Resolución de ecuaciones de potencia exponencial, algoritmos y ejemplos. ¿Qué es una ecuación exponencial y cómo resolverla?

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Resolver cualquier tipo de ecuaciones online en el sitio para estudiantes y escolares para consolidar el material estudiado. Resolver ecuaciones online. Ecuaciones en línea. Hay ecuaciones algebraicas, paramétricas, trascendentales, funcionales, diferenciales y de otro tipo. Algunas clases de ecuaciones tienen soluciones analíticas, que son convenientes porque no solo dan. valor exacto root, pero le permite escribir la solución en forma de fórmula, que puede incluir parámetros. Las expresiones analíticas permiten no sólo calcular las raíces, sino también analizar su existencia y su cantidad en función de los valores de los parámetros, lo que suele ser aún más importante para aplicación práctica, que los valores específicos de las raíces. Resolver ecuaciones online.. Ecuaciones online. Resolver una ecuación es la tarea de encontrar los valores de los argumentos en los que se logra esta igualdad. Se pueden imponer condiciones adicionales (entero, real, etc.) a los posibles valores de los argumentos. Resolver ecuaciones online.. Ecuaciones online. Puede resolver la ecuación en línea al instante y con una alta precisión del resultado. Los argumentos de funciones específicas (a veces llamadas "variables") se denominan "incógnitas" en el caso de una ecuación. Los valores de las incógnitas en las que se consigue esta igualdad se denominan soluciones o raíces. ecuación dada. Se dice que las raíces satisfacen esta ecuación. Resolver una ecuación en línea significa encontrar el conjunto de todas sus soluciones (raíces) o demostrar que no hay raíces. Resolver ecuaciones online.. Ecuaciones online. Las ecuaciones cuyos conjuntos de raíces coinciden se llaman equivalentes o iguales. Las ecuaciones que no tienen raíces también se consideran equivalentes. La equivalencia de ecuaciones tiene la propiedad de simetría: si una ecuación es equivalente a otra, entonces la segunda ecuación es equivalente a la primera. La equivalencia de ecuaciones tiene la propiedad de transitividad: si una ecuación es equivalente a otra y la segunda a una tercera, entonces la primera ecuación es equivalente a la tercera. La propiedad de equivalencia de las ecuaciones nos permite realizar transformaciones con ellas, en las que se basan los métodos para resolverlas. Resolver ecuaciones online.. Ecuaciones online. El sitio le permitirá resolver la ecuación en línea. Las ecuaciones para las cuales se conocen soluciones analíticas incluyen ecuaciones algebraicas de no más de cuarto grado: ecuación lineal, ecuación cuadrática, ecuación cúbica y ecuación de cuarto grado. Las ecuaciones algebraicas de grados superiores en el caso general no tienen solución analítica, aunque algunas de ellas pueden reducirse a ecuaciones de grados inferiores. Las ecuaciones que incluyen funciones trascendentales se llaman trascendentales. Entre ellos, se conocen soluciones analíticas para algunas ecuaciones trigonométricas, ya que los ceros funciones trigonométricas bien conocido. En el caso general, cuando no se puede encontrar una solución analítica, se utilizan métodos numéricos. Los métodos numéricos no proporcionan una solución exacta, sino que sólo permiten reducir el intervalo en el que se encuentra la raíz a uno predeterminado. valor ajustado. Resolver ecuaciones en línea... Ecuaciones en línea... En lugar de una ecuación en línea, imaginaremos cómo la misma expresión forma una relación lineal, no solo a lo largo de una recta tangente, sino también en el mismo punto de inflexión de la gráfica. Este método es indispensable en todo momento en el estudio de la materia. A menudo sucede que al resolver ecuaciones se acerca al valor final utilizando números infinitos y escribiendo vectores. Es necesario comprobar los datos iniciales y ésta es la esencia de la tarea. De lo contrario, la condición local se convierte en una fórmula. Inversión a lo largo de una línea recta desde función dada, que la calculadora de ecuaciones calculará sin mucha demora en la ejecución, el desplazamiento se cumplirá con el privilegio del espacio. Hablaremos sobre el éxito de los estudiantes en el entorno científico. Sin embargo, como todo lo anterior, nos ayudará en el proceso de encontrar y cuando resuelvas la ecuación por completo, almacenar la respuesta resultante en los extremos del segmento de recta. Las líneas en el espacio se cruzan en un punto y este punto se llama intersectado por las líneas. El intervalo en la línea se indica como se especificó anteriormente. Se publicará el puesto más alto para el estudio de las matemáticas. Asignar un valor de argumento a partir de una superficie especificada paramétricamente y resolver la ecuación en línea podrá delinear los principios del acceso productivo a una función. La tira de Möbius, o el infinito como se la llama, parece un ocho. Ésta es una superficie de un solo lado, no de dos lados. Según el principio generalmente conocido por todos, aceptaremos objetivamente como denominación básica las ecuaciones lineales, tal como lo son en el campo de la investigación. Sólo dos valores de argumentos dados secuencialmente pueden revelar la dirección del vector. Suponer que otra solución a las ecuaciones en línea es mucho más que simplemente resolverla significa obtener como resultado una versión completa del invariante. Sin enfoque integrado a los estudiantes les resulta difícil estudiar este material . Como antes, para cada caso especial, nuestra conveniente e inteligente calculadora de ecuaciones en línea ayudará a todos en tiempos difíciles, porque solo necesita especificar los parámetros de entrada y el propio sistema calculará la respuesta. Antes de comenzar a ingresar datos, necesitaremos una herramienta de ingreso, lo cual se puede hacer sin mucha dificultad. El número de cada estimación de respuesta conducirá a una ecuación cuadrática a nuestras conclusiones, pero esto no es tan fácil de hacer porque es fácil demostrar lo contrario. La teoría, por sus características, no se sustenta en conocimientos prácticos. Ver una calculadora de fracciones en la etapa de publicar la respuesta no es una tarea fácil en matemáticas, ya que la alternativa de escribir un número en un conjunto ayuda a incrementar el crecimiento de la función. Sin embargo, sería incorrecto no hablar de enseñar a los estudiantes, por lo que cada uno diremos todo lo que sea necesario hacer. La ecuación cúbica encontrada anteriormente pertenecerá legítimamente al dominio de la definición y contendrá el espacio de valores numéricos, así como variables simbólicas. Habiendo aprendido o memorizado el teorema, nuestros estudiantes se mostrarán lo mejor que pueden y estaremos felices por ellos. A diferencia de las intersecciones de campos múltiples, nuestras ecuaciones en línea se describen mediante un plano de movimiento multiplicando dos y tres líneas numéricas combinadas. Un conjunto en matemáticas no está definido de forma única. La mejor solución, según los estudiantes, es una grabación completa de la expresión. Como se dijo en el lenguaje científico, la abstracción de expresiones simbólicas no entra en el estado de cosas, pero la solución de ecuaciones da un resultado inequívoco en todos los casos conocidos. La duración de la lección del profesor depende de las necesidades de esta propuesta. El análisis mostró la necesidad de todas las técnicas computacionales en muchas áreas, y está absolutamente claro que una calculadora de ecuaciones es una herramienta indispensable en las manos talentosas de un estudiante. Un enfoque leal al estudio de las matemáticas determina la importancia de las opiniones desde diferentes direcciones. Desea identificar uno de los teoremas clave y resolver la ecuación de tal manera, dependiendo de cuya respuesta habrá una necesidad adicional de su aplicación. Los análisis en esta área están ganando impulso. Comencemos desde el principio y derivemos la fórmula. Habiendo superado el nivel de aumento de la función, la línea tangente en el punto de inflexión seguramente conducirá al hecho de que resolver la ecuación en línea será uno de los aspectos principales en la construcción de esa misma gráfica a partir del argumento de la función. Tiene derecho a aplicarse un enfoque amateur si esta condición no contradice las conclusiones de los estudiantes. Es la subtarea que pone en un segundo plano el análisis de condiciones matemáticas como ecuaciones lineales en el ámbito existente de definición del objeto. La compensación en la dirección de la ortogonalidad anula la ventaja de un único valor absoluto. La resolución de ecuaciones en módulo en línea da la misma cantidad de soluciones si abre los paréntesis primero con un signo más y luego con un signo menos. En este caso, habrá el doble de soluciones y el resultado será más preciso. Una calculadora de ecuaciones en línea estable y correcta es el éxito en la consecución del objetivo previsto en la tarea planteada por el profesor. Parece posible elegir el método correcto debido a las diferencias significativas en las opiniones de los grandes científicos. La ecuación cuadrática resultante describe la curva de las rectas, la llamada parábola, y el signo determinará su convexidad en el sistema de coordenadas del cuadrado. De la ecuación obtenemos tanto el discriminante como las propias raíces según el teorema de Vieta. El primer paso es representar la expresión como una fracción propia o impropia y usar una calculadora de fracciones. Dependiendo de esto, se formará el plan para nuestros cálculos posteriores. Las matemáticas con un enfoque teórico serán útiles en cada etapa. Definitivamente presentaremos el resultado como una ecuación cúbica, porque ocultaremos sus raíces en esta expresión para simplificar la tarea de un estudiante de una universidad. Cualquier método es bueno si es adecuado para un análisis superficial. Las operaciones aritméticas adicionales no darán lugar a errores de cálculo. Determina la respuesta con una precisión determinada. Usando la solución de ecuaciones, seamos realistas: encontrar la variable independiente de una función dada no es tan fácil, especialmente durante el período de estudio de líneas paralelas al infinito. Dada la excepción, la necesidad es muy obvia. La diferencia de polaridad es clara. De la experiencia de enseñar en institutos, nuestra maestra aprendió lección principal, en el que se estudiaron ecuaciones online en pleno sentido matemático. Aquí estábamos hablando de mayores esfuerzos y habilidades especiales en la aplicación de la teoría. A favor de nuestras conclusiones, no hay que mirar a través de un prisma. Hasta hace poco, se creía que un conjunto cerrado aumenta rápidamente en la región tal como está y simplemente es necesario investigar la solución de las ecuaciones. En la primera etapa no consideramos todo. opciones posibles, pero este enfoque está más justificado que nunca. Las acciones extra entre paréntesis justifican algunos avances a lo largo de los ejes de ordenadas y abscisas, que no pueden pasar desapercibidos a simple vista. En el sentido de un amplio aumento proporcional de la función, hay un punto de inflexión. Una vez más demostraremos cómo se aplicará la condición necesaria durante todo el intervalo de disminución de una u otra posición descendente del vector. En un espacio reducido, seleccionaremos una variable del bloque inicial de nuestro script. Un sistema construido sobre la base de tres vectores es responsable de la ausencia del momento de fuerza principal. Sin embargo, la calculadora de ecuaciones generó y ayudó a encontrar todos los términos de la ecuación construida, tanto sobre la superficie como a lo largo de líneas paralelas. Dibujemos un círculo alrededor del punto de partida. Así, comenzaremos a movernos hacia arriba a lo largo de las líneas de sección, y la tangente describirá el círculo en toda su longitud, dando como resultado una curva llamada involuta. Por cierto, contemos un poco de historia sobre esta curva. El hecho es que históricamente en matemáticas no existía el concepto de matemáticas en sí. pura comprensión como hoy. Anteriormente, todos los científicos se dedicaban a una tarea común: la ciencia. Más tarde, varios siglos después, cuando mundo científico Llena de una cantidad colosal de información, la humanidad todavía identificó muchas disciplinas. Todavía permanecen sin cambios. Y, sin embargo, cada