση με το κατευθυντικό διάνυσμα της ευθείας γραμμής.

Ας δούμε ένα παράδειγμα επίλυσης παρόμοιου προβλήματος. Είναι απαραίτητο να δημιουργηθεί μια εξίσωση για μια ευθεία a που διέρχεται από δύο αποκλίνοντα σημεία M 1 (x 1, y 1) και M 2 (x 2, y 2), που βρίσκονται στο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων.

Στην κανονική εξίσωση μιας ευθείας σε ένα επίπεδο, που έχει τη μορφή x - x 1 a x = y - y 1 a y, ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων O x y καθορίζεται με μια ευθεία που τέμνεται μαζί της σε ένα σημείο με συντεταγμένες M 1 (x 1, y 1) με οδηγό διάνυσμα a → = (a x , a y) .

Είναι απαραίτητο να συνταχθεί κανονική εξίσωσηευθεία α, η οποία θα διέρχεται από δύο σημεία με συντεταγμένες M 1 (x 1, y 1) και M 2 (x 2, y 2).

Η ευθεία α έχει διάνυσμα κατεύθυνσης M 1 M 2 → με συντεταγμένες (x 2 - x 1, y 2 - y 1), αφού τέμνει τα σημεία M 1 και M 2. Λάβαμε τα απαραίτητα δεδομένα για να μετασχηματίσουμε την κανονική εξίσωση με τις συντεταγμένες του διανύσματος κατεύθυνσης M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1) και τις συντεταγμένες των σημείων M 1 που βρίσκονται πάνω τους (x 1, y 1) και M 2 (x 2 , y 2) . Λαμβάνουμε μια εξίσωση της μορφής x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 ή x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1.

Σκεφτείτε το παρακάτω σχήμα.

Μετά τους υπολογισμούς, σημειώνουμε τις παραμετρικές εξισώσεις μιας ευθείας σε ένα επίπεδο που διέρχεται από δύο σημεία με συντεταγμένες M 1 (x 1, y 1) και M 2 (x 2, y 2). Λαμβάνουμε μια εξίσωση της μορφής x = x 1 + (x 2 - x 1) · λ y = y 1 + (y 2 - y 1) · λ ή x = x 2 + (x 2 - x 1) · λ y = y 2 + (y 2 - y 1) · λ .

Ας ρίξουμε μια πιο προσεκτική ματιά στην επίλυση πολλών παραδειγμάτων.

Παράδειγμα 1

Να γράψετε την εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από 2 δεδομένα σημεία με συντεταγμένες M 1 - 5, 2 3, M 2 1, - 1 6.

Διάλυμα

Η κανονική εξίσωση για μια ευθεία που τέμνεται σε δύο σημεία με συντεταγμένες x 1, y 1 και x 2, y 2 παίρνει τη μορφή x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1. Σύμφωνα με τις συνθήκες του προβλήματος, έχουμε ότι x 1 = - 5, y 1 = 2 3, x 2 = 1, y 2 = - 1 6. Είναι απαραίτητο να αντικαταστήσετε τις αριθμητικές τιμές στην εξίσωση x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1. Από εδώ παίρνουμε ότι η κανονική εξίσωση παίρνει τη μορφή x - (- 5) 1 - (- 5) = y - 2 3 - 1 6 - 2 3 ⇔ x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6.

Απάντηση: x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6.

Εάν πρέπει να λύσετε ένα πρόβλημα με έναν διαφορετικό τύπο εξίσωσης, τότε πρώτα μπορείτε να πάτε στην κανονική, αφού είναι ευκολότερο να έρθετε από αυτό σε οποιαδήποτε άλλη.

Παράδειγμα 2

Να συνθέσετε τη γενική εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από σημεία με συντεταγμένες M 1 (1, 1) και M 2 (4, 2) στο σύστημα συντεταγμένων O x y.

