Δημοτικό δημοσιονομικό εκπαιδευτικό ίδρυμα
«Γυμνάσιο Νο 26
με σε βάθος μελέτη επιμέρους θεμάτων»
πόλη Nizhnekamsk της Δημοκρατίας του Ταταρστάν
Σημειώσεις μαθηματικών
στην 8η δημοτικού
Επίλυση ανισώσεων με μία μεταβλητή
και τα συστήματά τους
έτοιμος
καθηγητής μαθηματικών
πρώτη κατηγορία προσόντων
Kungurova Gulnaz Rafaelovna
Nizhnekamsk 2014
Περίληψη σχεδίουμάθημα
Δάσκαλος: Kungurova G.R.
Θέμα: μαθηματικά
Θέμα: «Επίλυση γραμμικών ανισοτήτων με μία μεταβλητή και τα συστήματά τους».
Τάξη: 8Β
Ημερομηνία: 04/10/2014
Τύπος μαθήματος:μάθημα γενίκευσης και συστηματοποίησης της μελετώμενης ύλης.
Σκοπός του μαθήματος:εμπέδωση πρακτικών δεξιοτήτων στην επίλυση ανισοτήτων με μία μεταβλητή και τα συστήματά τους, ανισότητες που περιέχουν μια μεταβλητή κάτω από το πρόσημο του συντελεστή.
Στόχοι μαθήματος:
Εκπαιδευτικός:
γενίκευση και συστηματοποίηση της γνώσης των μαθητών σχετικά με τρόπους επίλυσης ανισοτήτων με μία μεταβλητή.
επέκταση του τύπου των ανισοτήτων: διπλές ανισότητες, ανισότητες που περιέχουν μια μεταβλητή κάτω από το πρόσημο συντελεστή, συστήματα ανισώσεων.
δημιουργία διεπιστημονικών συνδέσεων μεταξύ των μαθηματικών, της ρωσικής γλώσσας και της χημείας.
Εκπαιδευτικός:
ενεργοποίηση της προσοχής, νοητική δραστηριότητα, ανάπτυξη μαθηματικού λόγου, γνωστικό ενδιαφέρονσε μαθητές?
κατακτώντας τις μεθόδους και τα κριτήρια της αυτοαξιολόγησης και του αυτοελέγχου.
Εκπαιδευτικός:
ενθάρρυνση της ανεξαρτησίας, της ακρίβειας και της ικανότητας για εργασία σε ομάδα
Βασικές μέθοδοι που χρησιμοποιούνται στο μάθημα: επικοινωνιακός, επεξηγηματικός-παραστατικός, αναπαραγωγικός, μέθοδος προγραμματισμένου ελέγχου.
Εξοπλισμός:
υπολογιστή
παρουσίαση υπολογιστή
μονομπλόκ (εκτέλεση ατομικής διαδικτυακής δοκιμής)
φυλλάδια (ατομικές εργασίες πολλαπλών επιπέδων).
φύλλα αυτοελέγχου?
Πλάνο μαθήματος:
1. Οργάνωση χρόνου.
4. Ανεξάρτητη εργασία
5. Αντανάκλαση
6. Περίληψη μαθήματος.
Κατά τη διάρκεια των μαθημάτων:
1. Οργανωτική στιγμή.
(Ο δάσκαλος λέει στους μαθητές τους στόχους και τους στόχους του μαθήματος.).
Σήμερα αντιμετωπίζουμε ένα πολύ σημαντικό έργο. Πρέπει να συνοψίσουμε αυτό το θέμα. Για άλλη μια φορά, θα χρειαστεί να εργαστούμε πολύ προσεκτικά σε θεωρητικά ζητήματα, να κάνουμε υπολογισμούς και να εξετάσουμε την πρακτική εφαρμογή αυτού του θέματος στο Καθημερινή ζωή. Και δεν πρέπει ποτέ να ξεχνάμε πώς συλλογιζόμαστε, αναλύουμε και χτίζουμε λογικές αλυσίδες. Ο λόγος μας πρέπει να είναι πάντα εγγράμματος και σωστός.
Καθένας από εσάς έχει ένα φύλλο αυτοελέγχου στο γραφείο του. Καθ' όλη τη διάρκεια του μαθήματος, θυμηθείτε να σημειώσετε τις συνεισφορές σας σε αυτό το μάθημα με το σύμβολο "+".
Ρωτάει ο δάσκαλος εργασία για το σπίτισχολιάζοντας το:
№1026(a,b), No.1019(c,d); επιπλέον - Αρ. 1046(α)
2. Επικαιροποίηση γνώσεων, δεξιοτήτων και ικανοτήτων
1) Πριν ξεκινήσουμε πρακτικές εργασίες, ας στραφούμε στη θεωρία.
Ο δάσκαλος ανακοινώνει την αρχή του ορισμού και οι μαθητές πρέπει να συμπληρώσουν τη διατύπωση.
α) Ανισότητα σε μια μεταβλητή είναι ανισότητα της μορφής ax>b, ax<в;
β) Η επίλυση μιας ανισότητας σημαίνει την εύρεση όλων των λύσεών της ή την απόδειξη ότι δεν υπάρχουν λύσεις.
γ) Η λύση μιας ανισότητας με μία μεταβλητή είναι η τιμή της μεταβλητής που τη μετατρέπει σε αληθινή ανισότητα.
δ) Οι ανισότητες λέγονται ισοδύναμες εάν τα σύνολα λύσεών τους συμπίπτουν. Αν δεν έχουν λύσεις, τότε ονομάζονται και ισοδύναμες
2) Στον πίνακα υπάρχουν ανισότητες με μία μεταβλητή, διατεταγμένες σε μία στήλη. Και δίπλα σε άλλη στήλη αναγράφονται οι λύσεις τους με τη μορφή αριθμητικών διαστημάτων. Το καθήκον των μαθητών είναι να δημιουργήσουν αντιστοιχία μεταξύ των ανισοτήτων και των αντίστοιχων διαστημάτων.
Καθιερώστε μια αντιστοιχία μεταξύ ανισώσεων και αριθμητικών διαστημάτων:
1. 3x > 6 α) (-∞ ; - 0,2]
2. -5x ≥ 1 β) (- ∞ ; 15)
3. 4x > 3 γ) (2; + ∞)
4. 0,2x< 3 г) (0,75; + ∞)
3) Πρακτική δουλειάσε ένα τετράδιο αυτοελέγχου.
Οι μαθητές γράφουν μια γραμμική ανισότητα σε μια μεταβλητή στον πίνακα. Αφού ολοκληρωθεί αυτό, ένας από τους μαθητές εκφράζει την απόφασή του και τα λάθη που έγιναν διορθώνονται)
Λύστε την ανισότητα:
4 (2x - 1) - 3(x + 6) > x;
8x - 4 - 3x - 18 > x;
8x - 3x – x > 4+18 ;
4x > 22 ;
x > 5,5.
Απάντηση. (5,5 ; +∞)
3. Πρακτική χρήσηανισότητες στην καθημερινή ζωή ( χημικό πείραμα)
Οι ανισότητες στην καθημερινή μας ζωή μπορούν να είναι καλοί βοηθοί. Και εκτός αυτού, βέβαια, υπάρχει μια άρρηκτη σχέση μεταξύ των σχολικών μαθημάτων. Τα μαθηματικά συμβαδίζουν όχι μόνο με τη ρωσική γλώσσα, αλλά και με τη χημεία.
(Σε κάθε γραφείο υπάρχει μια κλίμακα αναφοράς για την τιμή του pH, που κυμαίνεται από 0 έως 12)
Εάν 0 ≤ pH< 7, то среда кислая;
εάν pH = 7, τότε το περιβάλλον είναι ουδέτερο.
εάν ο δείκτης είναι 7< pH ≤ 12, то среда щелочная
Ο δάσκαλος χύνει 3 άχρωμα διαλύματα σε διαφορετικούς δοκιμαστικούς σωλήνες. Από το μάθημα της χημείας, οι μαθητές καλούνται να θυμηθούν τα είδη των μέσων διαλύματος (όξινα, ουδέτερα, αλκαλικά). Στη συνέχεια, πειραματικά, με τη συμμετοχή μαθητών, προσδιορίζεται το περιβάλλον καθεμιάς από τις τρεις λύσεις. Για να γίνει αυτό, ένας γενικός δείκτης χαμηλώνεται σε κάθε λύση. Αυτό που συμβαίνει είναι ότι κάθε δείκτης χρωματίζεται ανάλογα. Και σύμφωνα με το συνδυασμό χρωμάτων, χάρη στην τυπική κλίμακα, οι μαθητές δημιουργούν το περιβάλλον καθεμιάς από τις προτεινόμενες λύσεις.