año, científicos de todo el mundo intentan demostrar que la ciencia es ilimitada y que no se resolverá la ecuación a menos que se tengan conocimientos de las ciencias naturales. Quizás no sea posible ponerle fin finalmente. Pensar en esto es tan inútil como calentar el aire exterior. Encontremos el intervalo en el que el argumento, si su valor es positivo, determinará el módulo del valor en una dirección fuertemente creciente. La reacción te ayudará a encontrar al menos tres soluciones, pero tendrás que comprobarlas. Comencemos con el hecho de que necesitamos resolver la ecuación en línea utilizando el servicio exclusivo de nuestro sitio web. Presentemos ambas partes. ecuación dada, haz clic en el botón “SOLVER” y obtén la respuesta exacta en tan solo unos segundos. En casos especiales, tomemos un libro de matemáticas y verifiquemos nuestra respuesta, es decir, miremos solo la respuesta y todo quedará claro. Se lanzará el mismo proyecto para un paralelepípedo artificial redundante. Hay un paralelogramo con su lados paralelos, y explica muchos principios y enfoques para estudiar la relación espacial del proceso ascendente de acumulación de espacio hueco en fórmulas de forma natural. Las ecuaciones lineales ambiguas muestran la dependencia de la variable deseada de nuestro común este momento solución de tiempo y necesita de alguna manera derivar y reducir la fracción impropia a un caso no trivial. Marque diez puntos en la línea recta y dibuje una curva a través de cada punto en la dirección dada, con la punta convexa hacia arriba. Sin mucha dificultad, nuestra calculadora de ecuaciones presentará una expresión de tal forma que su verificación de la validez de las reglas será obvia incluso al comienzo de la grabación. El sistema de representaciones especiales de estabilidad para los matemáticos es lo primero, a menos que la fórmula disponga lo contrario. Responderemos a esto con una presentación detallada de un informe sobre el tema del estado isomorfo de un sistema plástico de cuerpos y resolveremos ecuaciones en línea describiremos el movimiento de cada punto material en este sistema. A nivel de investigación en profundidad, será necesario aclarar en detalle la cuestión de las inversiones de al menos la capa inferior del espacio. Ascendiendo en el apartado donde la función es discontinua, aplicaremos el método general de un excelente investigador, por cierto, nuestro compatriota, y contaremos a continuación sobre el comportamiento del avión. Debido a las fuertes características de una función definida analíticamente, solo utilizamos la calculadora de ecuaciones en línea para el propósito previsto dentro de los límites de autoridad derivados. Razonando más, centraremos nuestra revisión en la homogeneidad de la ecuación misma, es decir, su lado derecho es igual a cero. Asegurémonos una vez más de que nuestra decisión en matemáticas sea correcta. Para evitar obtener una solución trivial, haremos algunos ajustes a las condiciones iniciales del problema de estabilidad condicional del sistema. Creemos una ecuación cuadrática, para la cual escribimos dos entradas usando una fórmula conocida y encontramos las raíces negativas. Si una raíz es cinco unidades más grande que la segunda y la tercera raíz, al realizar cambios en el argumento principal distorsionamos las condiciones iniciales de la subtarea. Por su propia naturaleza, algo inusual en matemáticas siempre puede describirse hasta la centésima más cercana de un número positivo. La calculadora de fracciones es varias veces superior a sus contrapartes en recursos similares en el mejor momento de carga del servidor. En la superficie del vector de velocidad que crece a lo largo del eje de ordenadas, dibujamos siete líneas, dobladas en direcciones opuestas entre sí. La conmensurabilidad del argumento de la función asignada está por delante de las lecturas del contador del saldo de recuperación. En matemáticas podemos representar este fenómeno mediante una ecuación cúbica con coeficientes imaginarios, así como en la progresión bipolar de rectas decrecientes. Los puntos críticos de diferencia de temperatura, en muchos sentidos, describen el proceso de descomposición de un complejo. función fraccionaria por multiplicadores. Si le piden que resuelva una ecuación, no se apresure a hacerlo de inmediato; primero evalúe todo el plan de acción y solo luego adopte el enfoque correcto. Seguramente habrá beneficios. La facilidad de trabajo es obvia, y lo mismo ocurre con las matemáticas. Resuelve la ecuación en línea. Todas las ecuaciones en línea son cierto tipo un registro de números o parámetros y una variable a definir. Calcule esta misma variable, es decir, encuentre valores o intervalos específicos de un conjunto de valores en los que se mantendrá la identidad. Las condiciones iniciales y finales dependen directamente. La solución general de ecuaciones suele incluir algunas variables y constantes, al establecerlas obtendremos familias enteras de soluciones para un planteamiento de problema determinado. En general, esto justifica los esfuerzos invertidos en incrementar la funcionalidad de un cubo espacial de lado igual a 100 centímetros. Puedes aplicar un teorema o lema en cualquier etapa de la construcción de una respuesta. El sitio produce gradualmente una calculadora de ecuaciones si es necesario en cualquier intervalo de productos de suma. valor más pequeño. En la mitad de los casos dicha bola es hueca, no en mayor medida cumple con los requisitos para establecer una respuesta intermedia. Al menos en el eje de ordenadas en la dirección de representación vectorial decreciente, esta proporción será sin duda más óptima que la expresión anterior. En el momento en que se lleve a cabo un análisis puntual completo de funciones lineales, reuniremos, de hecho, todos nuestros números complejos y espacios planos bipolares. Al sustituir una variable en la expresión resultante, resolverás la ecuación paso a paso y darás la respuesta más detallada con gran precisión. Una vez más revisa tus acciones en matemáticas. en buena forma desde el lado del estudiante. La proporción en la relación de fracciones registró la integridad del resultado en todas las áreas importantes de actividad del vector cero. La trivialidad se confirma al final de las acciones completadas. Con una tarea sencilla, los estudiantes pueden no tener ninguna dificultad si resuelven la ecuación online en el menor tiempo posible, pero no se olviden de las diferentes reglas. Un conjunto de subconjuntos se cruzan en una región de notación convergente. En distintos casos el producto no se factoriza erróneamente. Se le ayudará a resolver la ecuación en línea en nuestra primera sección, dedicada a los conceptos básicos de técnicas matemáticas para secciones importantes para estudiantes de universidades y colegios técnicos. No tendremos que esperar unos días para obtener respuestas, ya que a principios del siglo pasado se patentó el proceso de mejor interacción del análisis vectorial con la búsqueda secuencial de soluciones. Resulta que los esfuerzos por establecer relaciones con el equipo circundante no fueron en vano, obviamente se necesitaba algo más primero. Varias generaciones después, los científicos de todo el mundo hicieron creer a la gente que las matemáticas son la reina de las ciencias. Ya sea la respuesta de la izquierda o la de la derecha, de todos modos los términos exhaustivos deben escribirse en tres filas, ya que en nuestro caso definitivamente hablaremos solo del análisis vectorial de las propiedades de la matriz. Las ecuaciones lineales y no lineales, junto con las ecuaciones bicuadráticas, ocuparon un lugar especial en nuestro libro sobre los mejores métodos para calcular la trayectoria del movimiento en el espacio de todos los puntos materiales de un sistema cerrado. El análisis lineal nos ayudará a hacer realidad la idea. producto escalar tres vectores consecutivos. Al final de cada declaración, la tarea se facilita implementando excepciones numéricas optimizadas en todas las superposiciones de espacios numéricos que se realizan. Un juicio diferente no contrastará la respuesta encontrada en forma libre triángulo en un círculo. El ángulo entre dos vectores contiene el porcentaje requerido de margen y la resolución de ecuaciones en línea a menudo revela una cierta raíz común de la ecuación en contraposición a las condiciones iniciales. La excepción desempeña el papel de catalizador en todo el proceso inevitable de encontrar una solución positiva en el campo de la definición de una función. Si no se dice que no puedes usar una computadora, entonces una calculadora de ecuaciones en línea es perfecta para tus problemas difíciles. Solo necesita ingresar sus datos condicionales en el formato correcto y nuestro servidor le dará una respuesta completa en el menor tiempo posible. Una función exponencial aumenta mucho más rápido que una lineal. Los Talmuds de la literatura bibliotecaria inteligente dan testimonio de ello. Realizará el cálculo en en un sentido general como lo haría una ecuación cuadrática dada con tres coeficientes complejos. La parábola en la parte superior del semiplano caracteriza un movimiento paralelo rectilíneo a lo largo de los ejes del punto. Aquí vale la pena mencionar la diferencia de potencial en el espacio de trabajo del cuerpo. A cambio de un resultado subóptimo, nuestra calculadora de fracciones ocupa legítimamente la primera posición en la calificación matemática de la revisión de programas funcionales en el lado del servidor. Millones de usuarios de Internet apreciarán la facilidad de uso de este servicio. Si no sabes cómo usarlo, estaremos encantados de ayudarte. También nos gustaría señalar y resaltar especialmente la ecuación cúbica de una serie de problemas de la escuela primaria, cuando es necesario encontrar rápidamente sus raíces y construir una gráfica de la función en un plano. grados superiores La reproducción es una de las dificultades. problemas matemáticos en el instituto y se asignan un número suficiente de horas para su estudio. Como todas las ecuaciones lineales, la nuestra no es una excepción según muchas reglas objetivas, consulte más abajo diferentes puntos visión, y será sencillo y suficiente fijar las condiciones iniciales. El intervalo de aumento coincide con el intervalo de convexidad de la función. Resolver ecuaciones en línea. El estudio de la teoría se basa en ecuaciones en línea de numerosas secciones del estudio de la disciplina principal. En el caso de este enfoque en problemas inciertos, es muy sencillo presentar la solución de las ecuaciones en una forma predeterminada y no sólo sacar conclusiones, sino también predecir el resultado de una solución tan positiva. Un servicio en las mejores tradiciones de las matemáticas nos ayudará a aprender el área temática, tal como es habitual en Oriente. En los mejores momentos del intervalo de tiempo, tareas similares se multiplicaron por un factor común de diez. La abundancia de multiplicaciones de múltiples variables en la calculadora de ecuaciones comenzó a multiplicarse por variables cualitativas en lugar de cuantitativas como la masa o el peso corporal. Para evitar casos de desequilibrio del sistema material, nos resulta bastante obvio derivar un transformador tridimensional a partir de la convergencia trivial de matrices matemáticas no degeneradas. Completa la tarea y resuelve la ecuación en coordenadas dadas, ya que la salida se desconoce de antemano, al igual que todas las variables incluidas en el tiempo post-espacial. En Corto plazo mover el factor común más allá del paréntesis y dividir por el mayor común divisor ambas partes con antelación. De debajo del subconjunto de números cubierto resultante, extraiga de manera detallada Treinta y tres puntos seguidos en un corto período. En la medida en que sea posible para cada estudiante resolver una ecuación en línea de la mejor manera posible, de cara al futuro, digamos una cosa importante pero clave, sin la cual será difícil vivir en el futuro. En el siglo pasado, el gran científico notó una serie de patrones en la teoría de las matemáticas. En la práctica, el resultado no fue exactamente la impresión esperada de los acontecimientos. Sin embargo, en principio, esta solución de ecuaciones en línea ayuda a mejorar la comprensión y la percepción de un enfoque holístico del estudio y la consolidación práctica del material teórico estudiado por los estudiantes. Es mucho más fácil hacer esto durante tu tiempo de estudio.