Διάλυμα

Αρχικά, πρέπει να γράψετε την κανονική εξίσωση μιας δεδομένης γραμμής που διέρχεται από δύο δεδομένα σημεία. Παίρνουμε μια εξίσωση της μορφής x - 1 4 - 1 = y - 1 2 - 1 ⇔ x - 1 3 = y - 1 1 .

Ας φέρουμε την κανονική εξίσωση στην επιθυμητή μορφή, τότε παίρνουμε:

x - 1 3 = y - 1 1 ⇔ 1 x - 1 = 3 y - 1 ⇔ x - 3 y + 2 = 0

Απάντηση: x - 3 y + 2 = 0 .

Παραδείγματα τέτοιων εργασιών συζητήθηκαν στα σχολικά εγχειρίδια κατά τη διάρκεια των μαθημάτων της άλγεβρας. Τα σχολικά προβλήματα διέφεραν στο ότι ήταν γνωστή η εξίσωση μιας ευθείας με συντελεστή γωνίας, που είχε τη μορφή y = k x + b. Εάν πρέπει να βρείτε την τιμή της κλίσης k και του αριθμού b για τον οποίο η εξίσωση y = k x + b ορίζει μια γραμμή στο σύστημα O x y που διέρχεται από τα σημεία M 1 (x 1, y 1) και M 2 ( x 2, y 2), όπου x 1 ≠ x 2. Όταν x 1 = x 2 , τότε ο γωνιακός συντελεστής παίρνει την τιμή του άπειρου και η ευθεία γραμμή M 1 M 2 ορίζεται από τη γενική ημιτελής εξίσωσητης μορφής x - x 1 = 0 .

Γιατί τα σημεία Μ 1Και Μ 2βρίσκονται σε ευθεία γραμμή, τότε οι συντεταγμένες τους ικανοποιούν την εξίσωση y 1 = k x 1 + b και y 2 = k x 2 + b. Είναι απαραίτητο να λυθεί το σύστημα των εξισώσεων y 1 = k x 1 + b y 2 = k x 2 + b για k και b.

Για να γίνει αυτό, βρίσκουμε k = y 2 - y 1 x 2 - x 1 b = y 1 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 ή k = y 2 - y 1 x 2 - x 1 b = y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2 .

Με αυτές τις τιμές των k και b, η εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από τα δεδομένα δύο σημεία γίνεται y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 ή y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2.

Θυμηθείτε αυτό αμέσως τεράστιο ποσόοι τύποι δεν θα λειτουργήσουν. Για να γίνει αυτό, είναι απαραίτητο να αυξηθεί ο αριθμός των επαναλήψεων στην επίλυση προβλημάτων.

Παράδειγμα 3

Να γράψετε την εξίσωση ευθείας με γωνιακό συντελεστή που διέρχεται από σημεία με συντεταγμένες M 2 (2, 1) και y = k x + b.

Διάλυμα

Για να λύσουμε το πρόβλημα, χρησιμοποιούμε έναν τύπο με γωνιακό συντελεστή της μορφής y = k x + b. Οι συντελεστές k και b πρέπει να λάβουν τέτοια τιμή ώστε δεδομένη εξίσωσηαντιστοιχούσε σε μια ευθεία που διέρχεται από δύο σημεία με συντεταγμένες M 1 (- 7, - 5) και M 2 (2, 1).

Πόντοι Μ 1Και Μ 2βρίσκονται σε ευθεία γραμμή, τότε οι συντεταγμένες τους πρέπει να κάνουν την εξίσωση y = k x + b αληθινή ισότητα. Από αυτό παίρνουμε ότι - 5 = k · (- 7) + b και 1 = k · 2 + b. Ας συνδυάσουμε την εξίσωση στο σύστημα - 5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b και λύνουμε.

Κατά την αντικατάσταση το παίρνουμε

5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k + b = 1 ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k - 5 + 7 k = 1 ⇔ ⇔ b = - 5 + 7 k k = 2 3 ⇔ b = - 5 + 7 2 3 k = 2 3 ⇔ b = - 1 3 k = 2 3

Τώρα οι τιμές k = 2 3 και b = - 1 3 αντικαθίστανται στην εξίσωση y = k x + b. Διαπιστώνουμε ότι η απαιτούμενη εξίσωση που διέρχεται από τα δεδομένα σημεία θα είναι μια εξίσωση της μορφής y = 2 3 x - 1 3 .