Συμπέρασμα:
1 δείκτης γίνεται κόκκινος, ένδειξη 0 ≤ pH< 7, значит среда первого раствора кислая, т.е. имеем кислоту в 1пробирке
2 στροφές ένδειξης πράσινο χρώμα, pH = 7, που σημαίνει ότι το μέσο του δεύτερου διαλύματος είναι ουδέτερο, δηλαδή είχαμε νερό στον δοκιμαστικό σωλήνα 2
3 στροφές ένδειξης Μπλε χρώμα, δείκτης 7< pH ≤ 12 , значит среда третьего раствора щелочная, значит в 3 пробирке была щелочь
Γνωρίζοντας τα όρια του pH, μπορείτε να προσδιορίσετε το επίπεδο οξύτητας του εδάφους, του σαπουνιού και πολλών καλλυντικών.
Συνεχής ενημέρωση γνώσεων, δεξιοτήτων και ικανοτήτων.
1) Και πάλι, ο δάσκαλος αρχίζει να διατυπώνει ορισμούς και οι μαθητές πρέπει να τους συμπληρώσουν
Συνεχίστε τους ορισμούς:
α) Η επίλυση ενός συστήματος γραμμικών ανισοτήτων σημαίνει την εύρεση όλων των λύσεών του ή την απόδειξη ότι δεν υπάρχουν
β) Η λύση σε ένα σύστημα ανισώσεων με μία μεταβλητή είναι η τιμή της μεταβλητής για την οποία κάθε μία από τις ανισότητες είναι αληθής
γ) Για να λύσετε ένα σύστημα ανισώσεων με μία μεταβλητή, πρέπει να βρείτε μια λύση σε κάθε ανισότητα και να βρείτε την τομή αυτών των διαστημάτων
Ο δάσκαλος υπενθυμίζει και πάλι στους μαθητές ότι η ικανότητα επίλυσης γραμμικών ανισοτήτων με μία μεταβλητή και τα συστήματά τους είναι η βάση, η βάση για περισσότερα σύνθετες ανισότητες, που θα σπουδάσουν στις ανώτερες τάξεις. Τίθεται ένα θεμέλιο γνώσης, η δύναμη της οποίας θα πρέπει να επιβεβαιωθεί στο OGE στα μαθηματικά μετά την 9η τάξη.
Οι μαθητές γράφουν στο τετράδιό τους για να λύσουν συστήματα γραμμικών ανισώσεων με μία μεταβλητή. (2 μαθητές ολοκληρώνουν αυτές τις εργασίες στον πίνακα, εξηγούν τη λύση τους, εκφράζουν τις ιδιότητες των ανισοτήτων που χρησιμοποιούνται για την επίλυση των συστημάτων).
№1012(d). Επίλυση συστήματος γραμμικών ανισώσεων
0,3 x+1< 0,4х-2;
1,5 x-3 > 1,3 x-1. Απάντηση. (30; +∞).
№1028(d). Λύστε τη διπλή ανισότητα και απαριθμήστε όλους τους ακέραιους που αποτελούν τη λύση της
1 < (4-2х)/3 < 2 . Ответ. Целое число: 0
2) Επίλυση ανισώσεων που περιέχουν μια μεταβλητή κάτω από το πρόσημο του συντελεστή.
Η πρακτική δείχνει ότι οι ανισότητες που περιέχουν μια μεταβλητή κάτω από το πρόσημο του συντελεστή προκαλούν άγχος και αμφιβολία για τον εαυτό τους στους μαθητές. Και συχνά οι μαθητές απλώς δεν αναλαμβάνουν τέτοιες ανισότητες. Και ο λόγος για αυτό είναι μια κακώς στρωμένη βάση. Ο δάσκαλος ενθαρρύνει τους μαθητές να εργαστούν με τον εαυτό τους έγκαιρα και να μάθουν με συνέπεια όλα τα βήματα για την επιτυχή εφαρμογή αυτών των ανισοτήτων.
Γίνεται προφορική εργασία. (Μπροστινή έρευνα)
Επίλυση ανισώσεων που περιέχουν μια μεταβλητή κάτω από το πρόσημο του συντελεστή:
1. Το μέτρο συντελεστή ενός αριθμού x είναι η απόσταση από την αρχή έως το σημείο με συντεταγμένη x.
| 35 | = 35,
| - 17 | = 17,
| 0 | = 0
2. Λύστε ανισότητες:
α) | x |< 3 . Ответ. (-3 ; 3)
β) | x | > 2. Απάντηση. (- ∞; -2) U (2; +∞)
Η πρόοδος της επίλυσης αυτών των ανισώσεων εμφανίζεται λεπτομερώς στην οθόνη και ο αλγόριθμος για την επίλυση ανισώσεων που περιέχει μια μεταβλητή κάτω από το πρόσημο του συντελεστή προσδιορίζεται.
4. Ανεξάρτητη εργασία
Για τον έλεγχο του βαθμού γνώσης αυτού του θέματος, 4 μαθητές παίρνουν θέσεις στα μονομπλόκ και κάνουν θεματικές διαδικτυακές δοκιμές. Ο χρόνος δοκιμής είναι 15 λεπτά. Μετά την ολοκλήρωση, διενεργείται αυτοέλεγχος τόσο σε μονάδες όσο και σε ποσοστό.
Οι υπόλοιποι μαθητές στα θρανία τους κάνουν ανεξάρτητη εργασία σε παραλλαγές.
Ανεξάρτητη εργασία (χρόνος ολοκλήρωσης 13 λεπτά)
Επιλογή 1
Επιλογή 2
1. Λύστε τις ανισώσεις:
α) 6+x< 3 - 2х;
β) 0,8 (x-3) - 3,2 ≤ 0,3 (2 - x).
3(x+1) - (x-2)< х,
2 > 5x - (2x-1) .
-6 < 5х - 1 < 5
4*. (Επιπροσθέτως)
Λύστε την ανισότητα:
| 2- 2x | ≤ 1
1. Λύστε τις ανισώσεις:
α) 4+x< 1 - 2х;
β) 0,2 (3x - 4) - 1,6 ≥ 0,3 (4-3x).
2. Λύστε το σύστημα των ανισοτήτων:
2(x+3) - (x - 8)< 4,
6x > 3(x+1) -1.
3. Λύστε διπλή ανισότητα:
-1 < 3х - 1 < 2
4*. (Επιπροσθέτως)
Λύστε την ανισότητα:
| 6x-1 | ≤ 1
Μετά την εκτέλεση ανεξάρτητη εργασίαΟι μαθητές παραδίδουν τα τετράδιά τους για έλεγχο. Οι μαθητές που εργάζονταν σε μονομπλόκ παραδίδουν επίσης τα τετράδιά τους στον δάσκαλο για έλεγχο.
5. Αντανάκλαση
Ο δάσκαλος υπενθυμίζει στους μαθητές τα φύλλα αυτοελέγχου, στα οποία έπρεπε να αξιολογήσουν την εργασία τους με «+» σε όλη τη διάρκεια του μαθήματος, στα διάφορα στάδια του.
Αλλά οι μαθητές θα πρέπει να δώσουν την κύρια αξιολόγηση των δραστηριοτήτων τους μόνο τώρα, αφού εκφωνήσουν μια αρχαία παραβολή.
Παραβολή.
Ένας σοφός περπατούσε και τον συνάντησαν 3 άτομα. Κουβαλούσαν κάρα με πέτρες κάτω από τον καυτό ήλιο για την κατασκευή του ναού.
Ο σοφός τους σταμάτησε και τους ρώτησε:
- Τι έκανες όλη μέρα;
«Έφερα τις καταραμένες πέτρες», απάντησε ο πρώτος.
«Έκανα τη δουλειά μου ευσυνείδητα», απάντησε ο δεύτερος.
«Και συμμετείχα στην κατασκευή του ναού», απάντησε περήφανα ο τρίτος.
Στα φύλλα αυτοελέγχου, στο σημείο Νο. 3, οι μαθητές πρέπει να εισάγουν μια φράση που θα αντιστοιχούσε στις πράξεις τους σε αυτό το μάθημα.
Φύλλο αυτοελέγχου ________________________________________________
№ Π / Π
Βήματα μαθήματος
Βαθμός εκπαιδευτικές δραστηριότητες
Προφορική εργασία στην τάξη
Επίλυση ανισώσεων με μία μεταβλητή.
επίλυση συστημάτων ανισοτήτων.
επίλυση διπλών ανισοτήτων.