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Esta lección está destinada a aquellos que recién comienzan a aprender ecuaciones exponenciales. Como siempre, comencemos con la definición y ejemplos sencillos.

Si estás leyendo esta lección, sospecho que ya tienes al menos un conocimiento mínimo de las ecuaciones más simples: lineales y cuadráticas: $56x-11=0$; $((x)^(2))+5x+4=0$; $((x)^(2))-12x+32=0$, etc. Ser capaz de resolver este tipo de construcciones es absolutamente necesario para no “quedarse estancado” en el tema que ahora se tratará.

Entonces, ecuaciones exponenciales. Dejame darte un par de ejemplos:

\[((2)^(x))=4;\quad ((5)^(2x-3))=\frac(1)(25);\quad ((9)^(x))=- 3\]

Algunos de ellos pueden parecerle más complejos, mientras que otros, por el contrario, son demasiado simples. Pero todos tienen una característica importante en común: su notación contiene la función exponencial $f\left(x \right)=((a)^(x))$. Así, introduzcamos la definición:

Una ecuación exponencial es cualquier ecuación que contenga una función exponencial, es decir expresión de la forma $((a)^(x))$. Además de la función especificada, dichas ecuaciones pueden contener cualquier otra construcción algebraica: polinomios, raíces, trigonometría, logaritmos, etc.

OK entonces. Hemos resuelto la definición. Ahora la pregunta es: ¿cómo solucionar toda esta basura? La respuesta es a la vez simple y compleja.

Comencemos con las buenas noticias: según mi experiencia enseñando a muchos estudiantes, puedo decir que la mayoría de ellos encuentran las ecuaciones exponenciales mucho más fácilmente que los mismos logaritmos, y más aún la trigonometría.

Pero hay malas noticias: a veces los compiladores de problemas para todo tipo de libros de texto y exámenes se sienten "inspirados" y su cerebro inflamado por las drogas comienza a producir ecuaciones tan brutales que resolverlas se vuelve problemático no solo para los estudiantes, sino también para muchos profesores. quedarse estancado en tales problemas.

Sin embargo, no hablemos de cosas tristes. Y volvamos a esas tres ecuaciones que se dieron al principio de la historia. Intentemos resolver cada uno de ellos.

Primera ecuación: $((2)^(x))=4$. Bueno, ¿a qué potencia necesitas elevar el número 2 para obtener el número 4? ¿Probablemente el segundo? Después de todo, $((2)^(2))=2\cdot 2=4$ - y obtuvimos la igualdad numérica correcta, es decir de hecho $x=2$. Bueno, gracias Cap, pero esta ecuación era tan simple que hasta mi gato podría resolverla :)

Veamos la siguiente ecuación:

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\]

Pero aquí es un poco más complicado. Muchos estudiantes saben que $((5)^(2))=25$ es la tabla de multiplicar. Algunos también sospechan que $((5)^(-1))=\frac(1)(5)$ es esencialmente una definición de potencias negativas (similar a la fórmula $((a)^(-n))= \ frac(1)(((a)^(n)))$).

Finalmente, sólo unos pocos se dan cuenta de que estos hechos se pueden combinar y producir el siguiente resultado:

\[\frac(1)(25)=\frac(1)(((5)^(2)))=((5)^(-2))\]

Por lo tanto, nuestra ecuación original se reescribirá de la siguiente manera:

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\Rightarrow ((5)^(2x-3))=((5)^(-2))\]

¡Pero esto ya se puede solucionar por completo! A la izquierda de la ecuación hay una función exponencial, a la derecha de la ecuación hay una función exponencial, no hay nada más en ningún lado excepto ellos. Por tanto, podemos “descartar” las bases y equiparar estúpidamente los indicadores:

Hemos obtenido la ecuación lineal más sencilla que cualquier estudiante puede resolver en tan solo un par de líneas. Bien, en cuatro líneas:

\[\begin(align)& 2x-3=-2 \\& 2x=3-2 \\& 2x=1 \\& x=\frac(1)(2) \\\end(align)\]

Si no comprende lo que sucedió en las últimas cuatro líneas, asegúrese de volver al tema "ecuaciones lineales" y repetirlo. Porque sin una comprensión clara de este tema, es demasiado pronto para abordar ecuaciones exponenciales.

\[((9)^(x))=-3\]

Entonces, ¿cómo podemos solucionar esto? Primer pensamiento: $9=3\cdot 3=((3)^(2))$, por lo que la ecuación original se puede reescribir de la siguiente manera:

\[((\left(((3)^(2)) \right))^(x))=-3\]

Luego recordamos que al elevar una potencia a una potencia los exponentes se multiplican:

\[((\left(((3)^(2)) \right))^(x))=((3)^(2x))\Rightarrow ((3)^(2x))=-(( 3)^(1))\]

\[\begin(align)& 2x=-1 \\& x=-\frac(1)(2) \\\end(align)\]

Y por tal decisión recibiremos dos honestamente merecidos. Porque, con la ecuanimidad de un Pokémon, enviamos el signo menos delante del tres a la potencia de este mismo tres. Pero no puedes hacer eso. Y es por eso. Echa un vistazo a los diferentes poderes de tres:

\[\begin(matriz) ((3)^(1))=3& ((3)^(-1))=\frac(1)(3)& ((3)^(\frac(1)( 2)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(2))=9& ((3)^(-2))=\frac(1)(9)& ((3)^(\ frac(1)(3)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(3))=27& ((3)^(-3))=\frac(1)(27)& (( 3)^(-\frac(1)(2)))=\frac(1)(\sqrt(3)) \\\end(matriz)\]

Al compilar esta tablilla, no pervertí nada: miré las potencias positivas, negativas e incluso fraccionarias... bueno, ¿dónde está aquí al menos un número negativo? ¡El se fue! Y no puede ser, porque la función exponencial $y=((a)^(x))$, en primer lugar, siempre toma solo valores positivos (no importa cuánto se multiplique o divida uno por dos, seguirá siendo un número positivo), y en segundo lugar, la base de dicha función, el número $a$, ¡es por definición un número positivo!