Αυτή η μέθοδος λύσης προκαθορίζει τις δαπάνες μεγάλη ποσότηταφορά. Υπάρχει ένας τρόπος με τον οποίο η εργασία λύνεται κυριολεκτικά σε δύο βήματα.

Ας γράψουμε την κανονική εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από M 2 (2, 1) και M 1 (- 7, - 5), που έχει τη μορφή x - (- 7) 2 - (- 7) = y - (- 5 ) 1 - (- 5) ⇔ x + 7 9 = y + 5 6 .

Τώρα ας προχωρήσουμε στην εξίσωση της κλίσης. Παίρνουμε ότι: x + 7 9 = y + 5 6 ⇔ 6 · (x + 7) = 9 · (y + 5) ⇔ y = 2 3 x - 1 3.

Απάντηση: y = 2 3 x - 1 3 .

Εάν στον τρισδιάστατο χώρο υπάρχει ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων O x y z με δύο δεδομένα μη συμπίπτοντα σημεία με συντεταγμένες M 1 (x 1, y 1, z 1) και M 2 (x 2, y 2, z 2), η ευθεία γραμμή M που διέρχεται από αυτά 1 M 2, είναι απαραίτητο να ληφθεί η εξίσωση αυτής της ευθείας.

Έχουμε ότι κανονικές εξισώσεις της μορφής x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z και παραμετρικές εξισώσεις της μορφής x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ είναι σε θέση να ορίσουν μια ευθεία στο σύστημα συντεταγμένων O x y z, που διέρχεται από σημεία που έχουν συντεταγμένες (x 1, y 1, z 1) με διάνυσμα κατεύθυνσης a → = (a x, a y, a z).

Ευθεία M 1 M 2 έχει διάνυσμα κατεύθυνσης της μορφής M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1), όπου η ευθεία διέρχεται από το σημείο M 1 (x 1, y 1, z 1) και M 2 (x 2 , y 2 , z 2), επομένως η κανονική εξίσωση μπορεί να είναι της μορφής x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 ή x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1 = z - z 2 z 2 - z 1, με τη σειρά της παραμετρική x = x 1 + (x 2 - x 1 ) λ y = y 1 + (y 2 - y 1) λ z = z 1 + (z 2 - z 1) λ ή x = x 2 + (x 2 - x 1) λ y = y 2 + (y 2 - y 1) · λ z = z 2 + (z 2 - z 1) · λ .

Σκεφτείτε ένα σχέδιο που δείχνει 2 δεδομένα σημεία στο χώρο και την εξίσωση μιας ευθείας γραμμής.

Παράδειγμα 4

Γράψτε την εξίσωση μιας ευθείας που ορίζεται σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων O x y z τρισδιάστατου χώρου, που διέρχεται από δύο δεδομένα με συντεταγμένες M 1 (2, - 3, 0) και M 2 (1, - 3, - 5).

Διάλυμα

Είναι απαραίτητο να βρεθεί η κανονική εξίσωση. Εφόσον μιλάμε για τρισδιάστατο χώρο, σημαίνει ότι όταν μια γραμμή διέρχεται από δεδομένα σημεία, η επιθυμητή κανονική εξίσωση θα έχει τη μορφή x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 .

Με συνθήκη έχουμε ότι x 1 = 2, y 1 = - 3, z 1 = 0, x 2 = 1, y 2 = - 3, z 2 = - 5. Από αυτό προκύπτει ότι οι απαραίτητες εξισώσεις θα γραφούν ως εξής:

x - 2 1 - 2 = y - (- 3) - 3 - (- 3) = z - 0 - 5 - 0 ⇔ x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5

Απάντηση: x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5.

Εάν παρατηρήσετε κάποιο σφάλμα στο κείμενο, επισημάνετε το και πατήστε Ctrl+Enter