επίλυση ανισώσεων με πρόσημο συντελεστή
Αντανάκλαση
Στις παραγράφους 1 και 2, σημειώστε τις σωστές απαντήσεις στο μάθημα με το σύμβολο «+».
στην παράγραφο 3, αξιολογήστε την εργασία σας στην τάξη σύμφωνα με τις οδηγίες
6. Περίληψη μαθήματος.
Ο δάσκαλος, συνοψίζοντας το μάθημα, σημειώνει επιτυχημένες στιγμές και προβλήματα στα οποία απομένει να γίνει πρόσθετη δουλειά.
Οι μαθητές καλούνται να αξιολογήσουν την εργασία τους σύμφωνα με φύλλα αυτοελέγχου και οι μαθητές λαμβάνουν έναν ακόμη βαθμό με βάση τα αποτελέσματα της ανεξάρτητης εργασίας.
Στο τέλος του μαθήματος, ο δάσκαλος εφιστά την προσοχή των μαθητών στα λόγια του Γάλλου επιστήμονα Blaise Pascal: «Το μεγαλείο ενός ανθρώπου βρίσκεται στην ικανότητά του να σκέφτεται».
Βιβλιογραφία:
1 . Αλγεβρα. 8η τάξη. Yu.N.Makarychev, N.G. Mindyuk, Κ.Ε. Neshkov, I.E. Feoktistov.-M.:
Μνημοσύνη, 2012
2. Άλγεβρα.8η τάξη. Διδακτικό υλικό. Κατευθυντήριες γραμμές/ I.E. Feoktistov.
2η έκδοση., Στ.-Μ.: Μνημοσύνη, 2011
3. Δοκιμαστική και μέτρηση υλικών: 8η τάξη / Σύνταξη Λ.Ι. Μαρτίσοβα.-
Μ.: ΒΑΚΟ, 2010
Πόροι του Διαδικτύου:
Θέμα μαθήματος: Επίλυση συστήματος γραμμικών ανισώσεων με μία μεταβλητή
Ημερομηνία: _______________
Τάξη: 6a, 6b, 6c
Τύπος μαθήματος:εκμάθηση νέου υλικού και πρωταρχική ενοποίηση.
Διδακτικός στόχος:δημιουργία συνθηκών συνειδητοποίησης και κατανόησης ενός μπλοκ νέων εκπαιδευτικών πληροφοριών.
Στόχοι: 1) Εκπαιδευτικοί:Εισαγάγετε τις έννοιες: λύση συστημάτων ανισώσεων, ισοδύναμα συστήματα ανισώσεων και τις ιδιότητες τους. διδάξτε πώς να εφαρμόζετε αυτές τις έννοιες κατά την επίλυση απλών συστημάτων ανισοτήτων με μία μεταβλητή.
2) Αναπτυξιακή:προωθεί την ανάπτυξη στοιχείων δημιουργικής, ανεξάρτητης δραστηριότητας των μαθητών. αναπτύξτε την ομιλία, την ικανότητα να σκέφτεστε, να αναλύετε, να γενικεύετε, να εκφράζετε τις σκέψεις σας καθαρά και συνοπτικά.
3) Εκπαιδευτικά:καλλιέργεια μιας στάσης σεβασμού μεταξύ τους και μιας υπεύθυνης στάσης απέναντι στο εκπαιδευτικό έργο.
Καθήκοντα:
επαναλάβετε τη θεωρία σχετικά με το θέμα των αριθμητικών ανισώσεων και των αριθμητικών διαστημάτων.
δώστε ένα παράδειγμα ενός προβλήματος που μπορεί να λυθεί με ένα σύστημα ανισοτήτων.
Εξετάστε παραδείγματα επίλυσης συστημάτων ανισοτήτων.
κάνουν ανεξάρτητη εργασία.
Μορφές οργάνωσης εκπαιδευτικών δραστηριοτήτων:- μετωπική – συλλογική – ατομική.
Μέθοδοι:επεξηγηματικό – παραστατικό.
Πλάνο μαθήματος:
1. Οργανωτική στιγμή, κίνητρο, καθορισμός στόχων
2. Επικαιροποίηση της μελέτης του θέματος
3. Εκμάθηση νέου υλικού
4. Πρωτογενής ενοποίηση και εφαρμογή νέου υλικού
5. Κάνοντας ανεξάρτητη εργασία
7. Συνοψίζοντας το μάθημα. Αντανάκλαση.
Κατά τη διάρκεια των μαθημάτων:
1. Οργανωτική στιγμή
Η ανισότητα μπορεί να είναι καλός βοηθός. Απλά πρέπει να ξέρετε πότε να απευθυνθείτε σε αυτόν για βοήθεια. Η διατύπωση προβλημάτων σε πολλές εφαρμογές των μαθηματικών συχνά διατυπώνεται στη γλώσσα των ανισοτήτων. Για παράδειγμα, πολλά οικονομικά προβλήματα οφείλονται στη μελέτη συστημάτων γραμμικών ανισοτήτων. Επομένως, είναι σημαντικό να μπορούμε να επιλύουμε συστήματα ανισοτήτων. Τι σημαίνει «λύνεις ένα σύστημα ανισοτήτων»; Αυτό θα δούμε στο σημερινό μάθημα.
2. Επικαιροποίηση γνώσεων.
Προφορική εργασίαμε τάξη, τρεις μαθητές εργάζονται χρησιμοποιώντας ατομικές κάρτες.
Για να αναθεωρήσουμε τη θεωρία του θέματος "Ανισότητες και οι ιδιότητές τους", θα πραγματοποιήσουμε δοκιμές, ακολουθούμενες από επαλήθευση και μια συζήτηση σχετικά με τη θεωρία αυτού του θέματος. Κάθε δοκιμαστική εργασία απαιτεί την απάντηση "Ναι" - εικόνα, "Όχι" - εικόνα ____
Το αποτέλεσμα της δοκιμής πρέπει να είναι κάποιο είδος σχήματος.
(απάντηση: ).
Καθιερώστε μια αντιστοιχία μεταξύ της ανισότητας και του αριθμητικού διαστήματος
1. (– ; – 0,3)
2. (3; 18)
3. [ 12; + )
4. (– 4; 0]
5. [ 4; 12]
6. [ 2,5; 10)
«Τα μαθηματικά σε διδάσκουν να ξεπερνάς τις δυσκολίες και να διορθώνεις τα λάθη σου».Βρείτε το σφάλμα στην επίλυση της ανισότητας, εξηγήστε γιατί έγινε το λάθος, σημειώστε τη σωστή λύση στο τετράδιό σας.
2x<8-6
x>-1
3. Μελέτη νέου υλικού.
Τι πιστεύετε ότι ονομάζεται λύση σε ένα σύστημα ανισοτήτων;
(Η λύση σε ένα σύστημα ανισώσεων με μία μεταβλητή είναι η τιμή της μεταβλητής για την οποία κάθε μία από τις ανισότητες του συστήματος είναι αληθής)
Τι σημαίνει «Επίλυση συστήματος ανισοτήτων»;
(Η επίλυση ενός συστήματος ανισοτήτων σημαίνει την εύρεση όλων των λύσεών του ή την απόδειξη ότι δεν υπάρχουν λύσεις)
Αυτό που πρέπει να γίνει για να απαντηθεί το ερώτημα «είναι ένας δεδομένος αριθμός
λύση σε ένα σύστημα ανισοτήτων;
(Αντικαταστήστε αυτόν τον αριθμό και στις δύο ανισώσεις του συστήματος, εάν οι ανισώσεις είναι αληθείς, τότε ο δεδομένος αριθμός είναι μια λύση στο σύστημα των ανισώσεων, εάν οι ανισώσεις είναι λανθασμένες, τότε ο δεδομένος αριθμός δεν είναι λύση στο σύστημα των ανισώσεων)
Να διατυπώσετε έναν αλγόριθμο για την επίλυση συστημάτων ανισοτήτων
1. Λύστε κάθε ανισότητα του συστήματος.
2. Απεικονίστε γραφικά τις λύσεις κάθε ανισότητας στη γραμμή συντεταγμένων.
3. Να βρείτε την τομή των λύσεων των ανισώσεων στην ευθεία συντεταγμένων.
4. Γράψτε την απάντηση ως αριθμητικό διάστημα.
Εξετάστε παραδείγματα:
Απάντηση: 
Απάντηση: δεν υπάρχουν λύσεις
4. Διασφάλιση του θέματος.