Bueno, entonces ¿cómo resolver la ecuación $((9)^(x))=-3$? Pero ni modo: no hay raíces. Y en este sentido, las ecuaciones exponenciales son muy similares a las ecuaciones cuadráticas: es posible que tampoco tengan raíces. Pero si en ecuaciones cuadráticas el número de raíces está determinado por el discriminante (discriminante positivo - 2 raíces, negativo - sin raíces), entonces en ecuaciones exponenciales todo depende de lo que está a la derecha del signo igual.

Por lo tanto, formulemos la conclusión clave: la ecuación exponencial más simple de la forma $((a)^(x))=b$ tiene una raíz si y solo si $b>0$. Conociendo este simple hecho, podrás determinar fácilmente si la ecuación que te proponen tiene raíces o no. Aquellos. ¿Vale la pena solucionarlo o anotar inmediatamente que no hay raíces?

Este conocimiento nos ayudará muchas veces cuando tengamos que decidir más tareas complejas. Por ahora, basta de letras: es hora de estudiar el algoritmo básico para resolver ecuaciones exponenciales.

Cómo resolver ecuaciones exponenciales

Entonces, formulemos el problema. Es necesario resolver la ecuación exponencial:

\[((a)^(x))=b,\quad a,b>0\]

Según el algoritmo “ingenuo” que usamos anteriormente, es necesario representar el número $b$ como una potencia del número $a$:

Además, si en lugar de la variable $x$ hay alguna expresión, obtendremos una nueva ecuación que ya se puede resolver. Por ejemplo:

\[\begin(align)& ((2)^(x))=8\Rightarrow ((2)^(x))=((2)^(3))\Rightarrow x=3; \\& ((3)^(-x))=81\Rightarrow ((3)^(-x))=((3)^(4))\Rightarrow -x=4\Rightarrow x=-4; \\& ((5)^(2x))=125\Rightarrow ((5)^(2x))=((5)^(3))\Rightarrow 2x=3\Rightarrow x=\frac(3)( 2). \\\end(alinear)\]

Y, aunque parezca extraño, este esquema funciona en aproximadamente el 90% de los casos. ¿Qué pasa entonces con el 10% restante? El 10% restante son ecuaciones exponenciales ligeramente “esquizofrénicas” de la forma:

\[((2)^(x))=3;\quad ((5)^(x))=15;\quad ((4)^(2x))=11\]

Bueno, ¿a qué potencia necesitas elevar 2 para obtener 3? ¿Primero? Pero no: $((2)^(1))=2$ no es suficiente. ¿Segundo? Tampoco: $((2)^(2))=4$ es demasiado. ¿Cuál entonces?

Los estudiantes conocedores probablemente ya lo hayan adivinado: en tales casos, cuando no es posible resolverlo "bellamente", entra en juego la "artillería pesada": los logaritmos. Permítanme recordarles que usando logaritmos, cualquier número positivo se puede representar como una potencia de cualquier otro número positivo (excepto uno):

¿Recuerdas esta fórmula? Cuando les hablo a mis alumnos sobre logaritmos, siempre les advierto: esta fórmula (también es la identidad logarítmica principal o, si se prefiere, la definición de logaritmo) los perseguirá durante mucho tiempo y "aparecerá" en la mayoría de los casos. Lugares inesperados. Bueno, ella salió a la superficie. Veamos nuestra ecuación y esta fórmula:

\[\begin(align)& ((2)^(x))=3 \\& a=((b)^(((\log )_(b))a)) \\\end(align) \]

Si asumimos que $a=3$ es nuestro número original a la derecha, y $b=2$ es la base misma de la función exponencial a la que queremos reducir el lado derecho, obtenemos lo siguiente:

\[\begin(align)& a=((b)^(((\log )_(b))a))\Rightarrow 3=((2)^(((\log )_(2))3 )); \\& ((2)^(x))=3\Rightarrow ((2)^(x))=((2)^(((\log )_(2))3))\Rightarrow x=( (\log )_(2))3. \\\end(alinear)\]

Recibimos una respuesta un poco extraña: $x=((\log )_(2))3$. En alguna otra tarea, muchos tendrían dudas con tal respuesta y comenzarían a verificar su solución: ¿y si se hubiera colado un error en alguna parte? Me apresuro a complacerlo: aquí no hay ningún error y los logaritmos en las raíces de ecuaciones exponenciales son una situación completamente típica. Así que acostúmbrese a ello. :)

Ahora resolvamos las dos ecuaciones restantes por analogía:

\[\begin(align)& ((5)^(x))=15\Rightarrow ((5)^(x))=((5)^(((\log )_(5))15)) \Flecha derecha x=((\log )_(5))15; \\& ((4)^(2x))=11\Rightarrow ((4)^(2x))=((4)^(((\log )_(4))11))\Rightarrow 2x=( (\log )_(4))11\Rightarrow x=\frac(1)(2)((\log )_(4))11. \\\end(alinear)\]

¡Eso es todo! Por cierto, la última respuesta se puede escribir de otra manera:

Introdujimos un multiplicador al argumento del logaritmo. Pero nadie nos impide añadir este factor a la base:

Además, las tres opciones son correctas: es sencillo. Diferentes formas registros del mismo número. Tú decides cuál elegir y anotar en esta solución.

Por lo tanto, hemos aprendido a resolver cualquier ecuación exponencial de la forma $((a)^(x))=b$, donde los números $a$ y $b$ son estrictamente positivos. Sin embargo, la dura realidad de nuestro mundo es que tales tareas simples Te encontrarás muy, muy raramente. La mayoría de las veces te encontrarás con algo como esto:

\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11; \\& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2.7)^(1-x))=0.09. \\\end(alinear)\]

Entonces, ¿cómo podemos solucionar esto? ¿Se puede solucionar esto? Y si es así, ¿cómo?

No entrar en pánico. Todas estas ecuaciones se pueden reducir rápida y fácilmente a fórmulas simples que ya hemos considerado. Solo necesitas recordar un par de trucos del curso de álgebra. Y, por supuesto, no existen reglas para trabajar con títulos. Te contaré todo esto ahora :)

Convertir ecuaciones exponenciales

Lo primero que hay que recordar: cualquier ecuación exponencial, por compleja que sea, de una forma u otra debe reducirse a las ecuaciones más simples, aquellas que ya hemos considerado y que sabemos resolver. En otras palabras, el esquema para resolver cualquier ecuación exponencial se ve así:

1. Escribe la ecuación original. Por ejemplo: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
2. Haz algunas cosas raras. O incluso alguna tontería llamada "convertir una ecuación";
3. En la salida, obtenga las expresiones más simples de la forma $((4)^(x))=4$ o algo así. Además, una ecuación inicial puede dar varias expresiones de este tipo a la vez.

Con el primer punto todo está claro: hasta mi gato puede escribir la ecuación en una hoja de papel. El tercer punto también parece más o menos claro: ya hemos resuelto un montón de ecuaciones de este tipo anteriormente.

Pero ¿qué pasa con el segundo punto? ¿Qué tipo de transformaciones? ¿Convertir qué en qué? ¿Y cómo?

Bueno, averigüémoslo. En primer lugar, quisiera señalar lo siguiente. Todas las ecuaciones exponenciales se dividen en dos tipos:

1. La ecuación se compone de funciones exponenciales con la misma base. Ejemplo: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
2. La fórmula contiene funciones exponenciales con diferentes motivos. Ejemplos: $((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x))$ y $((100)^(x-1) )\cdot ((2,7)^(1-x))=$0,09.

Comencemos con las ecuaciones del primer tipo: son las más fáciles de resolver. Y para resolverlos, nos ayudará una técnica como resaltar expresiones estables.

Aislar una expresión estable

Veamos esta ecuación nuevamente:

\[((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11\]

¿Qué vemos? Los cuatro se elevan en diferentes grados. Pero todas estas potencias son sumas simples de la variable $x$ con otros números. Por tanto, es necesario recordar las reglas para trabajar con títulos:

\[\begin(align)& ((a)^(x+y))=((a)^(x))\cdot ((a)^(y)); \\& ((a)^(x-y))=((a)^(x)):((a)^(y))=\frac(((a)^(x)))(((a )^(y))). \\\end(alinear)\]

En pocas palabras, la suma se puede convertir en un producto de potencias y la resta se puede convertir fácilmente en división. Intentemos aplicar estas fórmulas a los grados de nuestra ecuación:

\[\begin(align)& ((4)^(x-1))=\frac(((4)^(x)))(((4)^(1)))=((4)^ (x))\cdot \frac(1)(4); \\& ((4)^(x+1))=((4)^(x))\cdot ((4)^(1))=((4)^(x))\cdot 4. \ \\end(alinear)\]

Reescribamos la ecuación original teniendo en cuenta este hecho y luego recopilemos todos los términos de la izquierda:

\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)=((4)^(x))\cdot 4 -once; \\& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)-((4)^(x))\cdot 4+11=0. \\\end(alinear)\]

Los primeros cuatro términos contienen el elemento $((4)^(x))$; saquémoslo del paréntesis:

\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(1+\frac(1)(4)-4 \right)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \frac(4+1-16)(4)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)=-11. \\\end(alinear)\]

Queda por dividir ambos lados de la ecuación por la fracción $-\frac(11)(4)$, es decir esencialmente multiplica por la fracción invertida - $-\frac(4)(11)$. Obtenemos:

\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)\cdot \left(-\frac(4)(11) \right )=-11\cdot \left(-\frac(4)(11) \right); \\& ((4)^(x))=4; \\& ((4)^(x))=((4)^(1)); \\&x=1. \\\end(alinear)\]

¡Eso es todo! Hemos reducido la ecuación original a su forma más simple y obtuvimos la respuesta final.