Εργασία με σχολικό βιβλίο Νο. 1016, Νο. 1018, Νο. 1022
5. Ανεξάρτητη εργασίασύμφωνα με τις επιλογές (Κάρτες εργασιών για μαθητές στα τραπέζια)
Ανεξάρτητη εργασία
Επιλογή 1
Λύστε το σύστημα των ανισοτήτων:
1. Η έννοια της ανισότητας με μία μεταβλητή
2. Ισοδύναμες ανισότητες. Θεωρήματα για την ισοδυναμία των ανισώσεων
3. Επίλυση ανισώσεων με μία μεταβλητή
4. Γραφική λύση ανισώσεων με μία μεταβλητή
5. Ανισώσεις που περιέχουν μια μεταβλητή κάτω από το πρόσημο του συντελεστή
6. Κύρια συμπεράσματα
Ανισότητες με μία μεταβλητή
Προσφορές 2 Χ + 7 > 10's, x 2 +7x< 2,(х + 2)(2х-3)> 0 ονομάζονται ανισώσεις με μία μεταβλητή.
ΣΕ γενική εικόναη έννοια αυτή ορίζεται ως εξής:
Ορισμός. Έστω f(x) και g(x) δύο παραστάσεις με μεταβλητή x και πεδίο ορισμού X. Τότε μια ανισότητα της μορφής f(x) > g(x) ή f(x)< g(х) называется неравенством с одной переменной. Множество X называется областью его определения.
Μεταβλητή τιμή Χαπό πολλούς Χ,στην οποία η ανισότητα μετατρέπεται σε αληθινή αριθμητική ανισότητα ονομάζεται απόφαση.Η επίλυση μιας ανισότητας σημαίνει την εύρεση πολλών λύσεων σε αυτήν.
Έτσι, λύνοντας την ανισότητα 2 Χ + 7 > 10 -x, x? Rείναι ο αριθμός Χ= 5, αφού 2 5 + 7 > 10 - 5 είναι μια αληθινή αριθμητική ανισότητα. Και το σύνολο των λύσεών του είναι το διάστημα (1, ∞), το οποίο βρίσκεται εκτελώντας τον μετασχηματισμό της ανισότητας: 2 Χ + 7 > 10-Χ => 3Χ >3 => Χ >1.
Ισοδύναμες ανισότητες. Θεωρήματα για την ισοδυναμία των ανισώσεων
Η βάση για την επίλυση ανισώσεων με μία μεταβλητή είναι η έννοια της ισοδυναμίας.
Ορισμός. Δύο ανισώσεις λέγονται ισοδύναμες αν τα σύνολα λύσεών τους είναι ίσα.
Για παράδειγμα, ανισότητες 2 Χ+ 7 > 10 και 2 Χ> 3 είναι ισοδύναμα, αφού τα σύνολα λύσεών τους είναι ίσα και αντιπροσωπεύουν το διάστημα (2/3, ∞).
Τα θεωρήματα για την ισοδυναμία των ανισώσεων και οι συνέπειες από αυτές είναι παρόμοια με τα αντίστοιχα θεωρήματα για την ισοδυναμία των εξισώσεων. Η απόδειξή τους χρησιμοποιεί τις ιδιότητες των αληθινών αριθμητικών ανισώσεων.
Θεώρημα 3.Αφήστε την ανισότητα f(x) > g(x)ορίζεται στο σετ ΧΚαι η(Χ) είναι μια έκφραση που ορίζεται στο ίδιο σύνολο. Μετά οι ανισότητες f(x) > g(x) και f(x)+ h(x) > g(x) + h(x)είναι ισοδύναμα στο σετ Χ.
Από αυτό το θεώρημα προκύπτουν συμπεράσματα, τα οποία χρησιμοποιούνται συχνά κατά την επίλυση ανισώσεων:
1) Αν και στις δύο πλευρές της ανισότητας f(x) > g(x)προσθέστε τον ίδιο αριθμό ρε,τότε παίρνουμε την ανισότητα f(x) + d > g(x)+ d,ισοδύναμο με το αρχικό.
2) Εάν οποιοσδήποτε όρος (αριθμητική έκφραση ή έκφραση με μεταβλητή) μεταφερθεί από ένα μέρος της ανισότητας σε άλλο, αλλάζοντας το πρόσημο του όρου στο αντίθετο, τότε λαμβάνουμε μια ανισότητα ισοδύναμη με τη δεδομένη.
Θεώρημα 4.Αφήστε την ανισότητα f(x) > g(x)ορίζεται στο σετ ΧΚαι η(Χ Χαπό πολλούς Χέκφραση h(x)παίρνει θετικές αξίες. Μετά οι ανισότητες f(x) > g(x) και f(x) h(x) > g(x) h(x)είναι ισοδύναμα στο σετ Χ.
f(x) > g(x)πολλαπλασιάστε με τον ίδιο θετικό αριθμό ρε,τότε παίρνουμε την ανισότητα f(x) d > g(x) d,ισοδύναμο με αυτό.
Θεώρημα 5.Αφήστε την ανισότητα f(x) > g(x)ορίζεται στο σετ ΧΚαι η(Χ) - μια έκφραση που ορίζεται στο ίδιο σύνολο και για όλους Χείναι πολλοί από αυτούς Χέκφραση η(Χ) δέχεται αρνητικές τιμές. Μετά οι ανισότητες f(x) > g(x) και f(x) h(x) > g(x) h(x)είναι ισοδύναμα στο σετ Χ.
Από αυτό το θεώρημα προκύπτει ένα συμπέρασμα: αν και οι δύο πλευρές της ανισότητας f(x) > g(x)πολλαπλασιάστε με τον ίδιο αρνητικό αριθμό ρεκαι αλλάξουμε το πρόσημο της ανισότητας στο αντίθετο, παίρνουμε την ανισότητα f(x) d > g(x) d,ισοδύναμο με αυτό.
Επίλυση ανισώσεων με μία μεταβλητή
Ας λύσουμε την ανισότητα 5 Χ - 5 < 2х - 16, Χ? R, και θα αιτιολογήσουμε όλους τους μετασχηματισμούς που θα πραγματοποιήσουμε στη διαδικασία λύσης.
Επίλυση της ανισότητας Χ < 7 является промежуток (-∞, 7) и, следовательно, множеством решений неравенства 5Χ - 5 < 2x + 16 είναι το διάστημα (-∞, 7).
Γυμνάσια
1. Προσδιορίστε ποιες από τις ακόλουθες εγγραφές είναι ανισότητες με μία μεταβλητή:
α) -12 - 7 Χ< 3Χ+ 8; δ) 12 x + 3(Χ- 2);
β) 15( Χ+ 2)>4; ε) 17-12·8;
γ) 17-(13 + 8)< 14-9; е) 2 x 2+ 3Χ-4> 0.
2. Είναι ο αριθμός 3 λύση στην ανίσωση 6(2x + 7) < 15(Χ + 2), Χ? R? Τι γίνεται με τον αριθμό 4,25;
3. Είναι τα ακόλουθα ζεύγη ανισώσεων ισοδύναμα στο σύνολο των πραγματικών αριθμών:
α) -17 Χ< -51 и Χ > 3;
β) (3 Χ-1)/4 >0 και 3 Χ-1>0;
γ) 6-5 Χ>-4 και Χ<2?
4. Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς:
α) -7 Χ < -28 => Χ>4;
σι) Χ < 6 => Χ < 5;
V) Χ< 6 => Χ< 20?
5. Λύστε την ανίσωση 3( Χ - 2) - 4(Χ + 1) < 2(х - 3) - 2 και δικαιολογήστε όλες τις μεταμορφώσεις που θα κάνετε.
6. Να το αποδείξετε λύνοντας την ανισότητα 2(x+ 1) + 5 > 3 - (1 - 2Χ) είναι οποιοσδήποτε πραγματικός αριθμός.
7. Αποδείξτε ότι δεν υπάρχει πραγματικός αριθμός που θα ήταν λύση στην ανίσωση 3(2 - Χ) - 2 > 5 - 3Χ.
8. Η μία πλευρά του τριγώνου είναι 5 cm και η άλλη είναι 8 cm Πόσο μπορεί να είναι το μήκος της τρίτης πλευράς αν η περίμετρος του τριγώνου είναι:
α) λιγότερο από 22 cm.
β) πάνω από 17 cm;
ΓΡΑΦΙΚΗ ΛΥΣΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΩΝ ΜΕ ΜΙΑ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗ.Να λύσουμε γραφικά την ανισότητα f (x) > g (x)χρειάζεται να δημιουργήσετε γραφήματα συναρτήσεων
y = f (x) = g (x)και επιλέξτε εκείνα τα διαστήματα του άξονα της τετμημένης στα οποία βρίσκεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης y = f(x)που βρίσκεται πάνω από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y = g(x).
Παράδειγμα 17.8.Λύστε γραφικά την ανισότητα x 2- 4 > 3Χ.
| Y - x* - 4 |
Λύση.Ας κατασκευάσουμε γραφήματα συναρτήσεων σε ένα σύστημα συντεταγμένων
y = x 2 - 4 και y =Ζχ (Εικ. 17.5). Το σχήμα δείχνει ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων στο= x 2- Το 4 βρίσκεται πάνω από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y = 3 Χστο Χ< -1 και x > 4, δηλ. το σύνολο των λύσεων στην αρχική ανισότητα είναι το σύνολο
(- ¥; -1) È (4; + οο) .
Απάντηση: x О(- oo; -1) και ( 4; + οο).
Πρόγραμμα τετραγωνική λειτουργία στο= τσεκούρι 2 + βχ + γείναι μια παραβολή με κλάδους στραμμένους προς τα πάνω αν α > 0 και κάτω αν ΕΝΑ< 0. Σε αυτή την περίπτωση, είναι δυνατές τρεις περιπτώσεις: η παραβολή τέμνει τον άξονα Ω(δηλαδή εξίσωση αχ 2+ bx+ γ =Το 0 έχει δύο διαφορετικές ρίζες). άξονας αφής παραβολής Χ(δηλαδή εξίσωση τσεκούρι 2 + βχ+ c = 0 έχει μία ρίζα). η παραβολή δεν τέμνει τον άξονα Ω(δηλαδή εξίσωση αχ 2+ bx+ γ =Το 0 δεν έχει ρίζες). Έτσι, υπάρχουν έξι πιθανές θέσεις της παραβολής, η οποία χρησιμεύει ως γραφική παράσταση της συνάρτησης y = αχ 2+β x + c(Εικ. 17.6). Χρησιμοποιώντας αυτές τις απεικονίσεις, μπορείτε να λύσετε τετραγωνικές ανισότητες.
Παράδειγμα 17.9.Λύστε την ανίσωση: α) 2 x g+ 5x - 3 > 0; β) -Zx 2 - 2x- 6 < 0.
Λύση,α) Η εξίσωση 2x 2 + 5x -3 = 0 έχει δύο ρίζες: x, = -3, x 2 = 0,5. Η παραβολή χρησιμεύει ως γραφική παράσταση μιας συνάρτησης στο= 2 x 2+ 5x -3, φαίνεται στο Σχ. ΕΝΑ.Ανισότητα 2 x 2+ 5x -3 > 0 ικανοποιείται για αυτές τις τιμές Χ,για τα οποία τα σημεία της παραβολής βρίσκονται πάνω από τον άξονα Ω:θα είναι στο Χ< х х ή πότε Χ> x g>εκείνοι. στο Χ< -3 ή σε x > 0,5. Αυτό σημαίνει ότι το σύνολο των λύσεων στην αρχική ανισότητα είναι το σύνολο των (- ¥; -3) και (0,5; + ¥).
β) Εξίσωση -Зх 2 + 2x-Το 6 = 0 δεν έχει πραγματικές ρίζες. Η παραβολή χρησιμεύει ως γραφική παράσταση μιας συνάρτησης στο= - 3x 2 - 2x - 6, που φαίνεται στο Σχ. 17.6 Ανισότητα -3x 2 - 2x - 6 < О выполняется при тех значениях Χ,για τα οποία τα σημεία της παραβολής βρίσκονται κάτω από τον άξονα Ω.Αφού ολόκληρη η παραβολή βρίσκεται κάτω από τον άξονα Ω,τότε το σύνολο των λύσεων στην αρχική ανισότητα είναι το σύνολο R .
ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ ΠΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΥΝ ΜΙΑ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗ ΚΑΤΩ ΤΟ ΣΗΜΑ ΤΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑΣ.Κατά την επίλυση αυτών των ανισοτήτων, θα πρέπει να ληφθεί υπόψη ότι:
|f(x) | =
f(x), Αν f(x) ³ 0,
- f(x), Αν f(x) < 0,
Σε αυτή την περίπτωση, το εύρος των επιτρεπόμενων τιμών της ανισότητας θα πρέπει να χωριστεί σε διαστήματα, σε καθένα από τα οποία οι εκφράσεις κάτω από το πρόσημο του συντελεστή διατηρούν το πρόσημά τους. Στη συνέχεια, επεκτείνοντας τις ενότητες (λαμβάνοντας υπόψη τα σημάδια των εκφράσεων), πρέπει να λύσετε την ανισότητα σε κάθε διάστημα και να συνδυάσετε τις λύσεις που προκύπτουν σε ένα σύνολο λύσεων στην αρχική ανισότητα.
Παράδειγμα 17.10.Λύστε την ανισότητα:
|x -1| + |2- x| > 3+x.
Λύση. Τα σημεία x = 1 και x = 2 διαιρούν τον αριθμητικό άξονα (ODZ της ανισότητας (17.9) σε τρία διαστήματα: x< 1, 1 £ х £.2, х >2. Ας λύσουμε αυτήν την ανισότητα για καθένα από αυτά. Αν x< 1, то х - 1 < 0 и 2 – х >0; επομένως |x -1| = - (x - I), |2 - x | = 2 - x. Αυτό σημαίνει ότι η ανισότητα (17,9) παίρνει τη μορφή: 1- x + 2 - x > 3 + x, δηλ. Χ< 0. Таким образом, в этом случае решениями неравенства (17.9) являются все отрицательные числа.
Αν 1 £ x £,2, τότε x - 1 ³ 0 και 2 – x ³ 0; επομένως | χ- 1| = x - 1, |2 - x| = 2 – x. Αυτό σημαίνει ότι το σύστημα έχει:
x – 1 + 2 – x > 3 + x,
Το προκύπτον σύστημα ανισοτήτων δεν έχει λύσεις. Επομένως, στο διάστημα [ 1; 2] το σύνολο των λύσεων της ανισότητας (17.9) είναι κενό.
Αν x > 2, τότε x - 1 >0 και 2 – x<0; поэтому | х - 1| = х- 1, |2-х| = -(2- х). Значит, имеет место система:
x -1 + x – 2 > 3+x,
x > 6 ή
Συνδυάζοντας τις λύσεις που βρέθηκαν σε όλα τα μέρη της ανισότητας ODZ (17.9), παίρνουμε τη λύση της - το σύνολο (-¥; 0) È (6; +oo).
Μερικές φορές είναι χρήσιμο να χρησιμοποιηθεί η γεωμετρική ερμηνεία του συντελεστή ενός πραγματικού αριθμού, σύμφωνα με την οποία | α | σημαίνει την απόσταση του σημείου α της γραμμής συντεταγμένων από την αρχή Ο και | α - β | σημαίνει την απόσταση μεταξύ των σημείων a και b στη γραμμή συντεταγμένων. Εναλλακτικά, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τη μέθοδο τετραγωνισμού και των δύο πλευρών της ανισότητας.
Θεώρημα 17.5. Αν εκφράσεις f(x) και g(x)για κάθε x πάρτε μόνο μη αρνητικές τιμές, τότε τις ανισώσεις f (x) > g (x)Και f (x) ² > g (x) ²είναι ισοδύναμα.
58. Κύρια συμπεράσματα § 12
Σε αυτή την ενότητα έχουμε ορίσει τα ακόλουθα έννοιες:
Αριθμητική παράσταση;
Εννοια αριθμητική έκφραση;
Μια έκφραση που δεν έχει νόημα.
Έκφραση με μεταβλητή(ες);
Περιοχή ορισμού έκφρασης;
Πανομοιότυπα ίσες εκφράσεις.
Ταυτότητα;
Πανομοιότυπος μετασχηματισμός μιας έκφρασης.
Αριθμητική ισότητα;
Αριθμητική ανισότητα;
Εξίσωση με μία μεταβλητή.
Ρίζα της εξίσωσης?
Τι σημαίνει να λύνεις μια εξίσωση;
Ισοδύναμες εξισώσεις.
Ανισότητα με μία μεταβλητή.
Επίλυση Ανισοτήτων;
Τι σημαίνει η επίλυση της ανισότητας;
Ισοδύναμες ανισότητες.
Επιπλέον, εξετάσαμε θεωρήματα για την ισοδυναμία των εξισώσεων και των ανισώσεων, τα οποία αποτελούν τη βάση για την επίλυσή τους.
Η γνώση των ορισμών όλων των παραπάνω εννοιών και θεωρημάτων για την ισοδυναμία εξισώσεων και ανισώσεων είναι απαραίτητη προϋπόθεση για μεθοδολογικά ικανή μελέτη αλγεβρικού υλικού με μαθητές δημοτικού.