Al mismo tiempo, en el proceso de resolución descubrimos (e incluso lo sacamos del paréntesis) el factor común $((4)^(x))$; esta es una expresión estable. Puede designarse como una nueva variable o simplemente expresarla con cuidado y obtener la respuesta. En cualquier caso, el principio clave de la solución es el siguiente:

Encuentre en la ecuación original una expresión estable que contenga una variable que se distinga fácilmente de todas las funciones exponenciales.

La buena noticia es que casi todas las ecuaciones exponenciales permiten aislar una expresión tan estable.

Pero la mala noticia es que estas expresiones pueden ser bastante engañosas y bastante difíciles de identificar. Así que veamos un problema más:

\[((5)^(x+2))+((0,2)^(-x-1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2\]

Quizás alguien tenga ahora una pregunta: “Pasha, ¿estás drogado? Aquí hay diferentes bases: 5 y 0,2”. Pero intentemos convertir la potencia a base 0,2. Por ejemplo, deshagámonos de decimal, llevándolo a lo habitual:

\[((0,2)^(-x-1))=((0,2)^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(2)(10) ) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)) )\]

Como puedes ver, el número 5 todavía aparecía, aunque en el denominador. Al mismo tiempo, el indicador se reescribió como negativo. Y ahora recordemos uno de las reglas más importantes trabajar con grados:

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))\Rightarrow ((\left(\frac(1)(5) \right))^( -\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(5)(1) \right))^(x+1))=((5)^(x+1))\ ]

Aquí, por supuesto, estaba un poco mentido. Porque para una comprensión completa, la fórmula para deshacerse de los indicadores negativos tenía que escribirse así:

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))=((\left(\frac(1)(a) \right))^(n ))\Rightarrow ((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(5)(1) \ derecha))^(x+1))=((5)^(x+1))\]

Por otro lado, nada nos impedía trabajar sólo con fracciones:

\[((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(((5)^(-1)) \ derecha))^(-\left(x+1 \right)))=((5)^(\left(-1 \right)\cdot \left(-\left(x+1 \right) \right) ))=((5)^(x+1))\]

Pero en este caso, es necesario poder elevar una potencia a otra potencia (permítanme recordarles: en este caso, los indicadores se suman). Pero no tuve que "invertir" las fracciones; quizás esto sea más fácil para algunos :)

En cualquier caso, la ecuación exponencial original se reescribirá como:

\[\begin(align)& ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+5\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(1))\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(x+2))=2; \\& 2\cdot ((5)^(x+2))=2; \\& ((5)^(x+2))=1. \\\end(alinear)\]

Entonces resulta que la ecuación original se puede resolver de manera aún más simple que la considerada anteriormente: aquí ni siquiera es necesario seleccionar una expresión estable: todo se ha reducido por sí solo. Sólo queda recordar que $1=((5)^(0))$, de donde obtenemos:

\[\begin(align)& ((5)^(x+2))=((5)^(0)); \\&x+2=0; \\&x=-2. \\\end(alinear)\]

¡Esa es la solución! Obtuvimos la respuesta final: $x=-2$. Al mismo tiempo, me gustaría señalar una técnica que nos simplificó enormemente todos los cálculos:

En las ecuaciones exponenciales, asegúrese de deshacerse de las fracciones decimales y convertirlas en fracciones ordinarias. Esto le permitirá ver las mismas bases de grados y simplificar enormemente la solución.

Pasemos ahora a ecuaciones más complejas en las que hay diferentes bases que no se pueden reducir entre sí mediante potencias.

Usando la propiedad de grados

Permítanme recordarles que tenemos dos ecuaciones más particularmente duras:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2.7)^(1-x))=0.09. \\\end(alinear)\]

La principal dificultad aquí es que no está claro qué donar ni sobre qué base. ¿Dónde están las expresiones estables? ¿Dónde están los mismos motivos? No hay nada de esto.

Pero intentemos ir por un camino diferente. Si no hay bases idénticas ya preparadas, puede intentar encontrarlas factorizando las bases existentes.

Comencemos con la primera ecuación:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& 21=7\cdot 3\Rightarrow ((21)^(3x))=((\left(7\cdot 3 \right))^(3x))=((7)^(3x))\ cdot((3)^(3x)). \\\end(alinear)\]

Pero puedes hacer lo contrario: hacer el número 21 a partir de los números 7 y 3. Esto es especialmente fácil de hacer en el lado izquierdo, ya que los indicadores de ambos grados son los mismos:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((\left(7\cdot 3 \right))^(x+ 6 ))=((21)^(x+6)); \\& ((21)^(x+6))=((21)^(3x)); \\&x+6=3x; \\&2x=6; \\&x=3. \\\end(alinear)\]

¡Eso es todo! Sacaste el exponente fuera del producto e inmediatamente obtuviste una hermosa ecuación que se puede resolver en un par de líneas.

Ahora veamos la segunda ecuación. Aquí todo es mucho más complicado:

\[((100)^(x-1))\cdot ((2.7)^(1-x))=0.09\]

\[((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(27)(10) \right))^(1-x))=\frac(9)(100)\]

EN en este caso las fracciones resultaron irreducibles, pero si algo se puede reducir, asegúrese de reducirlo. A menudo aparecerán motivos interesantes con los que ya podrás trabajar.

Desafortunadamente, no nos apareció nada especial. Pero vemos que los exponentes de la izquierda del producto son opuestos:

Permítanme recordarles: para deshacerse del signo menos en el indicador, basta con "voltear" la fracción. Bueno, reescribamos la ecuación original:

\[\begin(align)& ((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9 )(100); \\& ((\left(100\cdot \frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100); \\& ((\left(\frac(1000)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100). \\\end(alinear)\]

En la segunda línea, simplemente tomamos el exponente total del producto del paréntesis de acuerdo con la regla $((a)^(x))\cdot ((b)^(x))=((\left(a \cdot b \right))^ (x))$, y en el último simplemente multiplicaron el número 100 por una fracción.

Ahora observe que los números de la izquierda (en la base) y de la derecha son algo similares. ¿Cómo? Sí, es obvio: ¡son potencias del mismo número! Tenemos:

\[\begin(align)& \frac(1000)(27)=\frac(((10)^(3)))(((3)^(3)))=((\left(\frac( 10)(3) \derecha))^(3)); \\& \frac(9)(100)=\frac(((3)^(2)))(((10)^(3)))=((\left(\frac(3)(10) \derecha))^(2)). \\\end(alinear)\]

Por tanto, nuestra ecuación quedará reescrita de la siguiente manera:

\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \right))^(3)) \right))^(x-1))=((\left(\frac(3) )(10)\derecha))^(2))\]

\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \right))^(3)) \right))^(x-1))=((\left(\frac(10 )(3) \right))^(3\left(x-1 \right)))=((\left(\frac(10)(3) \right))^(3x-3))\]

En este caso, a la derecha también se puede obtener un grado con la misma base, para lo cual basta con “darle la vuelta” a la fracción:

\[((\left(\frac(3)(10) \right))^(2))=((\left(\frac(10)(3) \right))^(-2))\]

Nuestra ecuación finalmente tomará la forma:

\[\begin(align)& ((\left(\frac(10)(3) \right))^(3x-3))=((\left(\frac(10)(3) \right)) ^(-2)); \\& 3x-3=-2; \\&3x=1; \\& x=\frac(1)(3). \\\end(alinear)\]

Esa es la solución. Su idea principal se reduce al hecho de que incluso con diferentes bases intentamos, por las buenas o por las malas, reducir estas bases a la misma cosa. Las transformaciones elementales de ecuaciones y las reglas para trabajar con potencias nos ayudan con esto.

¿Pero qué reglas y cuándo usarlas? ¿Cómo entiendes que en una ecuación necesitas dividir ambos lados entre algo, y en otra necesitas factorizar la base de la función exponencial?

La respuesta a esta pregunta vendrá con la experiencia. Prueba tu suerte al principio ecuaciones simples, y luego complique gradualmente las tareas, y muy pronto sus habilidades serán suficientes para resolver cualquier ecuación exponencial del mismo Examen Estatal Unificado o cualquier trabajo de prueba/independiente.

Y para ayudarte en esta difícil tarea, te sugiero descargar un conjunto de ecuaciones de mi sitio web para resolverlas tú mismo. Todas las ecuaciones tienen respuestas, por lo que siempre puedes ponerte a prueba.

¿Qué es una ecuación exponencial? Ejemplos.

Entonces, una ecuación exponencial... ¡Una nueva exhibición única en nuestra exposición general de una amplia variedad de ecuaciones!) Como casi siempre es el caso, la palabra clave de cualquier término matemático nuevo es el adjetivo correspondiente que lo caracteriza. Así es aquí. La palabra clave en el término “ecuación exponencial” es la palabra "indicativo". ¿Qué significa? Esta palabra significa que la incógnita (x) se encuentra en términos de cualquier grado.¡Y sólo allí! Esto es extremadamente importante.