Το θέμα του μαθήματος είναι «Επίλυση ανισοτήτων και των συστημάτων τους» (μαθηματικά τάξη 9)
Τύπος μαθήματος:μάθημα συστηματοποίησης και γενίκευσης γνώσεων και δεξιοτήτων
Τεχνολογία μαθήματος:τεχνολογία για την ανάπτυξη της κριτικής σκέψης, διαφοροποιημένη μάθηση, τεχνολογίες ΤΠΕ
Ο σκοπός του μαθήματος: επανάληψη και συστηματοποίηση της γνώσης σχετικά με τις ιδιότητες των ανισοτήτων και τις μεθόδους επίλυσής τους, δημιουργία συνθηκών για την ανάπτυξη των δεξιοτήτων για την εφαρμογή αυτής της γνώσης κατά την επίλυση τυπικών και δημιουργικών προβλημάτων.
Καθήκοντα.
Εκπαιδευτικός:
συμβάλλουν στην ανάπτυξη των δεξιοτήτων των μαθητών για γενίκευση της αποκτηθείσας γνώσης, διεξαγωγή ανάλυσης, σύνθεσης, συγκρίσεων και εξαγωγής των απαραίτητων συμπερασμάτων
οργανώνουν τις δραστηριότητες των μαθητών για την εφαρμογή της αποκτηθείσας γνώσης στην πράξη
προώθηση της ανάπτυξης δεξιοτήτων για την εφαρμογή της αποκτηθείσας γνώσης σε μη τυποποιημένες συνθήκες
Εκπαιδευτικός:
συνέχιση του σχηματισμού λογική σκέψη, προσοχή και μνήμη.
βελτίωση των δεξιοτήτων ανάλυσης, συστηματοποίησης, γενίκευσης.
δημιουργία συνθηκών που διασφαλίζουν την ανάπτυξη δεξιοτήτων αυτοελέγχου στους μαθητές.
προωθούν την απόκτηση των απαραίτητων δεξιοτήτων για ανεξάρτητες μαθησιακές δραστηριότητες.
Εκπαιδευτικός:
καλλιεργήστε πειθαρχία και ψυχραιμία, υπευθυνότητα, ανεξαρτησία, κριτική στάση απέναντι στον εαυτό σας και προσοχή.
Προγραμματισμένα εκπαιδευτικά αποτελέσματα.
Προσωπικός:υπεύθυνη στάση απέναντι στη μάθηση και επικοινωνιακή ικανότηταστην επικοινωνία και τη συνεργασία με συνομηλίκους στη διαδικασία εκπαιδευτικές δραστηριότητες.
Γνωστική:την ικανότητα να ορίζει έννοιες, να δημιουργεί γενικεύσεις, να επιλέγει ανεξάρτητα λόγους και κριτήρια ταξινόμησης, να δημιουργεί λογικούς συλλογισμούς και να εξάγει συμπεράσματα.
Ρυθμιστικό:την ικανότητα εντοπισμού πιθανών δυσκολιών κατά την επίλυση μιας εκπαιδευτικής και γνωστικής εργασίας και εύρεσης μέσων για την εξάλειψή τους, αξιολόγηση των επιτευγμάτων κάποιου
Διαχυτικός:την ικανότητα να κάνουν κρίσεις χρησιμοποιώντας μαθηματικούς όρους και έννοιες, να διατυπώνουν ερωτήσεις και απαντήσεις κατά τη διάρκεια της εργασίας, να ανταλλάσσουν γνώσεις μεταξύ των μελών της ομάδας για τη λήψη αποτελεσματικών κοινών αποφάσεων.
Βασικοί όροι και έννοιες:γραμμική ανισότητα, τετραγωνική ανισότητα, σύστημα ανισοτήτων.
Εξοπλισμός
Προβολέας, φορητός υπολογιστής καθηγητή, πολλά netbook για μαθητές.
Παρουσίαση;
Κάρτες με βασικές γνώσεις και δεξιότητες για το θέμα του μαθήματος (Παράρτημα 1).
Κάρτες με ανεξάρτητη εργασία (Παράρτημα 2).
Πλάνο μαθήματος
| Κατά τη διάρκεια των μαθημάτων |
|||
| Τεχνολογικά στάδια. Στόχος. | Δραστηριότητες εκπαιδευτικών | Δραστηριότητες μαθητών | |
| Εισαγωγικό και κίνητρο |
|||
| 1.ΟργανωτικόςΣτόχος: ψυχολογική προετοιμασία για επικοινωνία. | Γειά σου. Χαίρομαι που σας βλέπω όλους. Κάτσε κάτω. Ελέγξτε αν τα έχετε όλα έτοιμα για το μάθημα. Αν όλα είναι εντάξει, τότε κοίτα με. | Λένε γεια. Ελέγξτε τα αξεσουάρ. Ετοιμάζομαι για την δουλειά. | Προσωπικός.Διαμορφώνεται μια υπεύθυνη στάση απέναντι στη μάθηση. |
| 2.Ενημέρωση γνώσεων (2 λεπτά) Στόχος: εντοπισμός μεμονωμένων κενών γνώσης σε ένα θέμα | Το θέμα του μαθήματός μας είναι «Επίλυση ανισοτήτων με μία μεταβλητή και τα συστήματά τους». (διαφάνεια 1) Ακολουθεί μια λίστα με βασικές γνώσεις και δεξιότητες σχετικά με το θέμα. Αξιολογήστε τις γνώσεις και τις δεξιότητές σας. Τοποθετήστε τα κατάλληλα εικονίδια. (διαφάνεια 2) | Αξιολογούν τις δικές τους γνώσεις και δεξιότητες. (Παράρτημα 1) | Ρυθμιστική Αυτοαξιολόγηση των γνώσεων και των δεξιοτήτων σας |
| 3.Κίνητρο (2 λεπτά) Σκοπός: να παρέχει δραστηριότητες για τον καθορισμό των στόχων του μαθήματος . | ΣΕ έργο του ΟΓΕστα μαθηματικά, πολλές ερωτήσεις τόσο στο πρώτο όσο και στο δεύτερο μέρος καθορίζουν την ικανότητα επίλυσης ανισοτήτων. Τι χρειάζεται να επαναλάβουμε στην τάξη για να ολοκληρώσουμε με επιτυχία αυτές τις εργασίες; | Αιτιολογούν και ονομάζουν ερωτήσεις για επανάληψη. | Γνωστική.Προσδιορίστε και διατυπώστε έναν γνωστικό στόχο. |
| Στάδιο σύλληψης (συστατικό περιεχομένου) |
|||
| 4.Αυτοεκτίμηση και επιλογή τροχιάς (1-2 λεπτά) | Ανάλογα με το πώς αξιολογήσατε τις γνώσεις και τις δεξιότητές σας στο θέμα, επιλέξτε τη μορφή εργασίας στο μάθημα. Μπορείτε να συνεργαστείτε με όλη την τάξη μαζί μου. Μπορείτε να εργαστείτε μεμονωμένα σε netbook, χρησιμοποιώντας τις συμβουλές μου, ή σε ζευγάρια, βοηθώντας ο ένας τον άλλον. | Καθορίζεται με μια ατομική διαδρομή μάθησης. Εάν χρειάζεται, αλλάξτε θέσεις. | Ρυθμιστική να εντοπίσουν πιθανές δυσκολίες κατά την επίλυση μιας εκπαιδευτικής και γνωστικής εργασίας και να βρουν μέσα για την εξάλειψή τους |
| 5-7 Εργασία σε ζευγάρια ή ατομικά (25 λεπτά) | Ο δάσκαλος συμβουλεύει τους μαθητές να εργάζονται ανεξάρτητα. | Οι μαθητές που γνωρίζουν καλά το θέμα εργάζονται ατομικά ή σε ζευγάρια με μια παρουσίαση (διαφάνειες 4-10) Ολοκληρώστε τις εργασίες (διαφάνειες 6,9). | Γνωστική ικανότητα ορισμού εννοιών, δημιουργίας γενικεύσεων, δημιουργίας λογικής αλυσίδας Ρυθμιστικήτην ικανότητα προσδιορισμού ενεργειών σύμφωνα με το εκπαιδευτικό και γνωστικό έργο Επικοινωνίαικανότητα οργάνωσης εκπαιδευτικής συνεργασίας και κοινές δραστηριότητες, εργαστείτε με την πηγή πληροφοριών Προσωπικόςυπεύθυνη στάση στη μάθηση, ετοιμότητα και ικανότητα για αυτο-ανάπτυξη και αυτομόρφωση |
| 5. Επίλυση γραμμικών ανισώσεων. (10 λεπτά) | Ποιες ιδιότητες των ανισώσεων χρησιμοποιούμε για να τις λύσουμε; Μπορείτε να διακρίνετε τις γραμμικές και τις τετραγωνικές ανισότητες και τα συστήματά τους; (διαφάνεια 5) Πώς να λύσετε τη γραμμική ανισότητα; Ακολουθήστε τη λύση. (διαφάνεια 6) Ο δάσκαλος παρακολουθεί τη λύση στον πίνακα. Ελέγξτε εάν η λύση σας είναι σωστή. | Ονομάστε τις ιδιότητες των ανισοτήτων μετά την απάντηση ή σε περίπτωση δυσκολίας, ο δάσκαλος ανοίγει τη διαφάνεια 4. Να αναφέρετε τα διακριτικά γνωρίσματα των ανισοτήτων. Χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες των ανισοτήτων. Ένας μαθητής λύνει την ανίσωση Νο. 1 στον πίνακα. Τα υπόλοιπα βρίσκονται σε σημειωματάρια, μετά από απόφαση του απαντητή. Οι ανισότητες Νο. 2 και 3 ικανοποιούνται ανεξάρτητα. Ελέγχουν την έτοιμη απάντηση. | Γνωστική Επικοινωνία |
| 6. Επίλυση τετραγωνικών ανισώσεων. (10 λεπτά) | Πώς να λύσετε την ανισότητα; Τι είδους ανισότητα είναι αυτή; Ποιες μέθοδοι χρησιμοποιούνται για την επίλυση τετραγωνικών ανισώσεων; Ας θυμηθούμε τη μέθοδο της παραβολής (διαφάνεια 7) Ο δάσκαλος ανακαλεί τα στάδια επίλυσης μιας ανισότητας. Η μέθοδος διαστήματος χρησιμοποιείται για την επίλυση ανισώσεων του δεύτερου ή περισσότερων υψηλούς βαθμούς. (διαφάνεια 8) Για να λύσετε τετραγωνικές ανισότητες, μπορείτε να επιλέξετε μια μέθοδο που σας βολεύει. Λύστε τις ανισότητες. (διαφάνεια 9). Ο δάσκαλος παρακολουθεί την πρόοδο της λύσης και ανακαλεί μεθόδους επίλυσης ημιτελών τετραγωνικών εξισώσεων. Ο δάσκαλος συμβουλεύει τους μαθητές που εργάζονται ατομικά. | Απάντηση: Τετραγωνική ανισότηταΛύνουμε χρησιμοποιώντας τη μέθοδο της παραβολής ή τη μέθοδο του διαστήματος. Οι μαθητές παρακολουθούν τη λύση παρουσίασης. Στον πίνακα οι μαθητές λύνουν εναλλάξ τις ανισότητες Νο. 1 και 2. Ελέγχουν την απάντηση. (για να λύσετε το νεύρο Νο. 2, πρέπει να θυμάστε τη μέθοδο επίλυσης ημιτελών τετραγωνικών εξισώσεων). Η ανισότητα Νο. 3 λύνεται ανεξάρτητα και ελέγχεται με την απάντηση. | Γνωστική την ικανότητα να ορίζει έννοιες, να δημιουργεί γενικεύσεις, να δημιουργεί συλλογισμούς από γενικά πρότυπα σε συγκεκριμένες λύσεις Επικοινωνίατην ικανότητα να παρουσιάζει ένα λεπτομερές σχέδιο των δικών του δραστηριοτήτων προφορικά και γραπτά· |
| 7. Επίλυση συστημάτων ανισοτήτων (4-5 λεπτά) | Θυμηθείτε τα στάδια επίλυσης ενός συστήματος ανισοτήτων. Επίλυση του συστήματος (Διαφάνεια 10) | Ονομάστε τα στάδια της λύσης Ο μαθητής λύνει στον πίνακα και ελέγχει τη λύση στη διαφάνεια. | |
| Αναστοχαστικό-αξιολογικό στάδιο |
|||
| 8.Έλεγχος και έλεγχος γνώσεων (10 λεπτά) Στόχος: να προσδιοριστεί η ποιότητα της εκμάθησης του υλικού. | Ας δοκιμάσουμε τις γνώσεις σας για το θέμα. Λύστε τα προβλήματα μόνοι σας. Ο δάσκαλος ελέγχει το αποτέλεσμα χρησιμοποιώντας έτοιμες απαντήσεις. | Εκτελέστε ανεξάρτητη εργασία σε επιλογές (Παράρτημα 2) Αφού ολοκληρώσει την εργασία, ο μαθητής το αναφέρει στον δάσκαλο. Ο μαθητής καθορίζει τον βαθμό του σύμφωνα με τα κριτήρια (διαφάνεια 11). Εάν η εργασία ολοκληρωθεί με επιτυχία, μπορεί να ξεκινήσει μια πρόσθετη εργασία (διαφάνεια 11) | Γνωστική.Δημιουργήστε λογικές αλυσίδες συλλογισμού. |
| 9. Αντανάκλαση (2 λεπτά) Στόχος: διαμορφώνεται επαρκής αυτοεκτίμηση για τις ικανότητες και τις ικανότητες, τα πλεονεκτήματα και τους περιορισμούς κάποιου | Υπάρχει βελτίωση στο αποτέλεσμα; Εάν εξακολουθείτε να έχετε ερωτήσεις, ανατρέξτε στο σχολικό βιβλίο στο σπίτι (σελ. 120) | Αξιολογούν τις γνώσεις και τις δεξιότητές τους στο ίδιο χαρτί (Παράρτημα 1). Συγκρίνετε με την αυτοεκτίμηση στην αρχή του μαθήματος και βγάλτε συμπεράσματα. | Ρυθμιστική Αυτοαξιολόγηση των επιτευγμάτων σας |
| 10. Εργασία για το σπίτι (2 λεπτά) Στόχος: εμπέδωση του μελετημένου υλικού. | Προσδιορίστε την εργασία για το σπίτι με βάση τα αποτελέσματα ανεξάρτητης εργασίας (διαφάνεια 13) | Προσδιορίστε και καταγράψτε ατομική εργασία | Γνωστική.Δημιουργήστε λογικές αλυσίδες συλλογισμού. Αναλύστε και μετασχηματίστε πληροφορίες. |
Κατάλογος χρησιμοποιημένης βιβλιογραφίας: Αλγεβρα.Το εγχειρίδιο για την 9η τάξη. / Yu.N.Makrychev, N.G.Mindyuk, K.I.Neshkov, S.B.Suvorova. - Μ.: Εκπαίδευση, 2014
Ένα πρόγραμμα για την επίλυση γραμμικών, τετραγωνικών και κλασματικών ανισώσεων όχι μόνο δίνει την απάντηση στο πρόβλημα, αλλά δίνει λεπτομερής λύσημε εξηγήσεις, δηλ. εμφανίζει τη διαδικασία λύσης για τον έλεγχο γνώσεων στα μαθηματικά ή/και στην άλγεβρα.
Επιπλέον, εάν κατά τη διαδικασία επίλυσης μιας από τις ανισότητες είναι απαραίτητο να λυθεί, για παράδειγμα, τετραγωνική εξίσωση, τότε εμφανίζεται και η λεπτομερής λύση του (περιέχει spoiler).
Αυτό το πρόγραμμα μπορεί να είναι χρήσιμο για μαθητές γυμνασίου κατά την προετοιμασία δοκιμές, στους γονείς να παρακολουθούν τις λύσεις των παιδιών τους στις ανισότητες.
Αυτό το πρόγραμμα μπορεί να είναι χρήσιμο για μαθητές γυμνασίου σχολεία δευτεροβάθμιας εκπαίδευσηςκατά την προετοιμασία για τεστ και εξετάσεις, κατά τον έλεγχο γνώσεων πριν από την Ενιαία Κρατική Εξέταση, για τους γονείς να ελέγχουν την επίλυση πολλών προβλημάτων στα μαθηματικά και την άλγεβρα.
Ή μήπως είναι πολύ ακριβό για εσάς να προσλάβετε έναν δάσκαλο ή να αγοράσετε νέα σχολικά βιβλία; Ή απλά θέλετε να ολοκληρώσετε την εργασία σας στα μαθηματικά ή την άλγεβρα όσο το δυνατόν γρηγορότερα; Σε αυτήν την περίπτωση, μπορείτε επίσης να χρησιμοποιήσετε τα προγράμματά μας με λεπτομερείς λύσεις.
Κανόνες εισαγωγής ανισοτήτων
Οποιοδήποτε λατινικό γράμμα μπορεί να λειτουργήσει ως μεταβλητή.