Por ejemplo, estas ecuaciones simples:

3 x +1 = 81

5 x + 5 x +2 = 130

4 2 2 x -17 2 x +4 = 0

O incluso estos monstruos:

2 sen x = 0,5

Preste atención inmediatamente a una cosa importante: razones grados (abajo) – sólo números. Pero en indicadores grados (arriba): una amplia variedad de expresiones con una X. Absolutamente cualquiera.) Todo depende de la ecuación específica. Si, de repente, x aparece en algún otro lugar de la ecuación, además del indicador (digamos, 3 x = 18 + x 2), entonces dicha ecuación ya será una ecuación tipo mixto. Estas ecuaciones no tienen reglas claras para resolverlas. Por lo tanto, en Esta lección No los consideraremos. Para deleite de los estudiantes.) Aquí consideraremos sólo ecuaciones exponenciales en su forma “pura”.

En general, no todas y ni siquiera siempre las ecuaciones exponenciales puras se pueden resolver con claridad. Pero entre toda la rica variedad de ecuaciones exponenciales, hay ciertos tipos que pueden y deben resolverse. Son este tipo de ecuaciones las que consideraremos. Y definitivamente resolveremos los ejemplos). ¡Así que pongámonos cómodos y listo! Como en los shooters por ordenador, nuestro viaje se desarrollará a través de niveles). De elemental a simple, de simple a intermedio y de intermedio a complejo. En el camino, también le esperará un nivel secreto: técnicas y métodos para resolver ejemplos no estándar. Aquellos sobre los que no leerás en la mayoría de los libros de texto escolares... Bueno, y al final, por supuesto, te espera un jefe final en forma de tarea).

Nivel 0. ¿Cuál es la ecuación exponencial más simple? Resolver ecuaciones exponenciales simples.

Primero, veamos algunas cosas elementales francas. Tienes que empezar por algún lado, ¿verdad? Por ejemplo, esta ecuación:

2 x = 2 2

Incluso sin ninguna teoría, por simple lógica y sentido común está claro que x = 2. No hay otra manera, ¿verdad? Ningún otro significado de X es adecuado... Y ahora dirijamos nuestra atención a registro de decisión esta genial ecuación exponencial:

2 x = 2 2

X = 2

¿Qué nos pasó? Y sucedió lo siguiente. De hecho, lo tomamos y... ¡simplemente tiramos las mismas bases (dos)! Completamente descartado. ¡Y la buena noticia es que hemos dado en el blanco!

Sí, efectivamente, si en una ecuación exponencial hay izquierda y derecha lo mismo números en cualquier potencia, entonces estos números se pueden descartar y simplemente igualar los exponentes. Las matemáticas lo permiten.) Y luego puedes trabajar por separado con los indicadores y resolver una ecuación mucho más simple. Genial, ¿verdad?

Aquí está la idea clave para resolver cualquier (sí, ¡exactamente cualquier!) ecuación exponencial: Usando transformaciones idénticas, es necesario asegurarse de que los lados izquierdo y derecho de la ecuación sean lo mismo números base en varias potencias. Y luego puedes eliminar con seguridad las mismas bases e igualar los exponentes. Y trabaja con una ecuación más simple.

Ahora recordemos la regla de hierro: Es posible eliminar bases idénticas si y sólo si los números a la izquierda y a la derecha de la ecuación tienen números de base. en orgullosa soledad.

¿Qué significa en espléndido aislamiento? Esto significa sin vecinos ni coeficientes. Dejame explicar.

Por ejemplo, en la ecuación.

3 3 x-5 = 3 2 x +1

¡Los tres no se pueden eliminar! ¿Por qué? Porque a la izquierda no sólo tenemos un tres solitario por grado, sino trabajar 3·3x-5. Interfieren tres más: el coeficiente, ¿entiendes?)

Lo mismo puede decirse de la ecuación

5 3 x = 5 2 x +5 x

Aquí también todas las bases son iguales: cinco. Pero en la derecha no tenemos una sola potencia de cinco: ¡hay una suma de potencias!

En resumen, tenemos derecho a eliminar bases idénticas sólo cuando nuestra ecuación exponencial se ve así y sólo así:

aF (X) = una g (X)

Este tipo de ecuación exponencial se llama lo más simple. O, científicamente, canónico . Y no importa qué ecuación complicada tengamos frente a nosotros, de una forma u otra la reduciremos precisamente a esta forma más simple (canónica). O, en algunos casos, a totalidad ecuaciones de este tipo. Entonces nuestra ecuación más simple se puede escribir como vista general reescríbelo así:

F(x) = g(x)

Eso es todo. Esta sería una conversión equivalente. En este caso, f(x) y g(x) pueden ser absolutamente cualquier expresión con una x. Lo que sea.

Quizás un estudiante particularmente curioso se pregunte: ¿por qué diablos descartamos tan fácil y simplemente las mismas bases a la izquierda y a la derecha e igualamos los exponentes? La intuición es intuición, pero ¿y si, en alguna ecuación y por alguna razón, este enfoque resulta incorrecto? ¿Es siempre legal desechar los mismos motivos? Desafortunadamente, para una respuesta matemática rigurosa a esta interés preguntar es necesario profundizar y profundizar seriamente en la teoría general de la estructura y el comportamiento de las funciones. Y un poco más concretamente - en el fenómeno estricta monotonía. En particular, la estricta monotonía. funcion exponencialy= una x. Dado que es la función exponencial y sus propiedades las que subyacen a la solución de ecuaciones exponenciales, sí.) Se dará una respuesta detallada a esta pregunta en una lección especial separada dedicada a resolver ecuaciones complejas no estándar utilizando la monotonicidad de diferentes funciones).

Explicar este punto en detalle ahora solo sorprendería al estudiante promedio y lo asustaría de antemano con una teoría seca y pesada. No haré esto.) Porque nuestra tarea principal en este momento es ¡Aprende a resolver ecuaciones exponenciales!¡Los más simples! Por lo tanto, no nos preocupemos todavía y descartemos con valentía las mismas razones. Este Poder, ¡créame!) Y luego resolvemos la ecuación equivalente f(x) = g(x). Como regla general, más simple que el exponencial original.

Se supone, por supuesto, que en este momento la gente ya sabe cómo resolver al menos , y ecuaciones, sin x en exponentes). Para aquellos que aún no saben cómo, no duden en cerrar esta página y seguir los enlaces correspondientes. y llenar los viejos vacíos. De lo contrario lo pasarás mal, sí...

No me refiero a ecuaciones irracionales, trigonométricas y otras ecuaciones brutales que también pueden surgir en el proceso de eliminación de los cimientos. Pero no os alarméis, por ahora no consideraremos la crueldad absoluta en términos de grados: es demasiado pronto. Entrenaremos solo con las ecuaciones más simples).

Ahora veamos ecuaciones que requieren un esfuerzo adicional para reducirlas a lo más simple. Para distinguirlos, llamémoslos ecuaciones exponenciales simples. ¡Así que pasemos al siguiente nivel!

Nivel 1. Ecuaciones exponenciales simples. ¡Reconozcamos los grados! Indicadores naturales.

Las reglas clave para resolver cualquier ecuación exponencial son reglas para tratar los títulos. Sin este conocimiento y habilidades nada funcionará. Pobre de mí. Entonces, si hay problemas con los títulos, primero eres bienvenido. Además, también necesitaremos. Estas transformaciones (¡dos de ellas!) son la base para resolver todas las ecuaciones matemáticas en general. Y no sólo los demostrativos. Entonces, quien lo haya olvidado, mire también el enlace: no los pongo ahí simplemente.

Pero las operaciones con poderes y transformaciones de identidad por sí solas no son suficientes. También se requiere observación personal e ingenio. Necesitamos las mismas razones, ¿no? ¡Así que examinamos el ejemplo y los buscamos de forma explícita o disfrazada!

Por ejemplo, esta ecuación:

3 2 x – 27 x +2 = 0

primer vistazo a jardines. ¡Ellos son diferentes! Tres y veintisiete. Pero es demasiado pronto para entrar en pánico y desesperarse. Es hora de recordar eso

27 = 3 3

¡Los números 3 y 27 son parientes de grado! Y cercanos.) Por tanto, tenemos todo el derecho a escribir:

27x+2 = (3 3)x+2

Ahora conectemos nuestro conocimiento sobre acciones con grados(¡y te lo advertí!). Hay una fórmula muy útil allí:

(un metro) n = un metro

Si ahora lo pones en acción, funciona genial:

27 x +2 = (3 3) x+2 = 3 3(x +2)

El ejemplo original ahora se ve así:

3 2x – 3 3(x +2) = 0

Genial, las bases de los títulos se han nivelado. Eso es lo que queríamos. La mitad de la batalla está terminada.) Ahora lanzamos la transformación de identidad básica: movemos 3 3(x +2) hacia la derecha. Nadie ha cancelado las operaciones elementales de las matemáticas, sí.) Obtenemos:

3 2 x = 3 3(x +2)

¿Qué nos aporta este tipo de ecuación? Y el hecho de que ahora nuestra ecuación se reduce. a la forma canónica: a la izquierda y a la derecha hay los mismos números (tres) en potencias. Además, ambos tres se encuentran en un espléndido aislamiento. Siéntete libre de eliminar los triples y obtener:

2x = 3(x+2)

Resolvemos esto y obtenemos:

X = -6

Eso es todo. Esta es la respuesta correcta.)

Ahora pensemos en la solución. ¿Qué nos salvó en este ejemplo? El conocimiento de los poderes de tres nos salvó. ¿Cómo exactamente? Nosotros identificado¡El número 27 contiene un tres cifrado! Este truco (cifrado de la misma base bajo diferentes numeros) es uno de los más populares en ecuaciones exponenciales. A menos que sea el más popular. Sí, y de la misma forma, por cierto. ¡Es por eso que la observación y la capacidad de reconocer potencias de otros números en los números son tan importantes en las ecuaciones exponenciales!

Consejo practico:

Necesitas conocer las potencias de los números populares. ¡En la cara!

Por supuesto, cualquiera puede elevar dos a la séptima potencia o tres a la quinta potencia. No en mi mente, pero al menos en un borrador. Pero en las ecuaciones exponenciales, mucho más a menudo es necesario no elevar a una potencia, sino, por el contrario, descubrir qué número y a qué potencia se esconde detrás de un número, digamos, 128 o 243. Y esto es más complicado. que una simple subida, estarás de acuerdo. ¡Siente la diferencia, como dicen!

Dado que la capacidad de reconocer títulos en persona será útil no sólo en este nivel, sino también en los siguientes, aquí tienes una pequeña tarea:

Determina qué potencias y qué números son los números:

4; 8; 16; 27; 32; 36; 49; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729; 1024.

Respuestas (al azar, por supuesto):

27 2 ; 2 10 ; 3 6 ; 7 2 ; 2 6 ; 9 2 ; 3 4 ; 4 3 ; 10 2 ; 2 5 ; 3 5 ; 7 3 ; 16 2 ; 2 7 ; 5 3 ; 2 8 ; 6 2 ; 3 3 ; 2 9 ; 2 4 ; 2 2 ; 4 5 ; 25 2 ; 4 4 ; 6 3 ; 8 2 ; 9 3 .

¡Sí Sí! No se sorprenda de que haya más respuestas que tareas. Por ejemplo, 2 8, 4 4 y 16 2 son todos 256.

Nivel 2. Ecuaciones exponenciales simples. ¡Reconozcamos los grados! Indicadores negativos y fraccionarios.

En este nivel ya estamos aprovechando al máximo nuestros conocimientos de titulaciones. Es decir, ¡involucramos indicadores negativos y fraccionarios en este fascinante proceso! ¡Sí Sí! Necesitamos aumentar nuestro poder, ¿verdad?

Por ejemplo, esta terrible ecuación:

Una vez más, el primer vistazo está en los cimientos. ¡Las razones son diferentes! ¡Y esta vez no se parecen ni remotamente entre sí! 5 y 0.04... Y para eliminar las bases se necesitan las mismas... ¿Qué hacer?

¡Está bien! De hecho, todo es igual, solo que la conexión entre cinco y 0,04 es visualmente poco visible. ¿Cómo podemos salir? ¡Pasemos al número 0,04 como fracción ordinaria! Y entonces, verá, todo saldrá bien).

0,04 = 4/100 = 1/25

¡Guau! ¡Resulta que 0,04 es 1/25! Bueno, ¡quién lo hubiera pensado!)

¿Así que cómo? ¿Es ahora más fácil ver la conexión entre los números 5 y 1/25? Eso es todo...

Y ahora según las reglas de acciones con grados con indicador negativo Puedes escribir con mano firme:

Eso es genial. Entonces llegamos a la misma base: cinco. Ahora reemplazamos el número inconveniente 0.04 en la ecuación con 5 -2 y obtenemos:

De nuevo, según las reglas de las operaciones con grados, ahora podemos escribir:

(5-2)x-1 = 5-2(x-1)

Por si acaso, os recuerdo (por si alguien no lo sabe) que reglas básicas Las acciones con poderes son válidas para cualquier indicadores! Incluso los negativos.) Por lo tanto, siéntase libre de tomar y multiplicar los indicadores (-2) y (x-1) de acuerdo con la regla adecuada. Nuestra ecuación mejora cada vez más:

¡Todo! Aparte de los cinco solitarios, no hay nada más en los poderes de izquierda y derecha. La ecuación se reduce a forma canónica. Y luego, por el camino moleteado. Quitamos los cinco y equiparamos los indicadores:

X 2 –6 X+5=-2(X-1)

El ejemplo está casi resuelto. Todo lo que queda son matemáticas de primaria y secundaria: abra (¡correctamente!) los corchetes y recopile todo lo que está a la izquierda:

X 2 –6 X+5 = -2 X+2

X 2 –4 X+3 = 0

Resolvemos esto y obtenemos dos raíces:

X 1 = 1; X 2 = 3

Eso es todo.)

Ahora pensemos de nuevo. EN en este ejemplo¡Nuevamente tuvimos que reconocer el mismo número en diferentes grados! Es decir, ver un cinco cifrado en el número 0,04. Y esta vez - en grado negativo!¿Cómo hicimos esto? De buenas a primeras, de ninguna manera. Pero después de pasar de la fracción decimal 0,04 a la fracción común 1/25, ¡todo quedó claro! Y luego toda la decisión fue como un reloj).

Por tanto, otro consejo práctico ecológico.

Si una ecuación exponencial contiene fracciones decimales, entonces pasamos de fracciones decimales a fracciones ordinarias. EN fracciones ordinarias¡Es mucho más fácil reconocer las potencias de muchos números populares! Después del reconocimiento, pasamos de fracciones a potencias con exponentes negativos.

¡Tenga en cuenta que este truco ocurre muy, muy a menudo en ecuaciones exponenciales! Pero la persona no está en el tema. Mira, por ejemplo, los números 32 y 0,125 y se enoja. Sin que él lo sepa, estos son los mismos dos, solo que en diferentes grados... ¡Pero tú ya lo sabes!)

Resuelve la ecuación:

¡En! Parece un horror silencioso... Sin embargo, las apariencias engañan. Esta es la ecuación exponencial más simple, a pesar de su abrumador apariencia. Y ahora te lo mostraré.)

Primero, veamos todos los números en las bases y coeficientes. Son, por supuesto, diferentes, sí. Pero aún así nos arriesgaremos y trataremos de hacerlos. idéntico! Intentemos llegar a el mismo número en diferentes potencias. Además, preferentemente, los números son lo más pequeños posible. Entonces, ¡comencemos a decodificar!

Bueno, con los cuatro todo queda claro de inmediato: son 2 2. Vale, eso ya es algo.)

Con una fracción de 0,25, todavía no está claro. Necesito comprobar. Utilicemos consejos prácticos: pase de una fracción decimal a una fracción ordinaria:

0,25 = 25/100 = 1/4

Mucho mejor ya. Porque ahora se ve claramente que 1/4 es 2 -2. Genial, y el número 0,25 también es parecido a dos.)

Hasta ahora, todo bien. Pero la peor cifra de todas sigue siendo: raíz cuadrada de dos!¿Qué hacer con este pimiento? ¿Se puede representar también como una potencia de dos? Y quien sabe...

Bueno, ¡profundicemos nuevamente en nuestro tesoro de conocimientos sobre títulos! Esta vez además conectamos nuestro conocimiento. sobre las raíces. Del curso de noveno grado, tú y yo deberíamos haber aprendido que cualquier raíz, si se desea, siempre se puede convertir en un grado. con un indicador fraccionario.

Como esto:

En nuestro caso:

¡Guau! Resulta que la raíz cuadrada de dos es 2 1/2. ¡Eso es todo!

¡Está bien! Todos nuestros números inconvenientes en realidad resultaron ser dos cifrados). No lo discuto, en algún lugar cifrado de manera muy sofisticada. ¡Pero también estamos mejorando nuestra profesionalidad en la resolución de dichos cifrados! Y entonces todo ya es obvio. En nuestra ecuación reemplazamos los números 4, 0,25 y la raíz de dos por potencias de dos:

¡Todo! Las bases de todos los grados en el ejemplo fueron las mismas: dos. Y ahora se utilizan acciones estándar con grados:

soyun = soy + norte

un m: un n = un m-n

(un metro) n = un metro

Para el lado izquierdo obtienes:

2 -2 ·(2 2) 5 x -16 = 2 -2+2(5 x -16)

Para el lado derecho será:

Y ahora nuestra ecuación malvada se ve así:

Para aquellos que no han descubierto exactamente cómo surgió esta ecuación, entonces la pregunta aquí no es sobre ecuaciones exponenciales. La pregunta es sobre acciones con grados. ¡Les pedí que se lo repitieran urgentemente a quienes tienen problemas!

¡Aquí está la línea de meta! Recibió vista canónica ecuación exponencial! ¿Así que cómo? ¿Te he convencido de que no todo da tanto miedo? ;) Eliminamos los dos y equiparamos los indicadores:

Todo lo que queda es resolver esta ecuación lineal. ¿Cómo? Con la ayuda de transformaciones idénticas, por supuesto). ¡Decide qué está pasando! Multiplica ambos lados por dos (para eliminar la fracción 3/2), mueve los términos con X hacia la izquierda, sin X hacia la derecha, trae los similares, cuenta, ¡y serás feliz!

Todo debería salir maravillosamente:

x=4

Ahora pensemos nuevamente en la solución. En este ejemplo, nos ayudó la transición de raíz cuadrada A grado con exponente 1/2. Además, sólo una transformación tan astuta nos ayudó a llegar a todas partes. misma base(dos), ¡lo que salvó la situación! Y, si no fuera por esto, entonces tendríamos todas las posibilidades de quedarnos congelados para siempre y nunca hacer frente a este ejemplo, sí...

Por eso, no descuidamos los siguientes consejos prácticos:

Si una ecuación exponencial contiene raíces, entonces pasamos de raíces a potencias con exponentes fraccionarios. Muy a menudo sólo una transformación de este tipo aclara la situación ulterior.

Por supuesto, las potencias negativas y fraccionarias ya son mucho más complejas que las potencias naturales. Al menos desde el punto de vista percepción visual y, sobre todo, ¡reconocimiento de derecha a izquierda!