Για παράδειγμα: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\), κ.λπ.
Οι αριθμοί μπορούν να εισαχθούν ως ακέραιοι ή κλασματικοί αριθμοί.
Επιπλέον, οι κλασματικοί αριθμοί μπορούν να εισαχθούν όχι μόνο με τη μορφή δεκαδικού, αλλά και με τη μορφή ενός συνηθισμένου κλάσματος.
Κανόνες εισαγωγής δεκαδικών κλασμάτων.
Στα δεκαδικά κλάσματα, το κλασματικό μέρος μπορεί να διαχωριστεί από ολόκληρο το μέρος είτε με τελεία είτε με κόμμα.
Για παράδειγμα, μπορείτε να εισάγετε δεκαδικάως εξής: 2,5x - 3,5x^2
Κανόνες εισαγωγής συνηθισμένων κλασμάτων.
Μόνο ένας ακέραιος αριθμός μπορεί να λειτουργήσει ως αριθμητής, παρονομαστής και ακέραιο μέρος ενός κλάσματος.
Ο παρονομαστής δεν μπορεί να είναι αρνητικός.
Όταν εισάγετε ένα αριθμητικό κλάσμα, ο αριθμητής διαχωρίζεται από τον παρονομαστή με ένα σύμβολο διαίρεσης: /
Ολόκληρο το τμήμα χωρίζεται από το κλάσμα με το σύμβολο του συμπλεκτικού: &
Είσοδος: 3&1/3 - 5&6/5y +1/7y^2
Αποτέλεσμα: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) y + \frac(1)(7)y^2 \)
Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε παρενθέσεις κατά την εισαγωγή εκφράσεων. Σε αυτήν την περίπτωση, κατά την επίλυση ανισώσεων, οι εκφράσεις απλοποιούνται πρώτα.
Για παράδειγμα: 5(a+1)^2+2&3/5+a > 0,6(a-2)(a+3)
Επιλέγω το σωστό σημάδιανισώσεις και εισαγάγετε τα πολυώνυμα στα παρακάτω πλαίσια.
Λύστε το σύστημα των ανισοτήτων Ανακαλύφθηκε ότι ορισμένα σενάρια που είναι απαραίτητα για την επίλυση αυτού του προβλήματος δεν φορτώθηκαν και το πρόγραμμα ενδέχεται να μην λειτουργεί.
Μπορεί να έχετε ενεργοποιημένο το AdBlock.
Σε αυτήν την περίπτωση, απενεργοποιήστε το και ανανεώστε τη σελίδα.
Για να εμφανιστεί η λύση, πρέπει να ενεργοποιήσετε τη JavaScript.
Ακολουθούν οδηγίες σχετικά με τον τρόπο ενεργοποίησης της JavaScript στο πρόγραμμα περιήγησής σας.
Επειδή Υπάρχουν πολλοί άνθρωποι που είναι πρόθυμοι να λύσουν το πρόβλημα, το αίτημά σας έχει μπει στην ουρά.
Σε λίγα δευτερόλεπτα η λύση θα εμφανιστεί παρακάτω.
Παρακαλώ περιμένετε δευτερόλεπτο...
Αν εσύ παρατήρησε ένα σφάλμα στη λύση, τότε μπορείτε να γράψετε για αυτό στη Φόρμα σχολίων.
Μην ξεχάσεις υποδεικνύουν ποια εργασίαεσύ αποφασίζεις τι εισάγετε στα πεδία.
Τα παιχνίδια, τα παζλ, οι εξομοιωτές μας:
Λίγη θεωρία.
Συστήματα ανισοτήτων με ένα άγνωστο. Αριθμητικά διαστήματα
Εξοικειωθείτε με την έννοια του συστήματος στην 7η δημοτικού και μάθατε να λύνετε συστήματα γραμμικών εξισώσεων με δύο αγνώστους. Στη συνέχεια θα εξετάσουμε συστήματα γραμμικών ανισώσεων με ένα άγνωστο. Τα σύνολα λύσεων σε συστήματα ανισοτήτων μπορούν να γραφτούν χρησιμοποιώντας διαστήματα (διαστήματα, μισά διαστήματα, τμήματα, ακτίνες). Θα εξοικειωθείτε επίσης με τη σημειογραφία των διαστημάτων αριθμών.
Εάν στις ανισώσεις \(4x > 2000\) και \(5x \leq 4000\) ο άγνωστος αριθμός x είναι ο ίδιος, τότε αυτές οι ανισώσεις θεωρούνται μαζί και λέγεται ότι σχηματίζουν ένα σύστημα ανισώσεων: $$ \left\ (\begin( array)(l) 4x > 2000 \\ 5x \leq 4000 \end(array)\right $$.
Η σγουρή αγκύλη δείχνει ότι πρέπει να βρείτε τιμές του x για τις οποίες και οι δύο ανισώσεις του συστήματος μετατρέπονται σε σωστές αριθμητικές ανισώσεις. Αυτό το σύστημα- ένα παράδειγμα συστήματος γραμμικών ανισοτήτων με έναν άγνωστο.
Η λύση σε ένα σύστημα ανισώσεων με έναν άγνωστο είναι η τιμή του αγνώστου στην οποία όλες οι ανισώσεις του συστήματος μετατρέπονται σε αληθινές αριθμητικές ανισώσεις. Η επίλυση ενός συστήματος ανισοτήτων σημαίνει την εύρεση όλων των λύσεων σε αυτό το σύστημα ή τη διαπίστωση ότι δεν υπάρχουν.
Οι ανισώσεις \(x \geq -2 \) και \(x \leq 3 \) μπορούν να γραφτούν ως διπλή ανισότητα: \(-2 \leq x \leq 3 \).
Οι λύσεις σε συστήματα ανισώσεων με έναν άγνωστο είναι διάφορα αριθμητικά σύνολα. Αυτά τα σετ έχουν ονόματα. Έτσι, στον αριθμητικό άξονα, το σύνολο των αριθμών x έτσι ώστε \(-2 \leq x \leq 3 \) να παριστάνεται από ένα τμήμα με άκρα στα σημεία -2 και 3.
| -2 | 3 |
Αν το \(a είναι τμήμα και συμβολίζεται με [a; b]
Αν \(a είναι ένα διάστημα και συμβολίζεται με (a; b)
Τα σύνολα αριθμών \(x\) που ικανοποιούν τις ανισώσεις \(a \leq x είναι μισά διαστήματα και συμβολίζονται αντίστοιχα [a; b) και (a; b]
Τα τμήματα, τα διαστήματα, τα ημιδιαστήματα και οι ακτίνες ονομάζονται αριθμητικά διαστήματα.
Έτσι, τα αριθμητικά διαστήματα μπορούν να καθοριστούν με τη μορφή ανισώσεων.
Η λύση μιας ανισότητας σε δύο αγνώστους είναι ένα ζεύγος αριθμών (x; y) που μετατρέπει τη δεδομένη ανισότητα σε αληθινή αριθμητική ανισότητα. Η επίλυση μιας ανισότητας σημαίνει την εύρεση του συνόλου όλων των λύσεών της. Έτσι, οι λύσεις στην ανίσωση x > y θα είναι, για παράδειγμα, ζεύγη αριθμών (5; 3), (-1; -1), αφού \(5 \geq 3 \) και \(-1 \geq - 1\)
Επίλυση συστημάτων ανισοτήτων
Έχετε ήδη μάθει πώς να λύνετε γραμμικές ανισότητες με έναν άγνωστο. Ξέρετε τι είναι ένα σύστημα ανισοτήτων και μια λύση στο σύστημα; Επομένως, η διαδικασία επίλυσης συστημάτων ανισοτήτων με ένα άγνωστο δεν θα σας δημιουργήσει δυσκολίες.
Και όμως, να σας υπενθυμίσουμε: για να λύσετε ένα σύστημα ανισοτήτων, πρέπει να λύσετε κάθε ανισότητα ξεχωριστά και στη συνέχεια να βρείτε την τομή αυτών των λύσεων.
Για παράδειγμα, το αρχικό σύστημα ανισοτήτων περιορίστηκε στη μορφή:
$$ \left\(\begin(array)(l) x \geq -2 \\ x \leq 3 \end(array)\right. $$
Για να λύσετε αυτό το σύστημα ανισώσεων, σημειώστε τη λύση κάθε ανισότητας στην αριθμητική γραμμή και βρείτε το σημείο τομής τους:
| -2 | 3 |
Η τομή είναι το τμήμα [-2; 3] - αυτή είναι η λύση στο αρχικό σύστημα ανισοτήτων.