Está claro que elevar directamente, por ejemplo, dos a la potencia -3 o cuatro a la potencia -3/2 no es tan Un gran problema. Para los que saben.)

Pero ve, por ejemplo, inmediatamente date cuenta de que

0,125 = 2 -3

O

Aquí sólo manda la práctica y la rica experiencia, sí. Y, por supuesto, una idea clara, ¿Qué es un grado negativo y fraccionario? Y - Consejo practico! Si, si, esos mismos verde.) ¡Espero que aún te ayuden a navegar mejor por toda la variedad de títulos y aumenten significativamente tus posibilidades de éxito! Así que no los descuidemos. no soy en vano verde A veces escribo.)

Pero si se conocen incluso con potencias tan exóticas como las negativas y fraccionarias, entonces sus capacidades para resolver ecuaciones exponenciales se expandirán enormemente y podrán manejar casi cualquier tipo de ecuaciones exponenciales. Bueno, si no ninguna, entonces el 80 por ciento de todas las ecuaciones exponenciales, ¡seguro! ¡Sí, sí, no estoy bromeando!

Entonces, nuestra primera parte de nuestra introducción a las ecuaciones exponenciales ha llegado a su conclusión lógica. Y, como entrenamiento intermedio, tradicionalmente sugiero hacer un poco de autorreflexión).

Ejercicio 1.

Para que mis palabras sobre descifrar las potencias negativas y fraccionarias no queden en vano, ¡te propongo jugar un pequeño juego!

Expresar números como potencias de dos:

Respuestas (en desorden):

¿Sucedió? ¡Excelente! Luego hacemos una misión de combate: ¡resolvemos las ecuaciones exponenciales más simples y simples!

Tarea 2.

Resuelve las ecuaciones (¡todas las respuestas son un desastre!):

5 2x-8 = 25

2 5x-4 – 16x+3 = 0

Respuestas:

x = 16

X 1 = -1; X 2 = 2

X = 5

¿Sucedió? De hecho, ¡es mucho más sencillo!

Luego resolvemos el siguiente juego:

(2 x +4) x -3 = 0,5 x 4 x -4

35 1-x = 0.2 - x ·7 x

Respuestas:

X 1 = -2; X 2 = 2

X = 0,5

X 1 = 3; X 2 = 5

¿Y estos ejemplos quedan uno? ¡Excelente! ¡Estás creciendo! Entonces aquí te dejamos algunos ejemplos más para que puedas picar:

Respuestas:

X = 6

X = 13/31

X = -0,75

X 1 = 1; X 2 = 8/3

¿Y esto está decidido? Bueno, respeto! Me quito el sombrero.) Esto significa que la lección no fue en vano y que el nivel inicial de resolución de ecuaciones exponenciales puede considerarse dominado con éxito. Los siguientes niveles y más están por venir ecuaciones complejas! Y nuevas técnicas y enfoques. Y ejemplos no estándar. Y nuevas sorpresas.) ¡Todo esto está en la próxima lección!

¿Algo salió mal? Esto significa que lo más probable es que los problemas estén en . O en . O ambas cosas a la vez. Estoy impotente aquí. puedo en Una vez más Sólo puedo sugerir una cosa: no seas perezoso y sigue los enlaces).

Continuará.)

El uso de ecuaciones está muy extendido en nuestra vida. Se utilizan en muchos cálculos, construcción de estructuras e incluso deportes. El hombre utilizó ecuaciones en la antigüedad y desde entonces su uso no ha hecho más que aumentar. Las ecuaciones de potencias o exponenciales son ecuaciones en las que las variables están en potencias y la base es un número. Por ejemplo:

Resolver una ecuación exponencial se reduce a 2 pasos bastante simples:

1. Debes comprobar si las bases de la ecuación de la derecha y de la izquierda son iguales. Si los motivos no son los mismos buscamos opciones para solucionar este ejemplo.

2. Una vez que las bases se vuelven iguales, igualamos los grados y resolvemos la nueva ecuación resultante.

Supongamos que tenemos una ecuación exponencial de la siguiente forma:

Vale la pena comenzar a resolver esta ecuación con un análisis de la base. Las bases son diferentes: 2 y 4, pero para resolverlas necesitamos que sean iguales, así que transformamos 4 usando la siguiente fórmula -\[ (a^n)^m = a^(nm):\]

A la ecuación original le sumamos:

Saquémoslo de paréntesis \

Expresemos \

Como los grados son iguales, los descartamos:

Respuesta: \

¿Dónde puedo resolver una ecuación exponencial usando un solucionador en línea?

Puedes resolver la ecuación en nuestro sitio web https://site. Un solucionador en línea gratuito te permitirá resolver la ecuación en línea cualquiera complejidad en segundos. Todo lo que necesitas hacer es simplemente ingresar tus datos en el solucionador. También puedes ver instrucciones en vídeo y aprender a resolver la ecuación en nuestro sitio web. Y si aún tienes preguntas, puedes hacerlas en nuestro grupo VKontakte http://vk.com/pocketteacher. Únete a nuestro grupo, siempre estaremos encantados de ayudarte.

En esta lección veremos cómo resolver ecuaciones exponenciales más complejas y recordaremos los principios teóricos básicos sobre la función exponencial.

1. Definición y propiedades de la función exponencial, métodos para resolver las ecuaciones exponenciales más simples.

Recordemos la definición y las propiedades básicas de la función exponencial. La solución de todas las ecuaciones y desigualdades exponenciales se basa en estas propiedades.

Funcion exponencial es una función de la forma , donde la base es el grado y aquí x es la variable independiente, argumento; y es la variable dependiente, función.

Arroz. 1. Gráfica de función exponencial

La gráfica muestra exponentes crecientes y decrecientes, lo que ilustra la función exponencial con una base mayor que uno y menor que uno pero mayor que cero, respectivamente.

Ambas curvas pasan por el punto (0;1)

Propiedades de la función exponencial:

Dominio: ;

Rango de valores: ;

La función es monótona, aumenta con, disminuye con.

Una función monótona toma cada uno de sus valores dado un único valor de argumento.

Cuando el argumento aumenta de menos a más infinito, la función aumenta de cero inclusive a más infinito. Por el contrario, cuando el argumento aumenta de menos a más infinito, la función disminuye de infinito a cero, no inclusive.

2. Resolver ecuaciones exponenciales estándar

Te recordamos cómo resolver las ecuaciones exponenciales más simples. Su solución se basa en la monotonicidad de la función exponencial. Casi todas las ecuaciones exponenciales complejas se pueden reducir a este tipo de ecuaciones.

La igualdad de exponentes con bases iguales se debe a la propiedad de la función exponencial, es decir, su monotonicidad.

Método de solución:

Igualar las bases de los grados;

Iguala los exponentes.

Pasemos a considerar ecuaciones exponenciales más complejas; nuestro objetivo es reducir cada una de ellas a la más simple.

Deshagámonos de la raíz del lado izquierdo y llevemos los grados a la misma base:

Para reducir una ecuación exponencial compleja a su forma más simple, a menudo se utiliza la sustitución de variables.

Usemos la propiedad de potencia:

Estamos introduciendo un reemplazo. Déjalo ser entonces

Multipliquemos la ecuación resultante por dos y muevamos todos los términos al lado izquierdo:

La primera raíz no satisface el rango de valores de y, por lo que la descartamos. Obtenemos:

Reduzcamos los grados al mismo indicador:

Introduzcamos un reemplazo:

Déjalo ser entonces . Con tal reemplazo, es obvio que y toma valores estrictamente positivos. Obtenemos:

Sabemos cómo resolver este tipo de ecuaciones cuadráticas, podemos escribir la respuesta:

Para asegurarte de que las raíces se encuentran correctamente, puedes verificar usando el teorema de Vieta, es decir, encontrar la suma de las raíces y su producto y compararlos con los coeficientes correspondientes de la ecuación.

Obtenemos:

3. Metodología para la resolución de ecuaciones exponenciales homogéneas de segundo grado.

Estudiemos lo siguiente tipo importante ecuaciones exponenciales:

Las ecuaciones de este tipo se denominan homogéneas de segundo grado con respecto a las funciones f y g. En el lado izquierdo hay trinomio cuadrático relativo a f con parámetro g o trinomio cuadrático relativo a g con parámetro f.

Método de solución:

Esta ecuación se puede resolver como una ecuación cuadrática, pero es más fácil hacerlo de otra manera. Hay dos casos a considerar:

En el primer caso obtenemos

En el segundo caso, tenemos derecho a dividir por el grado más alto y obtener:

Es necesario introducir un cambio de variables, obtenemos una ecuación cuadrática para y:

Observemos que las funciones f y g pueden ser cualquiera, pero nos interesa el caso en que sean funciones exponenciales.

4. Ejemplos de resolución de ecuaciones homogéneas.

Movamos todos los términos al lado izquierdo de la ecuación:

Dado que las funciones exponenciales adquieren valores estrictamente positivos, tenemos derecho a dividir inmediatamente la ecuación por , sin considerar el caso en el que:

Obtenemos:

Introduzcamos un reemplazo: (según las propiedades de la función exponencial)

Tenemos una ecuación cuadrática:

Determinamos las raíces usando el teorema de Vieta:

La primera raíz no satisface el rango de valores de y, la descartamos y obtenemos:

Usemos las propiedades de los grados y reduzcamos todos los grados a bases simples:

Es fácil notar las funciones f y g:

Dado que las funciones exponenciales adquieren valores estrictamente positivos, tenemos derecho a dividir inmediatamente la ecuación por , sin considerar el caso en el que .